Ableitung einer Exp.-Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:47 Mi 27.02.2008 | | Autor: | Ochi |
| Aufgabe | | [mm] (e^x [/mm] - [mm] e^{-x})/(e^x [/mm] + [mm] e^{-x}) [/mm] |
Moinmoin,
meine Frau hat zu obiger Lösung folgenden Lösungansatz, der aber falsch zu sein scheint und mit dem sie nicht weiter kommt:
1. Ableitung
[mm] ((e^x [/mm] + [mm] e^{-x}) [/mm] * [mm] (e^x [/mm] + [mm] e^{-x}) [/mm] - [mm] (e^x [/mm] - [mm] e^{-x}) [/mm] * [mm] (e^x [/mm] - [mm] e^{-x})) [/mm] / [mm] (e^x+e^{-x})^2
[/mm]
Dies sei die Kettenregel mit innerer Ableitung kombiniert.
Der weitere Weg sei:
[mm] (e^{2x} [/mm] +1 +1 [mm] +e^{2x} [/mm] - [mm] (e^{2x} [/mm] -1 -1 [mm] -e^{2x})) [/mm] / [mm] (e^x+e^{-x})^2
[/mm]
Die vorgegebene Lösung wäre:
[mm] (4e^{2x})/(e^{2x}+1)^2
[/mm]
Meine Annahme lautet
[mm] e^x [/mm] * [mm] e^{-x} [/mm] = 1
[mm] -e^{-x} [/mm] * [mm] -e^{-x} [/mm] = [mm] e^{2x}
[/mm]
[mm] e^x [/mm] * [mm] -e^{-x} [/mm] = [mm] -e^{-2x}
[/mm]
Auf diese Lösung kommt sie mit ihrem Lösungsansatz nicht! Wo liegt der Fehler?
Danke sagt Euch Christiane.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:51 Mi 27.02.2008 | | Autor: | cagivamito |
Was ist denn gegeben und was ist die Aufgabenstellung?
Kann das gerade nicht sauber unterscheiden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:57 Mi 27.02.2008 | | Autor: | Ochi |
Hallo,
gegeben ist die Funktion f(x), gesucht ist die 1. Ableitung dieser Funktion.
Die Lösung bekam sie vom Lehrer, der weg dahin ist ihr unklar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Mi 27.02.2008 | | Autor: | Ochi |
Dankeschön!
Mein Versuch geht so:
[mm] (e^{2x}+2+e^{-2x}-e^{2x}+2-e^{-2x}) [/mm] / [mm] (e^x [/mm] + [mm] e^{-x})^2
[/mm]
Leider stimmt das alles irgendwie immer noch nicht. Ich weiß nicht mehr weiter, zu Hülf.
Hier nochmals die vorgegebene Lösung des Lehrers:
[mm] (4e^{2x}) [/mm] / [mm] (e^{2x}+1)^2
[/mm]
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Hallo Ochi,
> Dankeschön!
>
> Mein Versuch geht so:
>
> [mm](e^{2x}+2+e^{-2x}-e^{2x}+2-e^{-2x})[/mm] / [mm](e^x[/mm] + [mm]e^{-x})^2[/mm]
>
> Leider stimmt das alles irgendwie immer noch nicht. Ich
> weiß nicht mehr weiter, zu Hülf.
Doch das stimmt auch. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Hier nochmals die vorgegebene Lösung des Lehrers:
> [mm](4e^{2x})[/mm] / [mm](e^{2x}+1)^2[/mm]
>
Der Lehrer hat hier geschickt erweitert:
[mm]\bruch{4}{\left(e^{x}+ e^{-x}\right)^2}={\bruch{4}{\left(e^{x}+ e^{-x}\right)^2}*{\bruch{e^{2x}}{e^{2x}}}=\bruch{4e^{2x}}{e^{2x}*\left(e^{x}+ e^{-x}\right)^2}={\bruch{4e^{2x}}{{\left(e^{x}\right)^2*\left(e^{x}+ e^{-x}\right)^2}}=\bruch{4e^{2x}}{\left(e^{2x}+1\right)^2}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:49 So 02.03.2008 | | Autor: | Ochi |
Danke Euch erstmal. Nun frägt Christiane, WARUM der Bruch bei der 1 Ableitung erweitert wird.
Schönen Sonntag noch 
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Erweitern kann man, muss man aber nicht. Deine Ableitung wäre genauso richtig und man könnte sie auch so stehen lassen.
Ich glaube das hängt auch ein bisschen damit zusammen, dass man in der Form besser die Nullstellen des Nenners bestimmen kann --> Und somit die Ableitungsfunktion und deren Verlauf im Graphen (besonders deren Unendlichkeitsstellen, die ja eintreten, wenn der Nenner 0 wird) besser skizzieren kann.
Wahrscheinlich hat der Lehrer es aber auch nur gemacht, damit es schöner aussieht, denn Potenzen mit negativem Exponenten (Egal ob im Nenner oder Zähler) sind nicht so beliebt (sorgen bei weiterem Umformen auch für mehr Fehler) und werden deshalb lieber irgendwie "entfernt"
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Quotiententegel![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Es gilt: [mm] $\left(-e^{-x}\right)*\left(-e^{-x}\right) [/mm] \ = \ [mm] +e^{-2x}$
[/mm]