Ableitung < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:05 Mo 15.11.2010 | | Autor: | Crashday |
Halihalo,
ich wollte gerne wissen, ob ich diese Funktion richtig abgeleitet habe:
fk(x)=ln [mm] (\bruch{x^2}{4}+k)
[/mm]
f'k(x)= [mm] \bruch{1}{\bruch{x^2}{4}+k}*(\bruch{4*2x-(0*x^2)}{16})
[/mm]
f'k(x)= [mm] \bruch{1}{\bruch{x^2}{4}+k}*\bruch{8x}{16}
[/mm]
f'k(x)= [mm] \bruch{8x}{\bruch{16x^2}{4}+16k}
[/mm]
f'k(x)= [mm] \bruch{128x^3}{4+16k}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Mo 15.11.2010 | | Autor: | Crashday |
Danke schon mal. Ich verstehe den letzten Schritt mit den Doppelbrüchen nicht. Wie mache ich das denn gleichnamig, um dann diesen Doppelbruch aufzulösen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:46 Mo 15.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Du hast doch:
[mm] f_{k}''(x)=\bruch{8x}{\bruch{16x^2}{4}+16k} [/mm]
[mm] =\bruch{8x}{4x^{2}+16k} [/mm]
[mm] =\bruch{4*(2x)}{4(x^{2}+4k)} [/mm]
[mm] =\bruch{2x}{x^{2}+4k} [/mm]
Vereinfache die Ableitungen immer weitestgehend, bevor du weiterableitest/-rechnest.
Und das ergibt:
[mm] f_{k}^{(3)}(x)=\bruch{2(x^{2}+4k)-2x*2x}{(x^{2}+4k)^{2}} [/mm]
[mm] =\bruch{2(x^{2}+4k)-4x^{2}}{(x^{2}+4k)^{2}} [/mm]
[mm] =\bruch{2(x^{2}+4k)}{(x^{2}+4k)^{2}}-\bruch{4x^{2}}{(x^{2}+4k)^{2}} [/mm]
[mm] =\ldots [/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Mo 15.11.2010 | | Autor: | Crashday |
So vielen Dank für diese Funktion. Hab die dann auch weiter mit den Rel. Extrema etc. auch hinbekommen und es haut laut Grafik auch hin. Jetzt stecke ich aber bei der Ableitung an sich fest bei einer anderen Funktion, die lautet:
[mm] x*(1-\bruch{1}{k}*(lnx)
[/mm]
Hab es erst mal anders aufgeschrieben, und zwar so:
[mm] x*(1-\bruch{lnx}{k})
[/mm]
Ich habe dann die erste Ableitung versucht, aber ich glaube eher, ich habe die irgendwie ganz falsch gerechnet:
[mm] x*(\bruch{k*\bruch{1}{x}-lnx}{k^2}+1*(1-\bruch{lnx}{k})
[/mm]
[mm] x*\bruch{\bruch{k}{x}-k*lnx}{k^2}+1-\bruch{lnx}{k}
[/mm]
[mm] \bruch{k-k*lnx}{k^2}+1-\bruch{lnx}{k}
[/mm]
Hab ich das bis hier hin richtig gerechnet. Und falls ja, wie geht es denn weiter?
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Hallo Crashday,
> So vielen Dank für diese Funktion. Hab die dann auch
> weiter mit den Rel. Extrema etc. auch hinbekommen und es
> haut laut Grafik auch hin. Jetzt stecke ich aber bei der
> Ableitung an sich fest bei einer anderen Funktion, die
> lautet:
>
> [mm]x*(1-\bruch{1}{k}*(lnx)[/mm]
>
> Hab es erst mal anders aufgeschrieben, und zwar so:
>
> [mm]x*(1-\bruch{lnx}{k})[/mm]
>
> Ich habe dann die erste Ableitung versucht, aber ich glaube
> eher, ich habe die irgendwie ganz falsch gerechnet:
>
> [mm]x*(\bruch{k*\bruch{1}{x}-lnx}{k^2}+1*(1-\bruch{lnx}{k})[/mm]
Das "k" ist bei der Ableitung nach x wie eine Konstante zu behandeln,
wird also mitgeschleift.
>
> [mm]x*\bruch{\bruch{k}{x}-k*lnx}{k^2}+1-\bruch{lnx}{k}[/mm]
>
> [mm]\bruch{k-k*lnx}{k^2}+1-\bruch{lnx}{k}[/mm]
>
> Hab ich das bis hier hin richtig gerechnet. Und falls ja,
> wie geht es denn weiter?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Mo 15.11.2010 | | Autor: | Crashday |
Danke schon mal für deine Antwort aber die hilft mir jetzt nicht wirklich weiter. Ist die Ableitung denn an sich richtig und falls nicht, wo ist der Fehler, weil das schon so komisch aussieht...
Ich habe dann noch versucht, die x-Achsendurchschlagspunkte zu berechnen
[mm] x*(1-\bruch{1}{k}lnx) [/mm] = 0
Einmal ist es ja x = 0, was aber so oder so nicht im Defenitionsbereich liegt
[mm] 1-\bruch{1}{k}lnx [/mm] = 0
1 * lnx = [mm] \bruch{1}{k}
[/mm]
lnx = [mm] \bruch{1}{k}-1
[/mm]
x = [mm] e^{-1}*e^{-\bruch{1}{k}}
[/mm]
Aber so richtig haut es auch nicht mit der Zeichung hin. Wo sind die Fehler dort?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 Mo 15.11.2010 | | Autor: | jolek |
Wie schon vorhin erwähnt wurde ist k ein konstanter Faktor!
Daher wird einfach die Produktregel angewendet!
Du beachtest das 1/k somit garnicht! Tu einfach so als würde 1/2 da stehen.
Hilft das weiter?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:00 Mo 15.11.2010 | | Autor: | reverend |
Mit anderen Worten: Deine Ableitung ist falsch.
Die beiden anderen sagen aber auch, wie man's richtig macht.
Viel Erfolg!
reverend
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Moin Crashday!
Deine Nullstellenberechnung ist bis hierhin:
$1 - [mm] \frac{1}{k}\, \ln{x} [/mm] = 0$
ja richtig. Was Du dann gemacht hast, entspricht allerdings nicht den Regeln der Mathematik. Du mußt doch zunächst die Differenz trennen (den logarithmischen Term auf die rechte Seite bringen):
$1 = [mm] \frac{1}{k}\, \ln{x}$
[/mm]
und nun mit dem [mm]k[/mm] multiplizieren:
[mm] $\ln{x} [/mm] = [mm] k\,.$
[/mm]
Diese Gleichung ist nun noch in die [mm]e[/mm]-te Potenz zu erheben:
$x = [mm] e^{k}\,.$
[/mm]
und fertig.
Zu den Ableitungsversuchen: Es wurde oben schon mehrfach angemerkt; weil ich den Eindruck habe, daß es vielleicht noch nicht ganz angekommen ist, nochmal anders:
Bevor Du mit allen möglichen Ableitungsregeln auf Deine Funktion losgehst, solltest Du Dir erstmal klar darüber werden, was Konstanten sind und und welches die Variable ist, nach der abgeleitet werden soll. Letztes ist (in der Schule) meistens das $x$ - insbesondere aber dann, wenn man $f'(x)$ bildet. Parameter hingegen (wie hier das $k$) sind auf jeden Fall immer Konstanten und daher sollte man ihretwegen keine Quotientenregel bemühen - das sind Mörser auf Mücken und zusätzliche Fehlerquellen.
Gruß, Marx.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Crashday |
Also ich versteh schon, was mit konstante gemeint ist, aber mich verwirrt einfach dieses [mm] \bruch{1}{k} [/mm] vor dem ln. Wenn ich die Produktregen anwende, muss ich ja auch das [mm] \bruch{1}{k}lnx [/mm] ableiten. Da komme ich einfach nicht weiter. Und falls ich dann das lnx in [mm] \bruch{1}{k} [/mm] reinmultipliziere, komm dann auch nur [mm] \bruch{lnx}{k} [/mm] raus (Quotientenregel?)
Dann wäre es doch so wie oben beschrieben laut Produktregel:
[mm] 1*(1-\bruch{lnx}{k})+x*(\bruch{(k*\bruch{1}{x})-lnx}{k^2})
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:26 Mi 17.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Also ich versteh schon, was mit konstante gemeint ist, aber
> mich verwirrt einfach dieses [mm]\bruch{1}{k}[/mm] vor dem ln. Wenn
> ich die Produktregen anwende, muss ich ja auch das
> [mm]\bruch{1}{k}lnx[/mm] ableiten. Da komme ich einfach nicht
> weiter. Und falls ich dann das lnx in [mm]\bruch{1}{k}[/mm]
> reinmultipliziere, komm dann auch nur [mm]\bruch{lnx}{k}[/mm] raus
> (Quotientenregel?)
Wie meinst du das mit dem "Reinmultiplizieren"?
>
> Dann wäre es doch so wie oben beschrieben laut
> Produktregel:
>
> [mm]1*(1-\bruch{lnx}{k})+x*(\bruch{(k*\bruch{1}{x})-lnx}{k^2})[/mm]
Fast: Du hast:
$ [mm] f_{k}(x)=x\cdot{}\left(1-\bruch{lnx}{k}\right) [/mm] $
Wenn du das mit der Produktregel ableitest, was du ja völlig zurecht tust, ergibt sich mit u=x und [mm] v=1-\bruch{1}{k}*\ln(x)
[/mm]
u'(x)=1 und, wenn du auf den letzten Summanden von v(x) unbedingt wieder die Produktregel anweden willst, [mm] v'(x)=-\left[\underbrace{\bruch{1}{k}}_{p}*\underbrace{\bruch{1}{x}}_{q'}+\underbrace{\red{0}}_{p'}*\underbrace{\ln(x)}_{q}\right]
[/mm]
Du kannst aber auch [mm] \bruch{1}{k} [/mm] als multiplikative Konstante m behandeln, also [mm] h(x)=m\ln(x) [/mm] und [mm] h'(x)=m*\bruch{1}{x}.
[/mm]
Du würdest [mm] l(x)=ax^{2} [/mm] doch auch nicht mit der Produktregel ableiten, oder?
Also: [mm] \left(1-\bruch{1}{k}\ln(x)\right)^{'}=-\bruch{1}{k}*\bruch{1}{x}=-\bruch{1}{kx}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Crashday |
Schon mal vielen Dank. An dieser Stelle hast du mir wirklich viel geholfen mit der Konstanten.
Dann habe ich als 1. Ableitung stehen:
[mm] 1-\bruch{1}{k}lnx-\bruch{x}{kx}
[/mm]
Könnte ich denn hier das x kürzen, dass dann [mm] \bruch{0}{k} [/mm] stehen bleibt und somit dieser Term ganz wegfällt (darf man aber bestimmt nicht machen) Kann man es denn sonst noch irgendwie zusammen fassen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Mi 17.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Schon mal vielen Dank. An dieser Stelle hast du mir
> wirklich viel geholfen mit der Konstanten.
>
> Dann habe ich als 1. Ableitung stehen:
>
> [mm]1-\bruch{1}{k}lnx-\bruch{x}{kx}[/mm]
Das stimmt.
>
> Könnte ich denn hier das x kürzen, dass dann [mm]\bruch{0}{k}[/mm]
Du bist ja Weltmeister im beherrschen von Rechenregeln !!!
Wenn Du in [mm] \bruch{x}{kx} [/mm] das x kürzt, so bleibt: [mm] \bruch{1}{k}
[/mm]
FRED
> stehen bleibt und somit dieser Term ganz wegfällt (darf
> man aber bestimmt nicht machen) Kann man es denn sonst noch
> irgendwie zusammen fassen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Crashday |
Ok, dass ist nun wirklich ein wenig peinlich gewesen, aber zurück zu meiner Frage. Kann ich das denn irgendwie zusammenfassen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 Mi 17.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Weltmeister past wirklich !
Du hast
$ [mm] 1-\bruch{1}{k}lnx-\bruch{1}{k}= 1-\bruch{1}{k} [/mm] (1+ln(x))$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Crashday |
Super, Rel. Extrema hab ich nun hinbekommen mit dem Ausklammern und wie mache ich nun die 2. Ableitung?
Soll ich jetzt die Summenregen + die Produktregel verwenden?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Crashday |
Das wäre dann doch:
[mm] f'(x)=1-\bruch{1}{k}(1+ln(x))
[/mm]
Die 1 fällt weg bei der 2. Ableitung und bei der Faktorregel wäre es dann so:
[mm] f''(x)=-\bruch{1}{k}*(\bruch{1}{x})
[/mm]
f''(x)= [mm] -\bruch{1}{kx}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Crashday!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Yep!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:40 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Crashday |
Gut, vielen Dank. Den Rest hab ich so hinbekommen.
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Faktorregel