Ableitung der Umkehrfunktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 Fr 31.01.2014 | | Autor: | capri |
| Aufgabe | Bestimme die Ableitung der Umkehrfunktion f^(-1)
von f(x)=sin(x) |
Hallo,
wie gehe ich hier am leichtesten vor?
Im Internet findet man sehr viele unterschiedliche wege, die ich teils nicht verstehe.Deswegen wollte ich euch mal fragen, wie man hier vor geht.
f(x)=sin(x)
f´(x) = cos(x)
die Umkehrfunktion von Sinus ist arcsin(x)
Die Ableitung von arcsin(x) ist: [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}
[/mm]
ich glaube mehr brauche ich nicht, aber ich kann diese halt nicht zusammenfügen.
Ich habe hier eine Formel:
(f^(-1)´(y)) = [mm] \bruch{1}{f strich von x}
[/mm]
(irgendwie kriege ich die richtige Schreibweise nicht hin)
1.Schritt:
(f^(-1)´(y)) = [mm] \bruch{1}{cos(x)} [/mm] ?
2.Schritt: die Umkehrfunktion einsetzen?
(f^(-1)´(y)) = [mm] \bruch{1}{cos(arcsin(x))} [/mm] ?
und nun komme ich nicht weiter falls es richtig ist.
LG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:35 Fr 31.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
das ist ein Problem, mit dem sich Schüler, Studenten, Lehrer, Professoren schon seit Generationen herumschlagen, was ist f, was ist x, was ist y, wo kommt das ^{-1} hin ?
>
> f(x)=sin(x)
> f´(x) = cos(x)
>
> die Umkehrfunktion von Sinus ist arcsin(x)
>
> Die Ableitung von arcsin(x) ist:
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}[/mm]
>
Diese Formel sollst du gerade beweisen.
> ich glaube mehr brauche ich nicht, aber ich kann diese halt
> nicht zusammenfügen.
> Ich habe hier eine Formel:
>
> (f^(-1)´(y)) = [mm]\bruch{1}{f strich von x}[/mm]
>
> (irgendwie kriege ich die richtige Schreibweise nicht hin)
>
> 1.Schritt:
>
> (f^(-1)´(y)) = [mm]\bruch{1}{cos(x)}[/mm] ?
>
> 2.Schritt: die Umkehrfunktion einsetzen?
>
> (f^(-1)´(y)) = [mm]\bruch{1}{cos(arcsin(x))}[/mm] ?
Das stimmt nicht, hier musst du beachten, dass x=arcsin(y) ist.
>
> und nun komme ich nicht weiter falls es richtig ist.
>
> LG
>
benutze jetzt den Zusammenhang [mm] sin^2(y)+cos^2(y)=1, [/mm] löse nach cos(y) auf und setze oben ein. Du erhälst die zu beweisende Gleichung, wenn du den Buchstaben y durch den Buchstaben x austauschst.
Zum Schluss solltest du dir noch ein paar Gedanken über Definitions- und Wertebereiche machen.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:42 Sa 01.02.2014 | | Autor: | capri |
Hallo,
ok dann habe ich das hier.
(f^(-1)´(y)) = $ [mm] \bruch{1}{cos(arcsin(y))} [/mm] $
ich habe jetzt das mit dem Sinus nicht verstanden? okay ich weiß, dass es [mm] sin^2(y)+cos^2(y)=1 [/mm] ist, aber von wo kommt nun dieses Sinus quadrat bzw cos quadrat?
LG
|
|
|
| |
|
> Hallo,
> ok dann habe ich das hier.
>
> (f^(-1)´(y)) = [mm]\bruch{1}{cos(arcsin(y))}[/mm]
>
> ich habe jetzt das mit dem Sinus nicht verstanden? okay ich
> weiß, dass es [mm]sin^2(y)+cos^2(y)=1[/mm] ist, aber von wo kommt
> nun dieses Sinus quadrat bzw cos quadrat?
Hallo,
ich weiß gerade nicht, was Du meinst.
Sinnierst Du darüber, warum [mm] sin^2(y)+cos^2(y)=1 [/mm] gilt?
Du könntest es Dir am Einheitskreis verdeutlichen. (Pythagoras)
Auf jeden Fall ist [mm] cos(y)=\wurzel{1-sin^2(y)}.
[/mm]
Damit bekommst Du
(f^(-1)´(y)) = [mm]\bruch{1}{cos(arcsin(y))}[/mm]= [mm]\bruch{1}{\wurzel{1-sin^2(arcsin(y))}}[/mm].
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:21 Sa 01.02.2014 | | Autor: | capri |
Hallo,
nee warum es so gilt meinte ich nicht aber danke für die erklärung.
Sax meinte ja ich soll $ [mm] sin^2(y)+cos^2(y)=1, [/mm] $ benutzen, aber wie das habe ich nicht verstanden weil weder ein sinus quadrat da stand bzw cos quadrat.
$ [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-sin^2(arcsin(y))}} [/mm] $ und das soll ja = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-y^2} } [/mm] sein
wie komme ich dahin?
mir fällt nichts ein.
LG
|
|
|
| |
|
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{1-sin^2(arcsin(y))}}[/mm] und das soll ja =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{1-y^2} }[/mm] sein
> wie komme ich dahin?
> mir fällt nichts ein.
Hui! Das ist aber ganz traurig...
Ist Dir denn klar, daß arcsin die Umkehrfunktion vom sin ist?
Was ist denn dann sin(arcsin(y))?
LG Angela
|
|
|
|
