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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 So 04.07.2004 | | Autor: | ami666 |
Hallo!
Ich stehe gerade kräftig auf der Leitung,
ich habe hier die Funktion [mm] \bruch{2}{x^2} [/mm] und muss sie ableiten.
In meinem Lösungsbuch steht hier dann als Lösung 2 [mm] \cdot [/mm] (-2) [mm] \cdot [/mm] x^-3
Warum dass denn?
Danke!!
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 So 04.07.2004 | | Autor: | andreas |
hi ami666
da konstante faktoren - hier eine 2 - beim ableiten erhalten bleiben, geügt es ja erstaml die ableitung von [m] \dfrac{1}{x^2} = x^{-2} [/m] zu berechnen.
das kannst du ganz einfach mit der ableitungsregel für potenzfunktionen, nämlich [m] (x^n)' = nx^{n-1}, \; (n \in \mathbb{Z}) [/m], tun.
wendest du das hierauf an erhältst du: [m] (x^{-2})' = (-2)x^{-2 - 1} = (-2)x^{-3} = \dfrac{-2}{x^3} [/m].
wenn du nun wieder die konstante 2 hinzunimmst erhältst du also insgesamt:
[m] \displaystyle{ \left( \frac{2}{x^2}\right)' = 2 \left( \frac{1}{x^2}\right)' = 2 (-2)x^{-3} = 2 \dfrac{-2}{x^3} = - \dfrac{4}{x^3}} [/m]
gruß andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:15 Mi 07.07.2004 | | Autor: | Mathmark |
Hallo Andreas !!!
Du behauptest [mm] $(x^n)'=nx^{n-1}$, [/mm] also als allgemeingültige Aussage.
Du stimmst doch sicherlich zu, dass [mm] $nx^{n-1}=nx^n\cdot x^{-1}=n\cdot \bruch{x^n}{x}$ [/mm] ist und somit zu der Tatsache führt, dass die Ableitung dann an der Stelle $x=0$ nicht existiert, oder ?
MfG Mathmark
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 Mi 07.07.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mathmark,
du hast diese Frage doch schon einmal gestellt, und Paulus hat dir daraufhin geantwortet:
https://matheraum.de/read?f=1&t=1403&i=1406
Falls dir das ganze immer noch nicht klar ist, so würde ich dich bitten, einfach dort nachzufragen!
Es ist dir keiner hier böse, wenn du nachborst, wenn etwas unklar geblieben ist.
PS: Du behauptest (anscheinend):
[mm] $nx^{n-1}=nx^n\cdot x^{-1}=n\cdot \bruch{x^n}{x}$ $\forall [/mm] x [mm] \in \IR$.
[/mm]
Du behauptest also auch (z.B. für $n=3,x=0$):
[mm] $(0=3*0^2=)3*0^{3-1}=3*0^3*0^{-1}=3*\bruch{0^3}{0}$.
[/mm]
Ups, da teilen wir wohl durch $0$... 
(Übrigens: [mm] $0^{-1}=\frac{1}{0}$ [/mm] würdest du dann auch als Rechenregel anwenden?)
PS: Schau dir vielleicht einmal an, welche Voraussetzungen man für die Anwendung der Potenzgesetze treffen muss bzw. welche gegeben sein müssen:
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/pdfANAI.pdf
[mm] $\rightarrow$ [/mm] S. 12 (interne) Zählung oben rechts
(dort steht: [mm] $x_1,x_2,x \ne [/mm] 0$)
Und hier noch ein schöner Internetlink, wo auch steht:
[mm] $\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}$, [/mm] falls $a [mm] \ne [/mm] 0$:
http://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_%28Mathematik%29
Also: Bei Verwendung von Regeln/Sätzen etc. immer darauf achten, dass man auch die Voraussetzungen beachtet! Sonst teilt man nachher noch durch $0$, und das wollen, zumindest wir hier, doch nicht!
Viele Grüße
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:35 Do 08.07.2004 | | Autor: | Mathmark |
Hallo Marcel !!!
Glatt vergessen, die 'damalige' Frage. Hab Sie damals noch nicht richtig gecheckt.
Soll also heissen, das meine Betrachtung zwar 'richtig' ist, es sich aber im Falle [mm] $nx^{n-1}$ [/mm] um einen algebraischen Ausdruck handelt. (im weiteren Sinn) ? Ich will damit sagen, dass man vorraussetzt, das $n>0 $ mit $ n [mm] \in [/mm] N$. Dann nämlich wäre $n-1$ als simple Aussage zu verstehen, dass ich einfach von $n$ eins abziehe, wenn $n > 0$.
MfG Mathmark
P.S. herzlichen Dank für die Links !!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:33 Do 08.07.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mathmark,
> Hallo Marcel !!!
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> Glatt vergessen, die 'damalige' Frage. Hab Sie damals noch
> nicht richtig gecheckt.
> Soll also heissen, das meine Betrachtung zwar 'richtig'
> ist, es sich aber im Falle [mm]nx^{n-1}[/mm] um einen algebraischen
> Ausdruck handelt. (im weiteren Sinn) ? Ich will damit
> sagen, dass man vorraussetzt, das [mm]n>0[/mm] mit [mm]n \in N[/mm]. Dann
> nämlich wäre [mm]n-1[/mm] als simple Aussage zu verstehen, dass ich
> einfach von [mm]n[/mm] eins abziehe, wenn [mm]n > 0[/mm].
Ich habe jetzt etwas drüber nachdenken müssen, wie ich dir am besten klar mache, was das entscheidende ist.
Du willst doch die Rechenregel:
[mm] $x^{n-1}=x^n*x^{-1}$ [/mm] anwenden. Das ist (vgl. Link Analysis-Skript) genau die Rechenregel (I) [mm] $x^{m_1}*x^{m_2}=x^{m_1+m_2}$, [/mm] wobei [m]m_1,m_2 \in \IZ[/m].
Aber man braucht für (I) auch: (*) [m]x \ne 0[/m] !!!
Man braucht, um obige Regel (I) anzuwenden, ja nur [mm] $m_1:=n$und[/mm] [m]m_2:=-1[/m] zu setzen.
Du darfst hier auch (I) verwenden, sofern $x [mm] \ne [/mm] 0$.
Nur: für $x=0$ darfst du so nicht argumentieren, wegen (*)!
Dann gilt diese Regel (I) nämlich nicht, soll heißen, du darfst sie nicht anwenden! (siehe etwa Paulus Begründung, etwas abgewandelt:
[mm]5=5*0^0=5*0^{1-1}=...[/mm] (bis hierhin ist noch alles korrekt)
[mm]...=5*0^1*0^{-1}=...[/mm] (jetzt haben wir (die Voraussetzung der Regel (I))"$x [mm] \ne [/mm] 0$" (also (*)) missachtet, also ab hier wird es falsch; man sieht es auch schon an dem Ausdruck [m]0^{-1}[/m]("[m]=\frac{1}{0}[/m]"), warum man das $x [mm] \ne [/mm] 0$ (für (I)) fordern muss!)
[mm]...=\frac{5*0}{0}=\frac{0}{0}[/mm].)
Im Falle $x=0$ (und [m]n \in \IN:=\{1,2,3,...\}[/m]) ist [m]x^{n-1}=0^{n-1}[/m], was aber nicht das gleiche ist wie:
[mm] $0^n*0^{-1}$, [/mm] weil [mm] $0^{-1}$ [/mm] für sich genommen schon "unsinnig" ist!
Es gilt aber für alle $n [mm] \in \IN$, [/mm] dass [mm] $0^n=0$ [/mm] (formaler Beweis etwa über Induktion), während meist [mm] $0^0:=1$ [/mm] definiert wird. Und dann stellt sich folgende Frage:
Hätten wir denn dann Probleme, wenn wir die Funktion [mm] $f(x)=x^1$ [/mm] an der Stelle $x=0$ untersuchen?
Probieren wir es mal:
Nach der Regel soll ja gelten:
[mm] $f'(x)=(x^1)'=1*x^{1-1}=1*x^0$.
[/mm]
Also erhalten wir:
[mm] $f'(0)=1*0^0=1*1=1$.
[/mm]
D.h., auch dann greift die Regel:
(II) [mm] $(x^n)'=n*x^{n-1}$.
[/mm]
Diese Regel gilt also tatsächlich für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] und $n [mm] \in \IN$ [/mm] (Beweis: siehe etwa Analysis-Skript, Beispiel 13.5, S.117).
Wenn man die Regel (II) "allgemeiner" anwenden will, dann muss man beachten, welche Voraussetzungen man an das $x$ treffen muss. Z.B. gilt für:
[mm] $g(x)=x^{-1}$, [/mm] dass
[mm] $g'(x)=\frac{-1}{x^2}$.
[/mm]
Dies gilt für alle $x [mm] \in \IR-\{0\}$. [/mm] $g$ ist an der Stelle $x=0$ ja gar nicht definiert, und auch nicht diff'bar (und auch schon gar nicht diff'bar fortsetzbar, da sie an der Stelle $x=0$ auch nicht stetig fortsetzbar ist!).
(Schau dir zu diesem "allgemeiner", von dem ich eben sprach, vielleicht auch mal im Analysis Skript auf Seite 121 Folgerung 13.11.4 an!)
Ich bin mir nicht ganz sicher, aber ich denke, du hast eigentlich das gleiche gemeint, wie das, was ich jetzt hier geschrieben habe, oder?
> ...
> P.S. herzlichen Dank für die Links !!!
Gern geschehen! 
Viele Grüße
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:15 Mi 14.07.2004 | | Autor: | Mathmark |
Vielen, vielen Dank für die Erklärung.
Habs schon vorher gecheckt, da ich einen Mathestudi gefragt habe.Er hat mir aber im prinzip das selbe wie Du erklärt.
Besten Dank noch einmal !!!
MFG Mathmark
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