Ableitung einer e-Funktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 Do 25.10.2012 | | Autor: | Mindfish |
| Aufgabe | [mm] f(x)=e^{2x}*(2x^2-2)
[/mm]
(a) Ermitteln sie alle kritischen Punkte von f
(b) Zeigen sie, dass f die Differenzialgleichung
[mm] f'(x)x-2f(x)=e^{2x}(2x^3-4x+4) [/mm] löst. |
Schönen guten Tag Community,
Hier muss ich doch dann die Kettenregel anweden um ableiten zu können also u'*v+u*v' in dem Fall also
[mm] u=e^{2x}
[/mm]
[mm] u'=2e^{2x}
[/mm]
v= [mm] 2x^2-2
[/mm]
v'=4x
[mm] f'(x)=3e^{2x}(2x^2+4x-2)
[/mm]
[mm] u=3e^{2x}
[/mm]
[mm] u'=6e^{2x}
[/mm]
[mm] v=(2x^2+4x-2)
[/mm]
v'=4x+4
[mm] f''(x)=9e^{2x}(2x^2+8+2)
[/mm]
[mm] u=9e^{2x}
[/mm]
[mm] u'=18e^{2x}
[/mm]
[mm] v=(2x^2+8+2)
[/mm]
v'=4x+8
[mm] f'''(x)=27e^{2x}(2x^2+12x+10)
[/mm]
Erste Frage, sind die Ableitungen richtig?
(a) Nullstellen x=0
[mm] f(0)=e^{2*0}(2*0^2-2)=(-2)
[/mm]
Hoch/Tiefpunkt f'(x)=0 [mm] f''(x)\not= [/mm] 0
Wendestellen f''(x)=0 [mm] f'''(x)\not=0
[/mm]
Zweite Frage, sind die Bedingungen richtig?
(b)
Dritte Frage muss ich hier einfach nur was für x einsetzen oder soll ich f(x) und f'(x) einsetzen und dann umformen bis ich auf die rechte Seite komme?
MfG
Mindfish
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 15:54 Do 25.10.2012 | | Autor: | M.Rex |
> [mm]f(x)=e^{2x}*(2x^2-2)[/mm]
>
>
> (a) Ermitteln sie alle kritischen Punkte von f
> (b) Zeigen sie, dass f die Differenzialgleichung
> [mm]f'(x)x-2f(x)=e^{2x}(2x^3-4x+4)[/mm] löst.
> Schönen guten Tag Community,
>
> Hier muss ich doch dann die Kettenregel anweden um ableiten
> zu können also u'*v+u*v' in dem Fall also
Ja.
> [mm]u=e^{2x}[/mm]
> [mm]u'=2e^{2x}[/mm]
> v= [mm]2x^2-2[/mm]
> v'=4x
>
> [mm]f'(x)=3e^{2x}(2x^2+4x-2)[/mm]
f'(x) ist korrekt.
> [mm]u=3e^{2x}[/mm]
> [mm]u'=6e^{2x}[/mm]
> [mm]v=(2x^2+4x-2)[/mm]
> v'=4x+4
>
> [mm]f''(x)=9e^{2x}(2x^2+8+2)[/mm]
> [mm]u=9e^{2x}[/mm]
> [mm]u'=18e^{2x}[/mm]
> [mm]v=(2x^2+8+2)[/mm]
> v'=4x+8
Hier fehlt ein x nach der 8, das scheint aber nur ein Tippfehler.
>
> [mm]f'''(x)=27e^{2x}(2x^2+12x+10)[/mm]
>
> Erste Frage, sind die Ableitungen richtig?
Ja.
>
> (a) Nullstellen x=0
> [mm]f(0)=e^{2*0}(2*0^2-2)=(-2)[/mm]
> Hoch/Tiefpunkt f'(x)=0 [mm]f''(x)\not=[/mm] 0
> Wendestellen f''(x)=0 [mm]f'''(x)\not=0[/mm]
>
> Zweite Frage, sind die Bedingungen richtig?
Nein, Nullstellen sind die Werte, für die f(x)=0 gilt.
Rechne nun die Nullstellen, die Extrempunkte und die Wendepunkte konkret.
>
> (b)
> Dritte Frage muss ich hier einfach nur was für x
> einsetzen oder soll ich f(x) und f'(x) einsetzen und dann
> umformen bis ich auf die rechte Seite komme?
Du sollst f und f' einsetzen, und vereinfachen.
>
>
> MfG
> Mindfish
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Do 25.10.2012 | | Autor: | Mindfish |
Hi, danke für die schnelle Antwort,
ja das war ein Tippfehler, sollte 8x heißen und mir fällt dabei grade auf das die Funktion [mm] f(x)=e^{2x}(x^2-2) [/mm] lautet...
Also sind Nullstellen f(x)=0
[mm] 0=e^{2x}(x^2-2) \Rightarrow N_1=(0|0) [/mm] oder war [mm] e^{2x}=0 [/mm] keine Nullstelle? Ich hab da irgendwie sowas in den hintersten Windungen meines Hirns versteckt.
[mm] x^2=2 \Rightarrow N_2=(0|1) N_3=(0|-1)
[/mm]
Hoch/Tiefpunkte f'(x)=0 [mm] f''(x)\not=0
[/mm]
[mm] f'(x)=3e^{2}(x^2+2x-2)
[/mm]
[mm] 0=3e^{2}(x^2+2x-2) \Rightarrow 3e^{2x}=0
[/mm]
[mm] 0=x^2+2x-2 \Rightarrow [/mm] p/q-Formel
[mm] x_1/2=(-1)\pm\wurzel{1+2}
[/mm]
[mm] x_1=(-1)+1,732=0,732
[/mm]
[mm] x_2=(-1)-1,732=(-2,732)
[/mm]
[mm] f''(x)=9e^{2x}(x^2+4x)
[/mm]
[mm] f''(0,732)=9e^{2*0,732}(0,732^2+4*0,732) \Rightarrow 134,77\not=0 [/mm] TiP
[mm] f''(-2,732)=9e^{2*(-2,732)}(-2,732^2+4(-2,732)) \Rightarrow -0,70\not= [/mm] 0 HoP
f(0,732)=(-6,33)
f(-2,732)=(-0,04)
Wendestellen f''(x)=0 [mm] f'''\not=0
[/mm]
[mm] f''(x)=9e^{2x}(x^2+4x)
[/mm]
[mm] 0=9e^{2x}(x^2+4x)
[/mm]
[mm] 0=x^2+4x=x(x+4) \Rightarrow W_1=0 W_2=(-4)
[/mm]
[mm] f'''(x)=27e^{2x}(x2+6x+4)
[/mm]
f'''(0)=27+4=31
f'''(-4)=-0,326
f(0)=(-2)
f(-4)=(-0,006)
Aber eig kann doch nur eine Wendestelle existieren wenn ich nur 2 Extrema hab oder so ich das falsch?
(b)
[mm] (3e^{2x}*(x^2+2x-2))*x-2*(e^{2x}(x^2-2))=e^{2x}(2x^3-4x+4)
[/mm]
[mm] 3e^{2x}*(x^3+2x^2-2x)-2e^{2x}(2x^2-4)=e^{2x}(2x^3-4x+4)
[/mm]
[mm] e^{2x}(x^3-2x+4)\not=e^{2x}(2x^3-4x+4)
[/mm]
Aber müsste laut Aufgabenstellung das nicht gleich sein?
MfG
Mindfish
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:51 Do 25.10.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Hi, danke für die schnelle Antwort,
> ja das war ein Tippfehler, sollte 8x heißen und mir
> fällt dabei grade auf das die Funktion [mm]f(x)=e^{2x}(x^2-2)[/mm]
> lautet...
>
> Also sind Nullstellen f(x)=0
> [mm]0=e^{2x}(x^2-2) \Rightarrow N_1=(0|0)[/mm] oder war [mm]e^{2x}=0[/mm]
bei 0 ist keine Nullstelle. Berechne doch mal $f(0)$.
> keine Nullstelle? Ich hab da irgendwie sowas in den
> hintersten Windungen meines Hirns versteckt.
Für welche x soll denn [mm] $e^{2x}=0$ [/mm] gelten?
> [mm]x^2=2 \Rightarrow N_2=(0|1) N_3=(0|-1)[/mm]
Was ist denn hier passiert? Aus [mm] $x^2=2$ [/mm] folgt [mm] $x=\pm\sqrt{2}$. [/mm] Außerdem ist der y-Wert bei Nullstellen per Definition =0. D.h. [mm] $N_{i}=(x_i|f(x_i))=(x_i|0)$
[/mm]
>
> Hoch/Tiefpunkte f'(x)=0 [mm]f''(x)\not=0[/mm]
> [mm]f'(x)=3e^{2}(x^2+2x-2)[/mm]
Die Ableitung ist falsch. Überprüfe das nochmal. Also werden die höheren Ableitungen auch nicht stimmen.
Zur Kontrolle: [mm] $f'(x)=2e^{2x}(x^2-x-2)$
[/mm]
> [mm]0=3e^{2}(x^2+2x-2) \Rightarrow 3e^{2x}=0[/mm]
> [mm]0=x^2+2x-2 \Rightarrow[/mm]
> p/q-Formel
>
> [mm]x_1/2=(-1)\pm\wurzel{1+2}[/mm]
> [mm]x_1=(-1)+1,732=0,732[/mm]
> [mm]x_2=(-1)-1,732=(-2,732)[/mm]
>
> [mm]f''(x)=9e^{2x}(x^2+4x)[/mm]
> [mm]f''(0,732)=9e^{2*0,732}(0,732^2+4*0,732) \Rightarrow 134,77\not=0[/mm]
> TiP
> [mm]f''(-2,732)=9e^{2*(-2,732)}(-2,732^2+4(-2,732)) \Rightarrow -0,70\not=[/mm]
> 0 HoP
>
> f(0,732)=(-6,33)
> f(-2,732)=(-0,04)
>
> Wendestellen f''(x)=0 [mm]f'''\not=0[/mm]
> [mm]f''(x)=9e^{2x}(x^2+4x)[/mm]
> [mm]0=9e^{2x}(x^2+4x)[/mm]
> [mm]0=x^2+4x=x(x+4) \Rightarrow W_1=0 W_2=(-4)[/mm]
>
> [mm]f'''(x)=27e^{2x}(x2+6x+4)[/mm]
> f'''(0)=27+4=31
> f'''(-4)=-0,326
>
> f(0)=(-2)
> f(-4)=(-0,006)
>
> Aber eig kann doch nur eine Wendestelle existieren wenn ich
> nur 2 Extrema hab oder so ich das falsch?
Nein, das stimmt.
>
>
> (b)
>
> [mm](3e^{2x}*(x^2+2x-2))*x-2*(e^{2x}(x^2-2))=e^{2x}(2x^3-4x+4)[/mm]
> [mm]3e^{2x}*(x^3+2x^2-2x)-2e^{2x}(2x^2-4)=e^{2x}(2x^3-4x+4)[/mm]
> [mm]e^{2x}(x^3-2x+4)\not=e^{2x}(2x^3-4x+4)[/mm]
> Aber müsste laut Aufgabenstellung das nicht gleich sein?
Doch, genau das soll ja gezeigt werden. Dazu brauchst Du aber erstmal die richtigen Ableitungen.
>
> MfG
> Mindfish
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Do 25.10.2012 | | Autor: | Mindfish |
> Hallo,
>
> > Hi, danke für die schnelle Antwort,
> > ja das war ein Tippfehler, sollte 8x heißen und mir
> > fällt dabei grade auf das die Funktion [mm]f(x)=e^{2x}(x^2-2)[/mm]
> > lautet...
> >
> > Also sind Nullstellen f(x)=0
> > [mm]0=e^{2x}(x^2-2) \Rightarrow N_1=(0|0)[/mm] oder war
> [mm]e^{2x}=0[/mm]
>
> bei 0 ist keine Nullstelle. Berechne doch mal [mm]f(0)[/mm].
Ja, das erscheint mir sinnvoll =D
> > keine Nullstelle? Ich hab da irgendwie sowas in den
> > hintersten Windungen meines Hirns versteckt.
>
> Für welche x soll denn [mm]e^{2x}=0[/mm] gelten?
> > [mm]x^2=2 \Rightarrow N_2=(0|1) N_3=(0|-1)[/mm]
>
> Was ist denn hier passiert? Aus [mm]x^2=2[/mm] folgt [mm]x=\pm\sqrt{2}[/mm].
> Außerdem ist der y-Wert bei Nullstellen per Definition =0.
> D.h. [mm]N_{i}=(x_i|f(x_i))=(x_i|0)[/mm]
Ja nach fast 12 Stunden dauer Büffeln ist die Konzentration weg, dann passiert mir sowas schonmal. ;)
> >
> > Hoch/Tiefpunkte f'(x)=0 [mm]f''(x)\not=0[/mm]
> > [mm]f'(x)=3e^{2}(x^2+2x-2)[/mm]
>
> Die Ableitung ist falsch. Überprüfe das nochmal. Also
> werden die höheren Ableitungen auch nicht stimmen.
> Zur Kontrolle: [mm]f'(x)=2e^{2x}(x^2-x-2)[/mm]
Ich denke das -x ist ein Tippfehler und soll +x heißen?
Weil ich da nicht verstehe woher das - kommen soll o.O
> > Aber eig kann doch nur eine Wendestelle existieren wenn ich
> > nur 2 Extrema hab oder so ich das falsch?
>
> Nein, das stimmt.
>
Wenigstens etwas das noch richtig war =D
> >
> > (b)
> >
> > [mm](3e^{2x}*(x^2+2x-2))*x-2*(e^{2x}(x^2-2))=e^{2x}(2x^3-4x+4)[/mm]
> >
> [mm]3e^{2x}*(x^3+2x^2-2x)-2e^{2x}(2x^2-4)=e^{2x}(2x^3-4x+4)[/mm]
> > [mm]e^{2x}(x^3-2x+4)\not=e^{2x}(2x^3-4x+4)[/mm]
> > Aber müsste laut Aufgabenstellung das nicht gleich
> sein?
>
> Doch, genau das soll ja gezeigt werden. Dazu brauchst Du
> aber erstmal die richtigen Ableitungen.
Ja die helfen =D
Also damit hab ich das mal erneut gerechnet,
[mm] f(x)=e^{2x}(x^2-2)
[/mm]
[mm] f'(x)=2e^{2x}(x^2+x-2)
[/mm]
[mm] f''(x)=4e^{2x}(x^2+2x)
[/mm]
[mm] f'''(x)=8e^{2x}(x^2+3x+1)
[/mm]
Damit hab ich für die Nullstellen
[mm] N_1(1,414|0)
[/mm]
[mm] N_2(-1,414|0)
[/mm]
für die Extremwerte habe ich
(0,732|-6,33)
(-2,732|-0,04)
und Wendepunkt hier hab ich wieder 2 Werte raus...
(0|-2)
(-2|-0,11)
aber für einen sattelpunkt müsste die erste ableitung doch auch 0 sein oder sehe ich das falsch?
MfG
Mindfish
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Do 25.10.2012 | | Autor: | abakus |
> > Hallo,
> >
> > > Hi, danke für die schnelle Antwort,
> > > ja das war ein Tippfehler, sollte 8x heißen und mir
> > > fällt dabei grade auf das die Funktion [mm]f(x)=e^{2x}(x^2-2)[/mm]
> > > lautet...
> > >
> > > Also sind Nullstellen f(x)=0
> > > [mm]0=e^{2x}(x^2-2) \Rightarrow N_1=(0|0)[/mm] oder war
> > [mm]e^{2x}=0[/mm]
> >
> > bei 0 ist keine Nullstelle. Berechne doch mal [mm]f(0)[/mm].
>
> Ja, das erscheint mir sinnvoll =D
>
> > > keine Nullstelle? Ich hab da irgendwie sowas in den
> > > hintersten Windungen meines Hirns versteckt.
> >
> > Für welche x soll denn [mm]e^{2x}=0[/mm] gelten?
>
> > > [mm]x^2=2 \Rightarrow N_2=(0|1) N_3=(0|-1)[/mm]
> >
> > Was ist denn hier passiert? Aus [mm]x^2=2[/mm] folgt [mm]x=\pm\sqrt{2}[/mm].
> > Außerdem ist der y-Wert bei Nullstellen per Definition =0.
> > D.h. [mm]N_{i}=(x_i|f(x_i))=(x_i|0)[/mm]
>
> Ja nach fast 12 Stunden dauer Büffeln ist die
> Konzentration weg, dann passiert mir sowas schonmal. ;)
> > >
> > > Hoch/Tiefpunkte f'(x)=0 [mm]f''(x)\not=0[/mm]
> > > [mm]f'(x)=3e^{2}(x^2+2x-2)[/mm]
> >
> > Die Ableitung ist falsch. Überprüfe das nochmal. Also
> > werden die höheren Ableitungen auch nicht stimmen.
> > Zur Kontrolle: [mm]f'(x)=2e^{2x}(x^2-x-2)[/mm]
>
> Ich denke das -x ist ein Tippfehler und soll +x heißen?
> Weil ich da nicht verstehe woher das - kommen soll o.O
>
> > > Aber eig kann doch nur eine Wendestelle existieren wenn ich
> > > nur 2 Extrema hab oder so ich das falsch?
> >
> > Nein, das stimmt.
> >
> Wenigstens etwas das noch richtig war =D
> > >
> > > (b)
> > >
> > > [mm](3e^{2x}*(x^2+2x-2))*x-2*(e^{2x}(x^2-2))=e^{2x}(2x^3-4x+4)[/mm]
> > >
> > [mm]3e^{2x}*(x^3+2x^2-2x)-2e^{2x}(2x^2-4)=e^{2x}(2x^3-4x+4)[/mm]
> > > [mm]e^{2x}(x^3-2x+4)\not=e^{2x}(2x^3-4x+4)[/mm]
> > > Aber müsste laut Aufgabenstellung das nicht gleich
> > sein?
> >
> > Doch, genau das soll ja gezeigt werden. Dazu brauchst Du
> > aber erstmal die richtigen Ableitungen.
>
> Ja die helfen =D
>
> Also damit hab ich das mal erneut gerechnet,
>
> [mm]f(x)=e^{2x}(x^2-2)[/mm]
> [mm]f'(x)=2e^{2x}(x^2+x-2)[/mm]
> [mm]f''(x)=4e^{2x}(x^2+2x)[/mm]
> [mm]f'''(x)=8e^{2x}(x^2+3x+1)[/mm]
>
> Damit hab ich für die Nullstellen
> [mm]N_1(1,414|0)[/mm]
> [mm]N_2(-1,414|0)[/mm]
Hast du nicht. Was du hier versuchst anzugeben, sind Schnittpunkte mit der x-Achse. Nullstellen sind nur die x-Werte davon, und die sind falsch. Die richtigen Werte der Nullstellen sind [mm] $\wurzel2$ [/mm] und [mm] $-\wurzel2$.
[/mm]
Gruß Abakus
>
> für die Extremwerte habe ich
> (0,732|-6,33)
> (-2,732|-0,04)
>
> und Wendepunkt hier hab ich wieder 2 Werte raus...
> (0|-2)
> (-2|-0,11)
> aber für einen sattelpunkt müsste die erste ableitung
> doch auch 0 sein oder sehe ich das falsch?
>
> MfG
> Mindfish
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Do 25.10.2012 | | Autor: | Mindfish |
> >
> > Also damit hab ich das mal erneut gerechnet,
> >
> > [mm]f(x)=e^{2x}(x^2-2)[/mm]
> > [mm]f'(x)=2e^{2x}(x^2+x-2)[/mm]
> > [mm]f''(x)=4e^{2x}(x^2+2x)[/mm]
> > [mm]f'''(x)=8e^{2x}(x^2+3x+1)[/mm]
> >
> > Damit hab ich für die Nullstellen
> > [mm]N_1(1,414|0)[/mm]
> > [mm]N_2(-1,414|0)[/mm]
> Hast du nicht. Was du hier versuchst anzugeben, sind
> Schnittpunkte mit der x-Achse. Nullstellen sind nur die
> x-Werte davon, und die sind falsch. Die richtigen Werte der
> Nullstellen sind [mm]\wurzel2[/mm] und [mm]-\wurzel2[/mm].
> Gruß Abakus
Ich habe in der Schule gelernt das ich die Nullstellen als Punkte angeben soll, einfach der vollständigkeit halber, wobei ich eher vermute damit meine Lehererin, auch ohne richtige Beschriftung, die Nullstellen ausmachen konnte.
Also soll ich besser [mm] \wurzel{2} [/mm] und [mm] -\wurzel{2} [/mm] schreiben, als die Wurzel zu ziehen und zu runden?
> > für die Extremwerte habe ich
> > (0,732|-6,33)
> > (-2,732|-0,04)
> >
> > und Wendepunkt hier hab ich wieder 2 Werte raus...
> > (0|-2)
> > (-2|-0,11)
> > aber für einen sattelpunkt müsste die erste ableitung
> > doch auch 0 sein oder sehe ich das falsch?
> >
> > MfG
> > Mindfish
>
Ist denn der Rest richtig?
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Hallo!
Leider nicht alles.
Die Nullstellen sind korrekt.
Aus der ersten Ableitung sieht man evtl. direkt, daß [mm] (x^2+x-2) [/mm] eine Nullstelle (und f(x) damit ein Extremum) bei x=1 hat. Die zweite bekommt man z.B. mit der PQ-Formel zu
[mm] $-\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}+2}= [/mm] -2$
Bezüglich der Wendepunkte muß ich feststellen, daß die zweite Ableitung nicht stimmt. Ich erhalte
[mm] f''(x)=e^{2x}(4x^2+8x-6)
[/mm]
mit Nullstellen (also Wendepunkten von f) bei [mm] -1\pm\sqrt{\frac{5}{2}} [/mm] bzw -2,58 und +0,58.
Nebenbei ist es extrem sinnvoll, wenn man ein Plot-program zur Hand hat, um so eine Funktion mal zeichnen zu lassen. Das zeigt recht gut, ob man richtig gerechnet hat, oder nicht. Folgendes ist deine Funktion, unten in y-Richtung stark vergrößert. Die schwarzen Punkte sind deine Resultate, die roten sind meine. Du siehst also, meine Werte sind richtig 
[Dateianhang nicht öffentlich]
Sorry, daß es hier anscheinend etwas drunter und drüber gegangen ist, aber dafür habe ich auch meine Lösungen mal aufgeschrieben.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 Fr 26.10.2012 | | Autor: | Mindfish |
Schönen guten Morgen,
nach so ein paar Stunden büffeln, hatte ich gestern keinen Nerv und keine Konzentration mehr, deswegen sind mir so viele Fehler unterlaufen =(
Also ich formuliere jetzt einfach nochmal alle meine Rechnungen neu und hoffentlich richtig dieses mal.
[mm] f(x)=e^{2x}(x^2-2)
[/mm]
[mm] \rightarrow u=e^{2x} \rightarrow u'=2e^{2x}
[/mm]
[mm] \rightarrow v=x^2-2 \rightarrow [/mm] v'=2x
[mm] f'(x)=(e^{2x}*2x)+(2e^{2x}(x^2-2))=e^{2x}(2x+(2*(x^2-2))=e^{2x}(2x^2+2x-4)=2e^{2x}(x^2+x-2)
[/mm]
[mm] f'(x)=2e^{2x}(x^2+x-2)
[/mm]
[mm] \rightarrow u_1=2e^{2x} \rightarrow u_1'=4e^{2x}
[/mm]
[mm] \rightarrow v_1=x^2+x-2 \rightarrow v_1'=2x+1
[/mm]
[mm] f''(x)=(2e^{2x}*(2x+1))+(4e^{2x}*(x^2+x-2)=e^{2x}(2*(2x+1))+(4*(x^2+x-2)=e^{2x}(4x^2+8x-6)=2e^{2x}(2x^2+4x-3)
[/mm]
[mm] f''(x)=e^{2x}(4x^2+8x-6)=2e^{2x}(2x^2+4x-3)
[/mm]
[mm] \rightarrow u_2=2e^{2x} \rightarrow u_2'=4e^{2x}
[/mm]
[mm] \rightarrow v_2=(2x^2+4x-3) \rightarrow v_2'=(4x+4)
[/mm]
[mm] f'''(x)=(2e^{2x}*(4x+4))+(4e^{2x}*(2x^2+4x-3))=e^{2x}(2*(4x+4))+(4*(2x^2+4x-3))=e^{2x}(8x^2+24x-4)=4e^{2x}(2x^2+6x-1)
[/mm]
[mm] f'''(x)=4e^{2x}(2x^2+6x-1)
[/mm]
[mm] f(x)=e^{2x}(x^2-2)
[/mm]
[mm] f'(x)=2e^{2x}(x^2+x-2)
[/mm]
[mm] f''(x)=2e^{2x}(2x^2+4x-3)
[/mm]
[mm] f'''(x)=4e^{2x}(2x^2+6x-1)
[/mm]
Nullstellen f(x)=0
[mm] N_1 (\wurzel{2}|0)
[/mm]
[mm] N_2 (-\wurzel{2}|0)
[/mm]
Extremwerte f'(x)=0 [mm] f''(x)\not=0
[/mm]
pq-Formel [mm] Est_{1;2}=-\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\bruch{1}{4}+2}=-0,5\pm1,5 \rightarrow Est_1=1 Est_2=-2
[/mm]
[mm] f''(1)=2e^{2*1}(2*1^2+4*1-3)=44,334
[/mm]
[mm] f''(-2)=2e^{2*(-2)}(2*(-2)^2+4*(-2)-3)=-0,11
[/mm]
[mm] f(1)=e^{2}(1-2)=(-7.39)
[/mm]
[mm] f(-2)=e^{-4}(4-2)=0.037
[/mm]
Wendestelle f''(x)=0 [mm] f'''(x)\not=0
[/mm]
[mm] f''(x)=2e^{2x}(2x^2+4x-3)
[/mm]
[mm] 0=2x^2+4x-3
[/mm]
[mm] 0=x^2+2x-1.5
[/mm]
pq-Formel
[mm] Wst_{1;2}=-1\pm\wurzel{1+1.5} \rightarrow Wst_1=0,581 Wst_2=(-2,581)
[/mm]
[mm] f'''(0,581)=4e^{2*0,581}(2*0,581^2+6*0,581-1)=40,416
[/mm]
[mm] f'''(-2,581)=4e^{2*(-2,581)}(2*(-2,581)^2+6*(-2,581)-1)=-0,683
[/mm]
[mm] f(0,581)=e^{2*0,581}(0,581^2-2)=-5,314
[/mm]
[mm] f(-2,581)=e^{2*(-2,581)}((-2,581)^2-2)=-0,05
[/mm]
[mm] Exw_1(1|-7.39)
[/mm]
[mm] Exw_2(-2|0.037)
[/mm]
[mm] Wp_1(0,581|-5,314)
[/mm]
[mm] Wp_2(-2,581|-0,05)
[/mm]
So, damit stimmt das hoffentlich alles =D
MfG
Mindfish
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Hallo Mindfish,
> Schönen guten Morgen,
> nach so ein paar Stunden büffeln, hatte ich gestern
> keinen Nerv und keine Konzentration mehr, deswegen sind mir
> so viele Fehler unterlaufen =(
>
> Also ich formuliere jetzt einfach nochmal alle meine
> Rechnungen neu und hoffentlich richtig dieses mal.
>
> [mm]f(x)=e^{2x}(x^2-2)[/mm]
> [mm]\rightarrow u=e^{2x} \rightarrow u'=2e^{2x}[/mm]
> [mm]\rightarrow v=x^2-2 \rightarrow[/mm]
> v'=2x
>
> [mm]f'(x)=(e^{2x}*2x)+(2e^{2x}(x^2-2))=e^{2x}(2x+(2*(x^2-2))=e^{2x}(2x^2+2x-4)=2e^{2x}(x^2+x-2)[/mm]
> [mm]f'(x)=2e^{2x}(x^2+x-2)[/mm]
> [mm]\rightarrow u_1=2e^{2x} \rightarrow u_1'=4e^{2x}[/mm]
>
> [mm]\rightarrow v_1=x^2+x-2 \rightarrow v_1'=2x+1[/mm]
>
> [mm]f''(x)=(2e^{2x}*(2x+1))+(4e^{2x}*(x^2+x-2)=e^{2x}(2*(2x+1))+(4*(x^2+x-2)=e^{2x}(4x^2+8x-6)=2e^{2x}(2x^2+4x-3)[/mm]
> [mm]f''(x)=e^{2x}(4x^2+8x-6)=2e^{2x}(2x^2+4x-3)[/mm]
> [mm]\rightarrow u_2=2e^{2x} \rightarrow u_2'=4e^{2x}[/mm]
>
> [mm]\rightarrow v_2=(2x^2+4x-3) \rightarrow v_2'=(4x+4)[/mm]
>
> [mm]f'''(x)=(2e^{2x}*(4x+4))+(4e^{2x}*(2x^2+4x-3))=e^{2x}(2*(4x+4))+(4*(2x^2+4x-3))=e^{2x}(8x^2+24x-4)=4e^{2x}(2x^2+6x-1)[/mm]
> [mm]f'''(x)=4e^{2x}(2x^2+6x-1)[/mm]
>
> [mm]f(x)=e^{2x}(x^2-2)[/mm]
> [mm]f'(x)=2e^{2x}(x^2+x-2)[/mm]
> [mm]f''(x)=2e^{2x}(2x^2+4x-3)[/mm]
> [mm]f'''(x)=4e^{2x}(2x^2+6x-1)[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nullstellen f(x)=0
> [mm]N_1 (\wurzel{2}|0)[/mm]
> [mm]N_2 (-\wurzel{2}|0)[/mm]
>
> Extremwerte f'(x)=0 [mm]f''(x)\not=0[/mm]
> pq-Formel
> [mm]Est_{1;2}=-\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\bruch{1}{4}+2}=-0,5\pm1,5 \rightarrow Est_1=1 Est_2=-2[/mm]
>
> [mm]f''(1)=2e^{2*1}(2*1^2+4*1-3)=44,334[/mm]
Da 44,334 ein ungefährer Wert ist, muß hier stehen:
[mm]f''(1)=2e^{2*1}(2*1^2+4*1-3)\blue{\approx}44,334[/mm]
> [mm]f''(-2)=2e^{2*(-2)}(2*(-2)^2+4*(-2)-3)=-0,11[/mm]
Analog hier:
[mm]f''(-2)=2e^{2*(-2)}(2*(-2)^2+4*(-2)-3)\blue{\approx}-0,11[/mm]
> [mm]f(1)=e^{2}(1-2)=(-7.39)[/mm]
> [mm]f(-2)=e^{-4}(4-2)=0.037[/mm]
>
Ebenso hier:
[mm]f(1)=e^{2}(1-2)\blue{\approx}(-7.39)[/mm]
[mm]f(-2)=e^{-4}(4-2)\blue{\approx}0.037[/mm]
> Wendestelle f''(x)=0 [mm]f'''(x)\not=0[/mm]
> [mm]f''(x)=2e^{2x}(2x^2+4x-3)[/mm]
> [mm]0=2x^2+4x-3[/mm]
> [mm]0=x^2+2x-1.5[/mm]
> pq-Formel
> [mm]Wst_{1;2}=-1\pm\wurzel{1+1.5} \rightarrow Wst_1=0,581 Wst_2=(-2,581)[/mm]
>
Auch hier:
[mm]Wst_1\blue{\approx}0,581 \ Wst_2\blue{\approx}(-2,581)[/mm]
> [mm]f'''(0,581)=4e^{2*0,581}(2*0,581^2+6*0,581-1)=40,416[/mm]
>
> [mm]f'''(-2,581)=4e^{2*(-2,581)}(2*(-2,581)^2+6*(-2,581)-1)=-0,683[/mm]
> [mm]f(0,581)=e^{2*0,581}(0,581^2-2)=-5,314[/mm]
> [mm]f(-2,581)=e^{2*(-2,581)}((-2,581)^2-2)=-0,05[/mm]
>
Die ungenauen Ergebnisse kommen daher,
weil mit gerundeten Werten gerechnet wurde.
> [mm]Exw_1(1|-7.39)[/mm]
> [mm]Exw_2(-2|0.037)[/mm]
> [mm]Wp_1(0,581|-5,314)[/mm]
> [mm]Wp_2(-2,581|-0,05)[/mm]
>
> So, damit stimmt das hoffentlich alles =D
>
> MfG
> Mindfish
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Fr 26.10.2012 | | Autor: | Mindfish |
Wir sollen bei uns, solange da nichts anderes steht, mit der Tausender Stelle hinter dem Komma rechnen, aber sonst stimmt das oder?
Dank dem Forum kann ich ja vllt doch mein Bio Studium fortführen =D
MfG
Mindfish
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Hall Mindfish,
> Wir sollen bei uns, solange da nichts anderes steht, mit
> der Tausender Stelle hinter dem Komma rechnen, aber sonst
> stimmt das oder?
>
Ja.
> Dank dem Forum kann ich ja vllt doch mein Bio Studium
> fortführen =D
>
> MfG
> Mindfish
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:06 Fr 26.10.2012 | | Autor: | Mindfish |
Ich hab zu danken =D
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>
> > [mm]f(x)=e^{2x}*(2x^2-2)[/mm]
> >
> >
> > (a) Ermitteln sie alle kritischen Punkte von f
> > (b) Zeigen sie, dass f die Differenzialgleichung
> > [mm]f'(x)x-2f(x)=e^{2x}(2x^3-4x+4)[/mm] löst.
> > Schönen guten Tag Community,
> >
> > Hier muss ich doch dann die Kettenregel anweden um ableiten
> > zu können also u'*v+u*v' in dem Fall also
>
> Ja.
>
> > [mm]u=e^{2x}[/mm]
> > [mm]u'=2e^{2x}[/mm]
> > v= [mm]2x^2-2[/mm]
> > v'=4x
> >
> > [mm]f'(x)=3e^{2x}(2x^2+4x-2)[/mm]
>
> f'(x) ist korrekt.
Hier erhebe ich Einspruch:
$f'(x)= [mm] uv'+u'v=e^{2x}*4x+2e^{2x}*(2x^2-2)=e^{2x}*\left(4x+2*(2x^2-2)\right)=e^{2x}*\left(4x+4x^2-4\right)=4e^{2x}*\left(x^2+x-1\right)$
[/mm]
Demnach gibts auch Folgefehler
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