Ableitung der Geschwindigkeit < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 Do 20.11.2008 | | Autor: | RudiBe |
| Aufgabe | In einer zähen Flüssigkeit wird eine Kugel aus der Ruhe fallen gelassen.
Berechnen Sie die Beschleunigung [mm] a_{(t)} [/mm] und den Weg [mm] s_{(t)}.
[/mm]
v = [mm] v_{g} (1-e^{-\bruch{t}{T}}) [/mm]
[mm] v_{0}=0
[/mm]
[mm] s_{0}=0
[/mm]
T = Viskositätskonstante Tau |
Nun ist klar, dass ich a durch Differenzieren und s durch Integrieren von v bekomme.
Aber irgendwie irritiert mich Tau und so weiss ich nicht recht, was richtig ist. Hier mal mein Ansatz:
v = [mm] v_{g} (1-e^{-\bruch{t}{T}}) [/mm] = [mm] v_{g} [/mm] - [mm] v_{g} [/mm] * [mm] e^{-\bruch{t}{T}}
[/mm]
[mm] a_{(t)} [/mm] = 0 - [mm] {\bruch{v_{g}}{T}} [/mm] * [mm] e^{-\bruch{t}{T}}
[/mm]
[mm] a_{(t)} [/mm] = [mm] {\bruch{v_{g}}{T}} [/mm] * [mm] e^{-\bruch{t}{T}}
[/mm]
[mm] s_{(t)} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{v_{g} (1-e^{-\bruch{t}{T}}) dt}
[/mm]
[mm] s_{(t)} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{(v_{g} - v_{g} * e^{-\bruch{t}{T}}) dt}
[/mm]
[mm] s_{(t)} [/mm] = [mm] v_{g}t [/mm] + [mm] v_{g}T [/mm] * [mm] e^{-\bruch{t}{T}}
[/mm]
Würde mich über Hilfe sehr freuen.
Danke!
PS: diese Frage steht in keinem anderen Forum
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Hallo RudiBe,
> In einer zähen Flüssigkeit wird eine Kugel aus der Ruhe
> fallen gelassen.
> Berechnen Sie die Beschleunigung [mm]a_{(t)}[/mm] und den Weg
> [mm]s_{(t)}.[/mm]
> v = [mm]v_{g} (1-e^{-\bruch{t}{T}})[/mm]
> [mm]v_{0}=0[/mm]
> [mm]s_{0}=0[/mm]
> T = Viskositätskonstante Tau
> Nun ist klar, dass ich a durch Differenzieren und s durch
> Integrieren von v bekomme.
> Aber irgendwie irritiert mich Tau und so weiss ich nicht
> recht, was richtig ist. Hier mal mein Ansatz:
>
> v = [mm]v_{g} (1-e^{-\bruch{t}{T}})[/mm] = [mm]v_{g}[/mm] - [mm]v_{g}[/mm] *
> [mm]e^{-\bruch{t}{T}}[/mm]
>
> [mm]a_{(t)}[/mm] = 0 - [mm]{\bruch{v_{g}}{T}}[/mm] * [mm]e^{-\bruch{t}{T}}[/mm]
>
> [mm]a_{(t)}[/mm] = [mm]{\bruch{v_{g}}{T}}[/mm] * [mm]e^{-\bruch{t}{T}}[/mm]
Die Beschleunigung stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]s_{(t)}[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{v_{g} (1-e^{-\bruch{t}{T}}) dt}[/mm]
>
> [mm]s_{(t)}[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{(v_{g} - v_{g} * e^{-\bruch{t}{T}}) dt}[/mm]
>
> [mm]s_{(t)}[/mm] = [mm]v_{g}t[/mm] + [mm]v_{g}T[/mm] * [mm]e^{-\bruch{t}{T}}[/mm]
Hier ist [mm]s\left(t=0\right)=v_{g}*T \not= 0[/mm]
Das musst Du nochmal nachrechnen.
>
> Würde mich über Hilfe sehr freuen.
> Danke!
>
>
> PS: diese Frage steht in keinem anderen Forum
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Do 20.11.2008 | | Autor: | RudiBe |
[mm] s_{(t)} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{v_{g} dt} [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{v_{g} * e^\bruch{-t}{T}dt}
[/mm]
[mm] s_{(t)} [/mm] = [mm] v_{g}t [/mm] + [mm] v_{g}t*T*e^\bruch{-t}{T}
[/mm]
ich bin leider noch nicht so firm in den Dingen und tu mich da noch mächtig schwer :(
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Hallo RudiBe,
> [mm]s_{(t)}[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{v_{g} dt}[/mm] - [mm]\integral_{}^{}{v_{g} * e^\bruch{-t}{T}dt}[/mm]
>
> [mm]s_{(t)}[/mm] = [mm]v_{g}t[/mm] + [mm]v_{g}t*T*e^\bruch{-t}{T}[/mm]
>
> ich bin leider noch nicht so firm in den Dingen und tu mich
> da noch mächtig schwer :(
Eine Stammfunktion zu
[mm]v\left(t\right)=v_{g}*\left(1-e^{-\bruch{t}{T}}\right)[/mm]
ist
[mm]s\left(t\right)=v_{g}*t+v_{g}*T*e^{-\bruch{t}{T}}+C[/mm]
mit C konstant.
Um jetzt diese Konstante zu spezifizieren, setzt Du die Anfangsbedingung
[mm]s\left(t=0\right)=0[/mm] in vorherige Gleichung ein.
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:03 Do 20.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Rudi
Du hast am Integral fuer s(t) die Grenzen weggelassen, di sind aber 0 und t. d.h. du musst noch die Stammfkt (die du richtig hast) bei 0 abziehen.
oder du schreibst einfach die allgemeine Stammfkt, da kommt aber noch ne Konstante C zu deiner fkt, dann setzest du s(0)=0 und bestimmst so die Konstante.
Die Konstante [mm] \tau [/mm] bei dir T hat die Dimension einer Zeit und gibt an, nach welcher Zeit eine Geschw. auf 1/e ihres Anfangswertes (ohne aeussere Beschleunigung) abgesunken waere.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:12 Do 20.11.2008 | | Autor: | RudiBe |
Danke, das waren entscheindende Tipps.
leider muss ich morgen früh raus und ich hab keinen Mathe-Nerv mehr für heute.
also morgen melde ich mich wieder.
Danke für heute.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Fr 21.11.2008 | | Autor: | RudiBe |
So also die Stammfunktion war klar (mit +c hinten dran)
Wenn ich nun [mm] s_{0} [/mm] und [mm] t_{0} [/mm] setze komme ich auf C = [mm] v_{g}T
[/mm]
heißt das ich kann schreiben
[mm] s_{t} [/mm] = [mm] v_{g}t+v_{g}T*e^\bruch{-t}{T} [/mm] + [mm] v_{g}T [/mm] ?
Bei der Variante mit den Grenzen des Integrals weiss ich nicht, wie ich das t für das t einsetzen soll. Ich tu mir da echt schwer.
Entsprechende Mathebücher, wo das drin steht hab ich mir heute bestellt.
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Hallo RudiBe,
> So also die Stammfunktion war klar (mit +c hinten dran)
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> Wenn ich nun [mm]s_{0}[/mm] und [mm]t_{0}[/mm] setze komme ich auf C =
> [mm]v_{g}T[/mm]
> heißt das ich kann schreiben
Das muß heißen: [mm]C=\red{-}v_{g}T[/mm]
>
> [mm]s_{t}[/mm] = [mm]v_{g}t+v_{g}T*e^\bruch{-t}{T}[/mm] + [mm]v_{g}T[/mm] ?
Ja.
Korrekt lautet die Stammfunktion dann:
[mm]s\left(t\right) = v_{g}t+v_{g}T*e^\bruch{-t}{T} - v_{g}T[/mm]
>
> Bei der Variante mit den Grenzen des Integrals weiss ich
> nicht, wie ich das t für das t einsetzen soll. Ich tu mir
> da echt schwer.
> Entsprechende Mathebücher, wo das drin steht hab ich mir
> heute bestellt.
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:12 Fr 21.11.2008 | | Autor: | RudiBe |
Gruß
Rudi
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