Ableitung einer Funktion < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:37 Mi 03.05.2006 | | Autor: | Daniak |
| Aufgabe | | Bilden Sie die ersten 2 Ableitungen von f(x)=e^-x -e^-2x |
Wie bilde ich ableitungen von einer e-Funktion wenn der Exponent z.B. aus [mm] e^{2x-x^2} [/mm] besteht?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Daniak,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Die allgemeine Ableitung der "Standard-e-Funktion" ist ja wieder die e-Funktion selber:
[mm] $\left( \ e^x \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] e^x$
[/mm]
Wenn nun im Exponenten etwas anderes steht als nur das $x_$, müssen wir die  Kettenregel anwenden, indem wir noch mit der inneren Ableitung multiplizieren:
[mm] $\left( \ e^{\blue{2x-x^2}} \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] e^{2x-x^2}*\underbrace{\left( \ \blue{2x-x^2} \ \right)'}_{\text{= innere Abl.}} [/mm] \ = \ [mm] e^{2x-x^2}*\left(2-2x\right)$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 Mi 03.05.2006 | | Autor: | Daniak |
> Hallo Daniak,
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> Die allgemeine Ableitung der "Standard-e-Funktion" ist ja
> wieder die e-Funktion selber:
>
> [mm]\left( \ e^x \ \right)' \ = \ e^x[/mm]
>
>
> Wenn nun im Exponenten etwas anderes steht als nur das [mm]x_[/mm],
> müssen wir die Kettenregel anwenden, indem wir noch mit
> der inneren Ableitung multiplizieren:
>
> [mm]\left( \ e^{\blue{2x-x^2}} \ \right)' \ = \ e^{2x-x^2}*\underbrace{\left( \ \blue{2x-x^2} \ \right)'}_{\text{= innere Abl.}} \ = \ e^{2x-x^2}*\left(2-2x\right)[/mm]
>
>
> Gruß vom
> Roadrunner
>
Hallo Roadrunner, danke erstmal für die schnelle antwort.
Aber was ist mit e^-x??? bleibt das e^-x?>
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:58 Mi 03.05.2006 | | Autor: | TanjaH |
Hallo Daniel,
> Aber was ist mit e^-x??? bleibt das e^-x?>
in Wirklichkeit steht da: [mm] e^{\red{(-1)}*x}
[/mm]
daher ist [mm] (e^{-x})'=\red{(-1)}*e^{-x}=-e^{-x}
[/mm]
Gruß
Tanja
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:12 Mi 03.05.2006 | | Autor: | Daniak |
thx Tanja.....jetzt nur noch eine letzte frage. Ich soll zu dieser Funktion die Extrema finden, d.h. ich muss ja f'(x)=0 setzen.
f(x)= e^(-x) - e^(-2x)
=> f'(x)= -e^(-x) + 2*e^(-2x)
wie kann ich diese Ableitung denn = 0 stzen und nach x auflösen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 Mi 03.05.2006 | | Autor: | TanjaH |
Hallo
> thx Tanja.....jetzt nur noch eine letzte frage. Ich soll zu
> dieser Funktion die Extrema finden, d.h. ich muss ja
> f'(x)=0 setzen.
>
> f(x)= e^(-x) - e^(-2x)
>
> => f'(x)= -e^(-x) + 2*e^(-2x)
>
> wie kann ich diese Ableitung denn = 0 stzen und nach x
> auflösen?
Du weißt doch sicher, dass [mm] e^{ln}=1 [/mm] ist, oder?
Dann muss wohl x=ln2 dein Problem lösen.
Gruß
Tanja
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:38 Mi 03.05.2006 | | Autor: | Daniak |
und wie würde das bei meiner funktion aussehen? stehe gerade echt ein wenig auf dem Schlauch bzw. bin überfordert :-(
(is ja auch schon lange her der ganze kram)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:48 Mi 03.05.2006 | | Autor: | TanjaH |
Hi,
du setzt einfach für x das ln 2 ein.
[mm] -e^{-x}+2*e^{-2*x}=-e^{-ln2}+2*e^{-2*ln2}=-0,5+0,5=\blue{0}
[/mm]
damit ist [mm] x=ln2\approx0,69314718....
[/mm]
.... und eine Nullstelle!
so besser?
Gruß
Tanja
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 Mi 03.05.2006 | | Autor: | Daniak |
mhhh...welche größe hat denn ln 2?...damit ich es auch für spätere aufgaben weiß?...z.b. e^-5x*2x
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Hallo Daniak!
Den Wert [mm] $\ln(2) [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 0.693$ hat Dir Tanja oben doch bereits verraten.
Zudem kannst Du das auch schnell mit dem Taschenrechner ausrechnen.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Daniak!
Alternativ kannst Du auch die Gleichung [mm] $-e^{-x} [/mm] + [mm] 2*e^{-2x} [/mm] \ = \ 0$ mit [mm] $e^{2x}$ [/mm] multiplizieren und anschließend umstellen:
[mm] $-e^{+x} [/mm] + 2*1 \ = \ 0$
[mm] $e^x [/mm] \ = \ 2$
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:57 Mi 03.05.2006 | | Autor: | Daniak |
danke euch 
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