Ableitung Kettenregel < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:13 Fr 04.03.2016 | | Autor: | aplaq |
Hallo,
ich habe eine Verständnisfrage:
Die Kettenregel beim Ableiten kenne ich in dieser Form:
d f(g(x)) / dx = df/dg * dg/dx
Nun habe ich eine Funktion f(g(x), x).
Beispiel: g(x) = [mm] x^2
[/mm]
f(g, x) = [mm] g^2 [/mm] + x
Bei diesem Beispiel kann ich vorher substituieren und dann differenzieren:
f'(g(x), x) = [mm] (g^2 [/mm] + x)' = [mm] ((x^2)^2 [/mm] + x )' = [mm] (x^4 [/mm] + x)' = [mm] 4x^3 [/mm] + 1
Verwende ich nun die oben genannte Kettenregel, kommt ein falsches Ergebnis heraus:
d f(g(x), x) / dx = d [mm] (g^2 [/mm] + x) / dg * d [mm] (x^2) [/mm] / dx = 2g * 2x = [mm] 2x^2 [/mm] * 2x = [mm] 4x^3
[/mm]
Kann mir jemand helfen, für eine allgemeine Funktion f(g(x), x) die Kettenregel zu finden bzw. sie mir zeigen und evtl. erklären?
Vielen Dank,
Grüße, Ulrich
PS: ich habe wirklich mehr als eine 3/4 Stunde versucht, die Formeln im Tex-Format einzugeben, doch ich bekomme es einfach nicht hin. Ich hoffe, ihr könnt über diese unschöne Darstellung insbesondere mit den von mir ungewünschten automatischen Ersetzungen hinwegsehen.
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Hallo Ulrich,
ich hatte auch vorher Probleme mit den Formeln, vielleicht stimmt da auch etws gerade nicht. Nun aber zu deiner Frage.
So wie du die Kettenregel anfühst, kenne ich sie nicht. Die Kettenregel leitet dir Funktionen in der Form $f(g(x))$ ab. Du aber hast $f(g(x)) + x$, wobei [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] und [mm] $g(x)=x^2$. [/mm] Das $x$, welches da noch in der Summe steht, stört. Kettenregel ist für das gesamte erst einmal nicht anwendenbar.
Aber selbstverständlich darf in einer Summe Summand für Summand abgeleitet werden, und für den linken Summanden kannst du sehr wohl die Kettenregel anwenden.
Gruß,
Sandro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:39 Fr 04.03.2016 | | Autor: | aplaq |
Hallo Sandro,
vielen Dank für deine Antwort!
Ich verstehe nun, dass ich die Kettenregel in meinem Beispiel nicht (so wie ich es getan habe) anwenden darf.
Gibt es eine allgemeine Ableitungsregel für Funktionen "vom Typ" f(g(x), x), wenn ich nach x ableiten möchte?
Vielen Dank nochmals!
Grüße,
Ulrich
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:52 Fr 04.03.2016 | | Autor: | sinnlos123 |
Hallo,
was bedeutet
f'(g(x)) = $ [mm] (g^2 [/mm] $ + x)'
f(g(x)) wäre in deinem Beispiel
f( [mm] x^{2} [/mm] )=???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:31 Fr 04.03.2016 | | Autor: | aplaq |
Hallo sinnlos123,
danke, du machst mich auf 2 Tippfehler im Beispiel meiner Ausgangsfrage aufmerksam:
Es gibt zwei Funktionen: g(x) und eine Funktion f. Die Funktion f ist abhängig von g(x) und von x.
Es muss also f'(g(x), x) bzw. d f(g(x), x) / dx heißen.
Ich habe das oben in der Ausgangsfrage korrigiert.
Grüße, Ulrich
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Hi,
generell:
wenn du es in dieser Form kennst:
[mm] \bruch{d f(g(x))}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{ \bruch{df}{dg \* dg}}{dx}
[/mm]
dann bring deine Funktion auch erstmal in diese Form.
Außerdem benutze bitte das Bruchzeichen bei langen Audrücken, es ist sonst sehr schwer zu lesen.
Wenn g(x)=a von x abhängt, dann macht es auch keinen Sinn f(g(x),x) zu schreiben, f(x)=b ist sobald es von a abhängt, auch von x abhängig.
Bitte warte bis morgen, denn wie du siehst sind die Grafiken momentan verbuggt.
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f(g(x))=für jedes x wird g(x) eingesetzt
das ist bei f(g(x),x)=g+x nicht möglich
daher wäre f(g(x),h(x))=g+h korrekt
aber auch das wäre nicht ganz korrekt
g(x) sollte eine eigene variabke bekommen, k
und h(x)=j
außerdem ist die kettenrgel eigentlich für probleme gedacht wie [mm] f(x)=(x+1)^{2}
[/mm]
[mm] (x+1)^{2}'=(2)'*(x+1)+(x+1)'*(2)
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:52 Fr 04.03.2016 | | Autor: | aplaq |
Hallo,
> das ist bei f(g(x),x)=g+x nicht möglich
das halte ich für Quatsch.
Ich bin in der Mathematik zwar nicht sattelfest (deswegen bin ich ja hier), jedoch ist die Notation $f(g(x), x)$ in vielen Naturwissenschaftlichen Fachbüchern Standard.
> außerdem ist die kettenrgel eigentlich für probleme gedacht wie [...]
Das habe ich verstanden und frage bereits seit meinem ersten Post explizit nach der Lösung eines anderen Problems. Die Kettenregel habe erwähnt und angewendet, da ich davon ausging, dass sie ein Schritt zur Lösung meines Problems ist.
Kann es sein, dass du nicht so sehr am helfen, wie am "Besserwissen" interessiert bist?
Grüße, Ulrich
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:57 Fr 04.03.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > das ist bei f(g(x),x)=g+x nicht möglich
> das halte ich für Quatsch.
Ich auch.
> Ich bin in der Mathematik zwar nicht sattelfest (deswegen
> bin ich ja hier), jedoch ist die Notation [mm]f(g(x), x)[/mm] in
> vielen Naturwissenschaftlichen Fachbüchern Standard.
So ist es.
>
>
>
>
> > außerdem ist die kettenrgel eigentlich für probleme
> gedacht wie [...]
> Das habe ich verstanden und frage bereits seit meinem
> ersten Post explizit nach der Lösung eines anderen
> Problems. Die Kettenregel habe erwähnt und angewendet, da
> ich davon ausging, dass sie ein Schritt zur Lösung meines
> Problems ist.
Schau mal hier
https://matheraum.de/read?i=1072402
da hab ich Dir gezeigt wie es geht.
FRED
>
>
>
> Kann es sein, dass du nicht so sehr am helfen, wie am
> "Besserwissen" interessiert bist?
>
> Grüße, Ulrich
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:02 Fr 04.03.2016 | | Autor: | aplaq |
Hallo Fred,
danke für die Mühe hier.
Ich habe dir in deinem Faden inzwischen auch geantwortet.
Viele Grüße,
Ulrich
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:06 Fr 04.03.2016 | | Autor: | sinnlos123 |
Hi,
bitte um Entschuldigung.
Ich hatte irgendwie eine Denkblockade.
Letzten Endes haben dir die anderen ja zum Glück geholfen 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:48 Fr 04.03.2016 | | Autor: | aplaq |
Hallo,
> bitte um Entschuldigung.
> Ich hatte irgendwie eine Denkblockade.
kein Ding, das kenne ich.
Grüße, Ulrich
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:35 Fr 04.03.2016 | | Autor: | chrisno |
Du hast hier eine Funktion in mehreren Variablen, g und x. Dabei ist x ein Spezialfall für eine Funktion h(x). Stichwort: totales Differential
Daher muss Du wie folgt ableiten:
[mm] $\br{df}{dx} [/mm] = [mm] \br{df}{dg}\br{dg}{dx} [/mm] + [mm] \br{df}{dh}\br{dh}{dx}$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:56 Fr 04.03.2016 | | Autor: | aplaq |
Hallo Chrisno,
vielen Dank für die Hilfe und das Stichwort! Ich komme nun klar und kann auch googeln / in Büchern lesen.
Toll!
Nochmals danke und viele Grüße,
Ulrich
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:55 Fr 04.03.2016 | | Autor: | fred97 |
f sei eine differenzierbare Funktion mit 2 Variablen, also f(x,y). Weiter seien g und h zwei differenzierbare Funktionen von jeweils einer Variable. Damit definieren wir
[mm] \phi(x):=f(g(x),h(x)).
[/mm]
Nach der mehrdimensionalen Kettenregel ist [mm] \phi [/mm] differenzierbar und
(*) $ [mm] \phi'(x)=f_x(g(x),h(x))*g'(x)+f_y(g(x),h(x))*h'(x)$
[/mm]
In Deinem Beispiel ist [mm] f(x,y)=x^2+y, g(x)=x^2 [/mm] und h(x)=x. Damit ist
[mm] \phi(x)=x^4+x.
[/mm]
Weiter ist [mm] f_x(x,y)=2x [/mm] und [mm] f_y(x,y)=1. [/mm] Verwenden wir (*), so ergibt sich:
[mm] \phi'(x)=f_x(x^2,x)*2x+f_y(x^2,x)*1=2x^2*2x+1*1=4x^3+1,
[/mm]
wie gewünscht !
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:59 Fr 04.03.2016 | | Autor: | aplaq |
Hallo Fred,
vielen Dank für deine ausführliche Antwort!
Die Frage ist für mich nun geklärt.
Viele Grüße,
Ulrich
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