Ableitung und Diffbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) es sei n aus N.zeigen Sie, dass die Funktion f:R-> R mit
f(x)= [mm] x^{2}*sin(1/x^{n} [/mm] falls [mm] x\not= [/mm] 0
= 0 falls x=0
auf ganz R differenzierbar ist und bestimmen Sie die Ableitung. Für welche n aus N ist f' sogar unbeschränkt auf einer Umgebung von 0? Skizzieren Sie die Funktion und die Ableitung qualitativ für n=1 und n=2.
nun könnte man auch auf die Idee kommen und sagen, dass die Ableitung stetig ist, jedoch ist sie nicht stetig:
b) es seien m, n aus N, m>=2 , zeigen Sie, dass die Funktion f:R->R mit
f(x)= [mm] x^{m}*sin(1/x^{n} [/mm] falls [mm] x\not=0
[/mm]
= 0 falls x=0
auf ganz R diffbar ist und bestimmen Sie die Ableitung. Für welche m und n ist f' sogar stetig auf R? |
Hallo,
um zu zeigen, dass eine Funktion differenzierbar ist, sollte man diese doch erst einmal ableiten oder? Eine Funktion ist doch an einer Stelle diffbar, wenn die Ableitung an dieser Stelle eindeutig ist. D.h., dass ich vielleicht als erstes die Funktion zeichnen und danach diese ableiten sollte oder? Wie könnte ich vorgehen? Ich wäre über jegliche Hilfe sehr dankbar.
Gruß
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Hiho,
> um zu zeigen, dass eine Funktion differenzierbar ist, sollte man diese doch erst einmal ableiten oder?
Naja, damit du sie ableiten kannst, muss sie erstmal differenzierbar sein. Das ist ja letztlich ein und dasselbe.
> Eine Funktion ist doch an einer Stelle diffbar, wenn die Ableitung an dieser Stelle eindeutig ist. D.h., dass ich vielleicht als erstes die Funktion zeichnen und danach diese ableiten sollte oder?
Ja, wobei du die Differenzierbarkeit eigentlich nur an einer Stelle untersuchen brauchst. Welcher? Beim restlichen Bereich kannst du argumentieren. Wie?
Gruß,
Gono
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Hi,
also außerhalb von Null oder?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:27 Do 22.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> also außerhalb von Null oder?
Nein. Für [mm] x\not=0 [/mm] ist $f$ als Komposition differenzierbarer
Funktionen differenzierbar. Untersuchen musst du nun
die Differenzierbarkeit an der Stelle Null.
Gruß
DieAcht
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Ach so, wie muss ich denn dann vorgehen? Muss ich jetzt die Ableitung bilden?
Gruß
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Hallo,
> Ach so, wie muss ich denn dann vorgehen? Muss ich jetzt die
> Ableitung bilden?
Für [mm]x\neq 0[/mm] leite [mm]f[/mm] nach allen Ableitungsregeln der Kunst ab.
Für [mm]x_0=0[/mm] solltest du dir mal den Betrag des Differenzenquotienten angucken, also
[mm]\left|\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\right|[/mm]
Das müsste als Hinweis reichen, es sollte dir dann auffallen, wie du das Ding handhaben kannst ...
Am Ende gucken, was für [mm] $x\to [/mm] 0$ passiert ...
>
> Gruß
LG
schachuzipus
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Hi,
also die Ableitung wäre ja dann: f'(x)= [mm] 2x*sin(1/x)^{n}-nx^{1-n}*cos(1/x^{n}) [/mm]
Für den Betrag des Differenzenquotienten gilt ja, dass wir dann -1 für x<0 und 1 für x>0 haben. Wissen wir dann durch den Differenzenquotienten nicht, dass die Funktion im Punkt Null diffbar ist, wenn der Grenzwert existiert? Für lim x-> 0eht das Ganze gegen Null.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 Do 22.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
> also die Ableitung wäre ja dann: f'(x)=
> [mm]2x*sin(1/x)^{n}-nx^{1-n}*cos(1/x^{n})[/mm]
Ja, für alle [mm] $x\not=0$.
[/mm]
> Für den Betrag des Differenzenquotienten gilt ja, dass wir
> dann -1 für x<0 und 1 für x>0 haben.
> Wissen wir dann
> durch den Differenzenquotienten nicht, dass die Funktion im
> Punkt Null diffbar ist, wenn der Grenzwert existiert? Für
> lim x-> 0eht das Ganze gegen Null.
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Rechne mal vor!
Zu zeigen: $f$ ist an der Stelle Null differenzierbar.
Betrachte
[mm] f'_{+}(0)=\lim_{x\downarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}
[/mm]
und
[mm] f'_{-}(0)=\lim_{x\uparrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}.
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:00 Fr 23.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> > also die Ableitung wäre ja dann: f'(x)=
> > [mm]2x*sin(1/x)^{n}-nx^{1-n}*cos(1/x^{n})[/mm]
>
> Ja, für alle [mm]x\not=0[/mm].
>
> > Für den Betrag des Differenzenquotienten gilt ja, dass wir
> > dann -1 für x<0 und 1 für x>0 haben.
> > Wissen wir dann
> > durch den Differenzenquotienten nicht, dass die Funktion im
> > Punkt Null diffbar ist, wenn der Grenzwert existiert? Für
> > lim x-> 0eht das Ganze gegen Null.
>
>
>
> Rechne mal vor!
>
> Zu zeigen: [mm]f[/mm] ist an der Stelle Null differenzierbar.
>
> Betrachte
>
> [mm]f'_{+}(0)=\lim_{x\downarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}[/mm]
>
> und
>
> [mm]f'_{-}(0)=\lim_{x\uparrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}.[/mm]
Hallo Acht,
wozu der Aufwand ? Es reich doch völlig nachzusehen, was
[mm] \frac{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] für x [mm] \to [/mm] 0
treibt.
FRED
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