Ableitung Umkehrfunktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 Do 08.08.2013 | | Autor: | Blubie |
Hallo, ich beziehe mich auf Seite 25-2 in diesem Skript:http://www.math.uni-kiel.de/geometrie/klein/phyws10/mo0702.pdf Es geht um die Ableitung der Umkehrfunktion. Mir ist nicht klar, wo bei dieser Umformung verwendet wird, dass f stetig. Es wird zwar im Beweis am Anfang erwähnt, aber nicht so das notwendig ist bzw. ausgenutzt wird. Könnte mir das jemand sagen bzw. erklären?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 Do 08.08.2013 | | Autor: | QexX |
Hallo,
Dass f stetig ist, wird zunächst explizit gebraucht, um den verwiesenen Satz zu verwenden, dass dann auch die Umkehrfunktion stetig ist. Das ist damit also schonmal gesichert. Desweiteren möchte man ja Aussagen über den Grenzwert Differenzenquotienten der Umkehrfunktion (die Ableitung) machen. Dazu muss der Grenzprozess [mm] \limes_{u\rightarrow y}f^{-1}(u) [/mm] erklärt sein. Als Hilfsmittel wird in dem Beweis eine Folge [mm] (y_n)_{n\in\mathbb{N}} [/mm] definiert. Diese Folge wird letztlich in die Umkehrfunktion eingesetzt, um den gewünschten Grenzprozess durchführen zu können. Allerdings und das ist der entscheidende Punkt, wird der Grenzprozess [mm] \limes_{u\rightarrow y}(f^{-1}(y_n))_{n\in\mathbb{N}} [/mm] nur korrekt erfasst, wenn die Funktion [mm] f^{-1}, [/mm] in welche die definierte Folge [mm] (y_n)_{n\in\mathbb{N}} [/mm] eingesetzt wird, auch stetig ist. Ansonsten könntest du keine Aussage über den Grenzwert machen. Einfach ausgedrückt: Nicht stetige Funktionen haben "Sprünge". Insofern wird hier implizit die Stetigkeit von f benötigt.
Hoffe das hilft,
Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Do 08.08.2013 | | Autor: | Blubie |
Hallo und danke für deine ausführliche antwort. Mir ist klar, dass f^-1 stetig ist weil f stetig ist und mir ist auch die definition von stetigkeit klar aber mir ist nicht klar wieso f^-1 hier stetig sein muss, bzw. wieso das überhaupt erwähnt wird. du sagst auch einfach das muss so sein. aber da ich den differenzenquotienten von f^-1 auf einen von f zurückführe brauche ich diese information doch gar nicht, oder? An welcher Stelle genau im Beweis wird das benutzt?
EDIT: Es ist mir nun klar: Bei der Sustitution durch u muss sichergestellt werden, dass u eine folge aus dem Urbereich ist, die gegen x konvergiert. Denn für den differenzenquotienten von f betrachten wir ja gerade nur folgen die gegen [mm] x_0 [/mm] konvergieren. Da aber [mm] y_n [/mm] gegen y konvergiert und f^-1 stetig ist folgt, dass [mm] f^-1(y_n)=u_n [/mm] gegen [mm] f^-1(y_0)=x_0 [/mm] konvergiert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:35 Fr 09.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo und danke für deine ausführliche antwort. Mir ist
> klar, dass f^-1 stetig ist weil f stetig ist und mir ist
> auch die definition von stetigkeit klar aber mir ist nicht
> klar wieso f^-1 hier stetig sein muss,
es ist jedenfalls hinreichend.
Schau' mal - zur Erinnerung - in
![[]](/images/popup.gif) Satz 10.7
(ihr werdet einen ähnlichen Satz haben).
Denn zu Deiner Frage: In dem Beweis steht, dass [mm] $f^{-1} \colon [/mm] J [mm] \to [/mm] I$ stetig
(und damit insbesondere stetig in $y [mm] \in [/mm] J$) sein soll (bzw. das folgt aus
den gegebenen Voraussetzungen). Daraus folgt dann, dass Du, wenn $J [mm] \ni y_n \to [/mm] y$
gilt, Du
[mm] $\lim_{n \to \infty}f^{-1}(y_n)=f^{-1}(\lim_{n \to \infty}y_n)$
[/mm]
schreiben darfst; dass also
[mm] $\lim_{n \to \infty}f^{-1}(y_n)=f^{-1}(y)$
[/mm]
gilt.
Dies steht in der letzten Zeile auf Seite 25-1 und findet dann auch
Anwendung im Beweis.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:48 Fr 09.08.2013 | | Autor: | Marcel |
P.S. Vielleicht weitere Ergänzung:
Wegen der Stetigkeit von [mm] $f^{-1}$ [/mm] in $y [mm] \in [/mm] J$ folgt aus [mm] $y_n \to [/mm] y$ sodann [mm] $f^{-1}(y_n)=:x_n \to f^{-1}(y)=x.$
[/mm]
Ich schreibe hier bewußt [mm] $x_n:=f^{-1}(y_n)$ [/mm] - denn [mm] $u=f^{-1}(y_n)$ [/mm] zu definieren, ist
"etwas verwirrend" - und in der Tat ist das so im Beweis nicht gemeint.
Sondern da wird quasi dieser "Zwischenschritt" nicht notiert.
Denn eigentlich wird da benutzt:
Wenn [mm] $\lim_{u \to x}\underbrace{\frac{f(x)-f(u)}{x-u}}_{=\frac{f(u)-f(x)}{u-x}}$ [/mm] existiert (dann ist dieser Grenzwert gerade [mm] $f\,'(x)$),
[/mm]
so bedeutet dass: Für alle Folgen [mm] $(x_n)_n$ [/mm] im Definitionsbereich von [mm] $f\,$ [/mm] mit
$0 [mm] \not=x_n \to [/mm] x$ [mm] ($x\,$ [/mm] im Def.-Bereich von [mm] $f\,$) [/mm] existiert
[mm] $\lim_{n \to \infty} \frac{f(x)-f(x_n)}{x-x_n}$
[/mm]
und es gilt dann
[mm] $\lim_{n \to \infty} \frac{f(x)-f(x_n)}{x-x_n}=\lim_{u \to x}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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