Ableitung berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 Mi 29.07.2009 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | Sei [mm] f(t)=\bruch{t}{t^2+1}. [/mm] Ich möchte beweisen, dass
[mm] f^{(v)}(1)=(-1)^v*v!*\bruch{cos(\bruch{(v+1)*\pi}{4})}{2^{\bruch{v+1}{2}}} [/mm] |
Hallo !
also obiges Problem soll mithilfe Partialbruchzerlegung von [mm] \bruch{t}{t^2+1} [/mm] gelöst werden und zwar:
[mm] \bruch{t}{t^2+1}=\bruch{1}{2(t+i)}+\bruch{1}{2(t-i)}
[/mm]
Bisher haben wir, um allgemein v-te Ableitungen an einer Stelle [mm] x_0 [/mm] zu berechnen, die Funktion in eine Taylorreihe um [mm] x_0 [/mm] entwickelt und dann nach der v-ten Ableitung aufgelöst.
Allerdings weiß ich nicht, wie man das hier bewerkstelligen soll.
Hätte jemand vielleicht eine Idee und könnte mir weiterhelfen?
Gruß
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:07 Mi 29.07.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Ich würde das versuchen, per Induktion nach v zu lösen der Weg scheint mit vielversprechender zu sein, als deiner.
Das ist aber nur eine Idee, ich habe da keine weiteren Überlegungen zu gemacht.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Mi 29.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich habs nicht durchgerechnet, aber schreib doch
[mm] \bruch{1}{t+i}=-i*\bruch{1}{1-it}
[/mm]
und dann geometrische Reihe, die addieren und dann diffrenzieren und mit cos definiert durch die Summe der e-fkt vergleichen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Do 30.07.2009 | | Autor: | Fry |
Hallo ihr beiden,
vielen Dank für eure Hilfe !
@Leduart:
Könntest du noch genauer erklären, wie du das meinst?
Also die Potenzreihenentwicklung um 0 von [mm] \bruch{t}{t^2+1}=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{-i^{n+1}+(-i)^{n+1}}{2}t^n
[/mm]
leitet man dann v-mal ab steht da:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{-i^{n+1}+(-i)^{n+1}}{2}*\vektor{n\\ v}v!*t^{n-v}
[/mm]
Inwiefern bringt mich denn dann ein Vergleich mit cos [mm] z=\bruch{e^{iz}+e^{-iz}}{2} [/mm] weiter ?
bzw wie komme danach dann weiter? Ich hab dann ja immer noch ne unendliche Summe da stehen.
LG
Christian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:41 Do 30.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
sorry, meine Idee hat bei genauere Hinsehen nicht geklappt.
Gruss leduart
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Ich beginne einen gesonderten Teilstrang, weil der hier vorgestellte Lösungsweg nicht im Sinne der Aufgabenstellung ist. Er kommt ganz ohne Reihenrechnung aus. Und damit umgeht man auch alle Konvergenzfragen.
Man zeigt zunächst für ganzzahlige [mm]n \geq 1[/mm] durch Induktion:
[mm]n(n+1) f^{(n-1)}(t) + 2(n+1) \, t \, f^{(n)}(t) + (t^2 + 1) f^{(n+1)}(t) = 0[/mm]
Den Induktionsanfang bekommt man, indem man in der Funktionsgleichung von [mm]f(t)[/mm] mit [mm]t^2 + 1[/mm] durchmultipliziert und die Gleichung zweimal differenziert. Der Induktionsschritt geht dann einfach.
Setzt man in der Gleichung oben speziell [mm]t = 1[/mm], so bekommt man für [mm]a_n = f^{(n)}(1) , \, n \geq 0 \, ,[/mm] die Rekursionsbeziehung
(*) [mm]a_{n+1} = - (n+1) \, a_n - \frac{1}{2} n (n+1) \, a_{n-1} \, , \ n \geq 1[/mm]
Und mit [mm]a_0 = \frac{1}{2}, \, a_1 = 0[/mm] kann man damit alle [mm]a_n[/mm] ermitteln.
Man kann noch eine einfachere Rekursion finden:
(**) [mm]a_{n+4} = - \frac{1}{4} (n+1)(n+2)(n+3)(n+4) \, a_n[/mm]
Zum Beweis beginnt man in (*) mit [mm]n+4[/mm] statt [mm]n+1[/mm] auf der linken Seite und wendet dann (*) noch zweimal an, immer auf das Glied mit dem größten Index, nachdem man zuvor jeweils vereinfacht hat.
Wenn nun die Formel der Aufgabe der gleichen rekursiven Beziehung (**) genügt und auch dieselben Werte für [mm]n=0,1,2,3[/mm] liefert, dann sind alle Fragen geklärt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:12 Fr 31.07.2009 | | Autor: | Fry |
Hey Leopold,
danke für deine Hilfe !
LG
Christian
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