Ableitung von Arccos (X^3) < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Mo 07.01.2008 | | Autor: | MadMax |
| Aufgabe | | Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung nach x von arccos [mm] x^3 [/mm] + sin [mm] x^2 [/mm] |
Hallo
Ich möchte arccos [mm] (x^3) [/mm] ableiten. dazu verwende ich die Kettenregel.
Ich weiss das die Ableitung von [mm] x^3 [/mm] = [mm] 3x^2 [/mm] ist und die Ableitung von arccos = 1/Wurzel [mm] (1-x^2)
[/mm]
Das müsste ich dann noch zusammenmultiplizieren, dann bekomme ich:
[mm] -3x^2 [/mm] / (wurzel [mm] (1-x^2)
[/mm]
Das ist laut TI aber falsch und es müsste so rauskommen:
[mm] -3x^2 [/mm] / (wurzel [mm] (1-x^6)
[/mm]
Den sinus hab ich schon das ist 2x*cos [mm] x^2
[/mm]
Wieso ist das so? wer könnte mir das Bitte erklären?
Danke
Gruß Max
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:50 Mo 07.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast die Kettenregel falsch angewandt.
bei [mm] sinx^2 [/mm] hast du ja -richtig- auch [mm] cosx^2 [/mm] geschrieben, obwohl die Ableitung von sinx cosx ist.
[mm] (arccosg(x))'=1/\wurzel{1-g^2(x)}*g' [/mm]
eingesetzt:
[mm] arccos(x^3)=1/\wurzel{1-(x^3)^2}*(x^3)'=1/\wurzel{1-(x^3)^2}*3x^2
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Mo 07.01.2008 | | Autor: | MadMax |
Gut, vielen Dank habs auch so dann hinbekommen,
Mal eine weitere Frage, wenn ich [mm] \ln(x+\wurzel{x^2+1}) [/mm] ableiten möchte leg ich mir die gleichung wieder auseinander.
Die Abl. von Ln ist 1/x
und die Abl. von [mm] x+\wurzel{x^2+1} [/mm] sollte [mm] 1+(x/\wurzel{x^2+1}) [/mm] sein
wie muss ich diese beiden jetzt kombinieren?
Rauskommen, sollte [mm] 1/\wurzel{x^2+1}
[/mm]
also wird da irgenwie das x rausgekürzt, genau den schritt verstehe ich nicht.
Vielen Dank schonmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo MadMax!
Du musst natürlich bei der Ableitung des [mm] $\ln(...)$ [/mm] auch den gesamten Term (= Argument) in den Nenner packen.
Damit ergibt sich folgende Ableitung:
$$f'(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{x+\wurzel{x^2+1}}*\left(1+\bruch{x}{\wurzel{x^2+1}}\right) [/mm] \ = \ ...$$
Nun den Term in der Klammer gleichnamig machen und anschließend auf einen Bruchstrich schreiben. Dann mit dem vorderen Bruch multiplizieren und kürzen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Mo 07.01.2008 | | Autor: | MadMax |
Es hört sich jetzt zwar verdammt doof an, aber woher weiss ich das ich den malzunehmen habe?
Ic dachte, ich setzte das für das 1/x einalso dann 1/..... aber ich dachte schon das dass so verkehrt ist.
Ich versuchs mal, vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo MadMax!
Das ist die  Kettenregel zum Ableiten, welche vereinfacht in Worten lautet:
[mm] $$\text{äußere Ableitung \red{mal} innere Ableitung}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Mo 07.01.2008 | | Autor: | MadMax |
Ui, duck und weg...
Also ich habs mal versucht.
Erstmal diesen Term. 1+ (x/wurzel [mm] x^2+1). [/mm] den hab ich erweitert mit dem nenner
das fällt dann fertig so aus: [mm] x^2+x+1/wurzel (x^2+1)
[/mm]
das muss ich jetzt ja mit dem anderen malnehmen. Das wäre dann
[mm] (1/x^2+wurzel (x^2+1))*(x^2+x+1/wurzel (x^2+1))
[/mm]
Habs hinbekommen, die Pluszeichen haben mich etwas irritiert, aber das war anführsich ja alles das gleiche.
vielen Dank nochmal an alle
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo MadMax!
Da hast Du falsch zusammengefasst:
[mm] $$1+\bruch{x}{\wurzel{x^2+1}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\wurzel{x^2+1}}{\wurzel{x^2+1}}+\bruch{x}{\wurzel{x^2+1}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\wurzel{x^2+1}+x}{\wurzel{x^2+1}}$$
[/mm]
Und nun sollte die Möglichkeit des Kürzens doch ins Auge fallen, wenn man mit [mm] $\bruch{1}{x+\wurzel{x^2+1}}$ [/mm] multipliziert.
Gruß
Loddar
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