Ableitung der Wellenfunktion < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 Mo 19.04.2010 | | Autor: | mb588 |
| Aufgabe | Hab keine direkte Aufgabe nur mal ein Verständnisproblem.
[mm] \partial_{t}\Psi(x+vt,t)= [/mm] ? |
Halli hallo.
Also ich möchte die Wellenfunktion nach der Zeit ableiten. Dabei weiß ich nur das sie irgendwie nach von x+vt und t abhängt. Mich verwirrt jetzt nur das es zwei Argumente sind. Bei [mm] \partial_{t}\Psi(x+vt) [/mm] wäre es klar, dann wäre die Lösung [mm] \partial_{t}\Psi(x+vt)v [/mm] oder nicht?
Wie muss ich denn jetzt mit diesen zwei Argumenten umgehen? Vllt unter Verwendung der Produktregel?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:48 Mo 19.04.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hab keine direkte Aufgabe nur mal ein Verständnisproblem.
>
> [mm]\partial_{t}\Psi(x+vt,t)=[/mm] ?
> Halli hallo.
> Also ich möchte die Wellenfunktion nach der Zeit
> ableiten. Dabei weiß ich nur das sie irgendwie nach von
> x+vt und t abhängt. Mich verwirrt jetzt nur das es zwei
> Argumente sind. Bei [mm]\partial_{t}\Psi(x+vt)[/mm] wäre es klar,
> dann wäre die Lösung [mm]\partial_{t}\Psi(x+vt)v[/mm] oder nicht?
Du verwechselst da etwas. Es geht um die zeitabhängige eindimensionale Wellenfunktion, die also von Ort und Zeit abhängt. Nur ist in diesem Fall die Ortskoordinate wieder von der Zeit abhängig. Du musst daher aufpassen, ob du die partielle Ableitung der Funktion [mm] $\Psi$ [/mm] nach der Zeit nimmst, oder die partielle Ableitung des gesamten Ausdrucks.
Geht es also um
[mm](\partial_t \Psi)(x+vt,t) [/mm]
oder um
[mm] \partial_{t} (\Psi(x+vt,t)) [/mm] ?
[mm] \partial_{t} (\Psi(x+vt,t))[/mm] ist die partielle Zeitableitung des Ausdrucks [mm] $\Psi(x+vt,t)$, [/mm] während [mm] $(\partial_t \Psi)$ [/mm] die partielle Ableitung der Funktion [mm] $\Psi$ [/mm] nach ihrem zweiten Argument bedeutet, wobei nach dem Berechnung der Ableitung der Ausdruck $x+vt$ für die Ortskoordinate eingesetzt wird.
> Wie muss ich denn jetzt mit diesen zwei Argumenten
> umgehen? Vllt unter Verwendung der Produktregel?
Kettenregel. Du musst der Reihe nach ableiten:
[mm] \partial_{t} (\Psi(x+vt,t)) = (\partial_x \Psi)(x+vt)* \partial_t(x+vt) + (\partial_t \Psi)(x+vt,t) = v (\partial_x \Psi)(x+vt) + (\partial_t \Psi)(x+vt,t)[/mm] .
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Di 20.04.2010 | | Autor: | mb588 |
Hallo.
Also ich denke es geht um [mm] \partial_{t}(\Psi(x+vt,t)). [/mm] Schreibt man das nicht üblicherweise nur als [mm] \partial_{t}\Psi(x+vt,t)?
[/mm]
Ok soweit erstmal etwas klarer.
> [mm]\partial_{t} (\Psi(x+vt,t)) = (\partial_x \Psi)(x+vt)* \partial_t(x+vt) + (\partial_t \Psi)(x+vt,t) = v (\partial_x \Psi)(x+vt) + (\partial_t \Psi)(x+vt,t)[/mm]
Könntest du mir vllt noch die beiden Summanden erklären und wie und warum das plötzlich ein [mm] \partial_{x} [/mm] mit rein kommt?
|
|
|
| |
|
Hallo mb588,
vielleicht macht es Folgendes klarer:
Wir definieren die Funktion $g: [mm] \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ [/mm] durch $g(x,t) = [mm] (g_1(x,t),g_2(x,t))= [/mm] (x+vt,t)$ und
betrachten [mm] $\partial_t\Phi(x,t)$ [/mm]
Dann ist [mm] $\partial_t\Phi(x,t) [/mm] = [mm] \partial_t(\Psi \circ [/mm] g)(x,t)= [mm] \partial_t(\Psi(g_1(x,t), g_2(x,t))) [/mm] = [mm] \partial_t g_1(x,t)\cdot(\partial_{x}\Psi)(g_1(x),g_2(x)) [/mm] + [mm] \partial_t g_2(x,t)\cdot (\partial_{t}\Psi)(g_1(x),g_2(x))=
[/mm]
[mm] v\cdot(\partial_{x}\Psi)(x+vt,t) [/mm] + [mm] (\partial_{t}\Psi)(x+vt,t)$ [/mm] aufgrund der Kettenregel.
Dein Originalausdruck ist eine partielle Ableitung, für die [mm] $\partial_{t}\Psi(x+vt,t) [/mm] = [mm] \partial_{t}\Phi(x,t) [/mm] - [mm] v\cdot(\partial_{x}\Psi)(x+vt,t)$ [/mm] gilt.
Gruß mathfunnel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:38 Mi 21.04.2010 | | Autor: | mb588 |
Ach ich habs...ich hab nur immer noch Probleme mit der Bezeichnung das [mm] \partial_{t}\Psi(x,t)=\bruch{\partial\Psi(x,t)}{\partial t} [/mm] ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 Mi 21.04.2010 | | Autor: | mb588 |
Hallo ich nochmal^^
Geh ich denn richtig der Annahme das:
[mm] \partial_{x}\Psi(x+vt,t)= (\partial_{x}\Psi)(x+vt,t)\partial_{x}(x+vt,t)+(\partial_{t}\Psi)(x+vt,t)\partial_{x}t=\partial_{x}\Psi(x+vt,t)*1+(\partial_{t}\Psi)(x+vt,t)*0=\partial_{x}\Psi(x+vt,t)
[/mm]
Ich weiß da kann man nichts weiter draus ableiten, aber nur zum verständnis mal ob die einzelnen schritte so richtig sind.
Danke
|
|
|
| |
|
Hallo mb588,
[mm] \vspace{0.2cm}
[/mm]
Alles korrekt!
(Man sollte aber [mm] $\partial_{x}(x+vt)$ [/mm] statt [mm] $\partial_{x}(x+vt,t)$ [/mm] schreiben.)
$ [mm] \partial_{x}\Psi(x+vt,t)= (\partial_{x}\Psi)(x+vt,t)\partial_{x}(x+vt)+(\partial_{t}\Psi)(x+vt,t)\partial_{x}t= \partial_{x}\Psi(x+vt,t)\cdot{}1+(\partial_{t}\Psi)(x+vt,t)\cdot{}0=\partial_{x}\Psi(x+vt,t) [/mm] $
Mit $g: [mm] \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ [/mm] durch $g(x,t) = [mm] (g_1(x,t),g_2(x,t))= [/mm] (x+vt,t)$ und
[mm] $\Phi(x,t) [/mm] := [mm] (\Psi \circ [/mm] g) (x,t) = [mm] \Psi(x+vt,t) [/mm] $ ist das der Ausdruck:
[mm] $\partial_x\Phi(x,t) [/mm] = [mm] \partial_x(\Psi \circ [/mm] g)(x,t)= [mm] \partial_x(\Psi(g_1(x,t), g_2(x,t))) =\\ \partial_x g_1(x,t)\cdot(\partial_{x}\Psi)(g_1(x),g_2(x)) [/mm] + [mm] \partial_x g_2(x,t)\cdot (\partial_{t}\Psi)(g_1(x),g_2(x))= \partial_x g_1(x,t)\cdot(\partial_{x}\Psi)(g_1(x),g_2(x))$
[/mm]
Man sieht also:
[mm] $\partial_x \Phi [/mm] = [mm] \partial_x \Psi$ [/mm] aber [mm] $\partial_t\Phi [/mm] = [mm] \partial_t \Psi+ v\partial_x \Psi \neq \partial_t \Psi$.
[/mm]
Gruß mathfunnel
|
|
|
|
