Ableitung von 2^x^2 < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:06 So 26.02.2012 | | Autor: | Argot |
| Aufgabe | | Berechnen Sie die erste und zweite Ableitung für f(x) = [mm] 2^x^2 [/mm] |
Ich möchte die angegebene Aufgabe berechnen, verstehe aber nicht welcher Teil nun die äußere und innere Funktion darstellt.
In meiner Musterlösung wird erklärt, dass [mm]2^x^2 = exp(ln(2x^2))[/mm] ist. Meiner Meinung nach ist das falsch und müsste [mm]2^x^2 = exp(ln(2^x^2))[/mm] lauten.
Am Postingende befindet sich einer meiner vielen falschen Ansätze.
Die Musterlösung deckt sich nur im letzten Schritt mit Wolfram Alpha - ist aber auch nicht ausführlich: [mm]f'(x) = 2 ln 2 x e^{ln2x^2} = 2 ln 2x2^x^2[/mm]. Wolfram ist nicht der Meinung dass das Endergebnis zum Schritt davor passt.
Link zu Wolfram: ![[]](/images/popup.gif) http://www.wolframalpha.com/input/?i=derive+2^x^2
Mit den Hinweisen von Wolfram kann ich leider auch nicht viel anfangen. Was mich interessiert sind: Was sind die äußere und innere Funktion und wieso? Wo kommt das log(2) im Endergebnis her? Ist die Musterlösung falsch?
--------
Einer meiner Ansätze:
Nun möchte ich die Kettenregel anwenden und meine Idee ist die folgende:
Äußere Funktion: [mm]z_0(z_1) = exp(z_1)[/mm]
Innere Funktion: [mm]z_1(x) = ln(2x^2)[/mm]
Dann habe ich die Ableitungen der einzelnen Funktionen ausgerechnet:
[mm]z_0'(z_1) = exp(z_1)[/mm]
[mm]z_1'(x) = (ln(2x^2)'[/mm]
Also muss ich [mm] z_1' [/mm] auch mit der Kettenregel berechnen.
[mm]z_1'(x) = (ln(2x^2)' = \bruch{1}{2x^2} * (4x)[/mm]
Dann setze ich das in die eigentliche Funktion zur Ableitung ein:
[mm]f'(x) = exp(ln(2x^2))' = exp(ln(2x^2) * ((\bruch{1}{2x^2} * (4x))[/mm]
[mm]f'(x) = exp(ln(2x^2)) * ((\bruch{4x}{2x^2}) = exp(ln(2x^2)) * (\bruch{2}{x})[/mm]
Das Ergebnis ist leider falsch. Die Musterlösung schlägt [mm]2 * ln (2x2^x^2)[/mm] vor.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:33 So 26.02.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo Argot,
> Berechnen Sie die erste und zweite Ableitung für f(x) =
> [mm]2^{x^2}[/mm]
> Ich möchte die angegebene Aufgabe berechnen, verstehe
> aber nicht welcher Teil nun die äußere und innere
> Funktion darstellt.
>
> In meiner Musterlösung wird erklärt, dass [mm]2^x^2 = exp(ln(2x^2))[/mm]
> ist. Meiner Meinung nach ist das falsch und müsste [mm]2^x^2 = exp(ln(2^x^2))[/mm]
> lauten.
da ist die Musterlösung falsch - oder, was ich vermute, falsch abgeschrieben. Richtig muss es [mm]2^{x^2}=\exp(\ln(2)*x^2)[/mm] heißen (also eine Klammer anders gesetzt).
Deine Variante ist richtig, denn [mm]\exp(\ldots)[/mm] und [mm]\ln(\ldots)[/mm] heben sich auf. Mit der Rechenregel für Logarithmen [mm]\ln(a^b)=b*\ln(a)[/mm] erhältst daraus wieder [mm]\exp(x^2*\ln(2))[/mm].
> Am Postingende befindet sich einer meiner vielen falschen
> Ansätze.
>
> Die Musterlösung deckt sich nur im letzten Schritt mit
> Wolfram Alpha - ist aber auch nicht ausführlich: [mm]f'(x) = 2 ln 2 x e^{ln2x^2} = 2 ln 2x2^x^2[/mm].
> Wolfram ist nicht der Meinung dass das Endergebnis zum
> Schritt davor passt.
Doch, doch, wolramalpha macht das schon richtig [smilie3] und die Musterlösung stimmt auch. Ich mache das Ergebnis der Musterlösung mal etwas lesbarer: [mm]f'(x)=2*\ln(2)*x*2^{x^2}[/mm]
Und etwas umgeformt: [mm]f'(x)=2^{x^2}*2*x*\ln(2)=2^{x^2+1}*x*\ln(2)[/mm] und genau das hat dir wolframalpha ausgerechnet (wobei die [mm]\log(x)[/mm] für den natürlichen Logarithmus schreiben).
> Link zu Wolfram:
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=derive+2^x^2
>
> Mit den Hinweisen von Wolfram kann ich leider auch nicht
> viel anfangen. Was mich interessiert sind: Was sind die
> äußere und innere Funktion und wieso? Wo kommt das log(2)
> im Endergebnis her? Ist die Musterlösung falsch?
>
> --------
>
> Einer meiner Ansätze:
>
> Nun möchte ich die Kettenregel anwenden und meine Idee ist
> die folgende:
>
> Äußere Funktion: [mm]z_0(z_1) = exp(z_1)[/mm]
> Innere Funktion:
> [mm]z_1(x) = ln(2)x^2[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (wenn die Klammern richtig gesetzt werden!)
Die äußere Funktion ist die, die zuletzt ausgeführt wird, die innere Funktion ist die, die zuerst berechnet wird: wenn du in die Funktion z.B. [mm]x=5[/mm] einsetzt, rechnest du ja zuerst [mm]\ln(2)*5^2[/mm] aus und nimmst das Ergebnis dann "e hoch".
> Dann habe ich die Ableitungen der einzelnen Funktionen
> ausgerechnet:
im Weiteren hast du zwar richtig gerechnet, aber mit der falschen Funktion [mm]z_1[/mm]. Setze die Klammern richtig und probier's nochmal.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:13 Mo 27.02.2012 | | Autor: | Argot |
Vielen Dank Fulla - mit Deiner Hilfe konnte ich die Aufgabe (welche wirklich so beschrieben wir hier geschrieben wurde) lösen.
Die Rechenregeln für Logarithmen hatte ich ganz vergessen. Danke!
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