Ableitung eines Funktionals < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:26 So 26.08.2012 | | Autor: | dando |
| Aufgabe | Gegeben sei ein Funktional [mm] $F[\phi(z)]$ [/mm] folgender Form:
[mm] $F[\phi(z)]$ [/mm] = [mm] \int [/mm] dz [mm] \left( \phi(z) \ln (\phi(z)) + (1-\phi(z)) \ln(1-\phi(z)) \right) [/mm]
Gesucht ist die Funktionalableitung [mm] $\frac{\delta F[\phi]}{\delta \phi}$
[/mm]
Mein Ansatz zur Berechnung der Ableitung:
Dabei ist [mm] $\epsilon [/mm] h$ die Variation um [mm] $\phi$
[/mm]
[mm] $\frac{\delta F[\phi]}{\delta \phi}$ [/mm] = [mm] \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0}\frac{F[\phi + \epsilon h] - F[\phi]}{\epsilon} [/mm]
= [mm] \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{1}{\epsilon} \left[ \int dz \left[ (\phi(z) + \epsilon h) \ln (\phi(z) + \epsilon h) + (1-\phi(z) - \epsilon h) \ln(1-\phi(z) - \epsilon h) \right)] - \int dz \left( \phi(z) \ln (\phi(z)) + (1-\phi(z)) \ln(1-\phi(z)) \right) \right] [/mm] |
Ist dieser Ansatz überhaupt richtig?
Wie gehe ich weiter vor und vorallem wie verschwindet h wieder?
Ich komme trotz ständigem Probieren nicht weiter...
...und vielen Dank schonmal für eure Hilfe!
Grüße Dando
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:15 Di 28.08.2012 | | Autor: | franzzink |
Hallo,
eines vorneweg: Ich habe von Funktionalen - bis jetzt - keine Ahnung. Darum traue ich mir auch keine Antwort auf deine Frage zu. Zwei Sachen sind mir dennoch aufgefallen:
> Gegeben sei ein Funktional [mm]F[\phi(z)][/mm] folgender Form:
>
> [mm]F[\phi(z)][/mm] = [mm]\int[/mm] dz [mm]\left( \phi(z) \ln (\phi(z)) + (1-\phi(z)) \ln(1-\phi(z)) \right)[/mm]
Sollte es nicht besser heißen:
[mm]F[\phi(z)][/mm] = [mm]\int \left( \phi(z) \ln (\phi(z)) + (1-\phi(z)) \ln(1-\phi(z)) \right) dz [/mm] ?
> Gesucht ist die Funktionalableitung [mm]\frac{\delta F[\phi]}{\delta \phi}[/mm]
>
> Mein Ansatz zur Berechnung der Ableitung:
> Dabei ist [mm]\epsilon h[/mm] die Variation um [mm]\phi[/mm]
> [mm]\frac{\delta F[\phi]}{\delta \phi}[/mm] = [mm]\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0}\frac{F[\phi + \epsilon h] - F[\phi]}{\epsilon}[/mm]
Wofür braucht man hier überhaupt das h?
Genügt es nicht zu schreiben: [mm]\frac{\delta F[\phi]}{\delta \phi} = \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0}\frac{F[\phi + \epsilon] - F[\phi]}{\epsilon}[/mm] ?
> = [mm]\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{1}{\epsilon} \left[ \int dz \left[ (\phi(z) + \epsilon h) \ln (\phi(z) + \epsilon h) + (1-\phi(z) - \epsilon h) \ln(1-\phi(z) - \epsilon h) \right)] - \int dz \left( \phi(z) \ln (\phi(z)) + (1-\phi(z)) \ln(1-\phi(z)) \right) \right][/mm]
>
> Ist dieser Ansatz überhaupt richtig?
> Wie gehe ich weiter vor und vorallem wie verschwindet h
> wieder?
>
> Ich komme trotz ständigem Probieren nicht weiter...
>
> ...und vielen Dank schonmal für eure Hilfe!
>
> Grüße Dando
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Grüße
fz
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:24 Di 28.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> eines vorneweg: Ich habe von Funktionalen - bis jetzt -
> keine Ahnung. Darum traue ich mir auch keine Antwort auf
> deine Frage zu. Zwei Sachen sind mir dennoch aufgefallen:
>
>
> > Gegeben sei ein Funktional [mm]F[\phi(z)][/mm] folgender Form:
> >
> > [mm]F[\phi(z)][/mm] = [mm]\int[/mm] dz [mm]\left( \phi(z) \ln (\phi(z)) + (1-\phi(z)) \ln(1-\phi(z)) \right)[/mm]
>
>
> Sollte es nicht besser heißen:
> [mm]F[\phi(z)][/mm] = [mm]\int \left( \phi(z) \ln (\phi(z)) + (1-\phi(z)) \ln(1-\phi(z)) \right) dz[/mm]
> ?
in der Physik schreibt man (aus Gründen, die mir nicht einfallen wollen,
aber ich bin ja auch kein Physiker) gerne mal die Integrationsvariable
am Anfang bei Integralen! Guck' einfach mal bei Wiki, das habe ich dort,
denke ich, auch schonmal gelesen.
(Nachtrag: Gefunden, da stehen auch die Vor- und Nachteile der einzelnen
Notationen: ![[]](/images/popup.gif) Klick me and follow me to Wiki:Integralrechnung#Alternative_Schreibweise_in_der_Physik, !)
>
> > Gesucht ist die Funktionalableitung [mm]\frac{\delta F[\phi]}{\delta \phi}[/mm]
>
> >
> > Mein Ansatz zur Berechnung der Ableitung:
> > Dabei ist [mm]\epsilon h[/mm] die Variation um [mm]\phi[/mm]
> > [mm]\frac{\delta F[\phi]}{\delta \phi}[/mm] =
> [mm]\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0}\frac{F[\phi + \epsilon h] - F[\phi]}{\epsilon}[/mm]
>
>
> Wofür braucht man hier überhaupt das h?
> Genügt es nicht zu schreiben: [mm]\frac{\delta F[\phi]}{\delta \phi} = \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0}\frac{F[\phi + \epsilon] - F[\phi]}{\epsilon}[/mm]
> ?
Nein - so würde man nicht "mit einer Funktion an einer Funktion 'wackeln' ",
sondern nur "mit einer konstanten Funktion 'wackeln' ".
(Das 'wackeln' ist so zu speziell!)
(Man will ja 'wackeln' und das 'wackeln' soll klein gemacht werden... das
ist so die grobe Idee. Vll. kann das jmd. besser erklären, in Variations-
rechnung kenne ich mich nur flüchtig aus.)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:36 Di 28.08.2012 | | Autor: | franzzink |
Danke für die Erklärung. :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:55 Mi 29.08.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Dando!
> Gegeben sei ein Funktional [mm]F[\phi(z)][/mm] folgender Form:
>
> [mm]F[\phi(z)][/mm] = [mm]\int[/mm] dz [mm]\left( \phi(z) \ln (\phi(z)) + (1-\phi(z)) \ln(1-\phi(z)) \right)[/mm]
>
> Gesucht ist die Funktionalableitung [mm]\frac{\delta F[\phi]}{\delta \phi}[/mm]
>
> Mein Ansatz zur Berechnung der Ableitung:
> Dabei ist [mm]\epsilon h[/mm] die Variation um [mm]\phi[/mm]
> [mm]\frac{\delta F[\phi]}{\delta \phi}[/mm] = [mm]\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0}\frac{F[\phi + \epsilon h] - F[\phi]}{\epsilon}[/mm]
> = [mm]\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{1}{\epsilon} \left[ \int dz \left[ (\phi(z) + \epsilon h) \ln (\phi(z) + \epsilon h) + (1-\phi(z) - \epsilon h) \ln(1-\phi(z) - \epsilon h) \right)] - \int dz \left( \phi(z) \ln (\phi(z)) + (1-\phi(z)) \ln(1-\phi(z)) \right) \right][/mm]
>
> Ist dieser Ansatz überhaupt richtig?
Im Prinzip ja.
> Wie gehe ich weiter vor und vorallem wie verschwindet h wieder?
Das h verschwindet eigentlich nicht. Es ist die Verallgemeinerung der Richtungsableitung, die Gâteaux-Ableitung. Wie die Richtungsableitung hängt sie von einem Vektor ab.
>
> Ich komme trotz ständigem Probieren nicht weiter...
Schau mal hier.
Viele Grüße
Rainer
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