Ableitung von Umkehrfunktionen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 Do 16.11.2006 | | Autor: | Kristof |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f(x) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{x}}
[/mm]
a.) Ermitteln sie die Umkehrfunktion
b.) Bestimmen Sie die Ableitung f' der Umkehrfunktion auf 2 Arten. |
Hallo,
Ich habe ein riesen Problem.
Das nächste was ich noch nie vorher gehabt habe und was vorausgesetzt wird.
Umkehrfunktionen. Habe schon in der MatheBank geguckt, nur ich verstehe es irgendwie nicht.
Vielleicht kann mir jemand anhand von a.) erklären wie ich eine Umkehrfunktion erstelle.
Die andere Teilaufgabe b.) würde ich dann selbst versuchen, haben da was in der Schule gemacht, nur das mit der Umkehrfunktion ging so schnell :(
Wäre lieb.
Vielen Dank
MfG
Kristof
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> Gegeben ist die Funktion f(x) = [mm]\bruch{1}{\wurzel{x}}[/mm]
> a.) Ermitteln sie die Umkehrfunktion
Hallo,
f(x) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{x}} [/mm] schreibt man oft ja auch als [mm] y=\bruch{1}{\wurzel{x}}. [/mm] (Denk z.B. an die aus der Mittelstufe bekannten Geradengleichungen.)
Hier kommt nun das "Kochrezept" für die Umkehrfunktion:
x duerch y ersetzen,
y durch x ersetzen,
nach y auflösen,
schreiben [mm] f^{-1}(x)=....
[/mm]
Ich mach's Dir vor :
aus [mm] y=\bruch{1}{\wurzel{x}} [/mm] wird [mm] x=\bruch{1}{\wurzel{y}}.
[/mm]
Nach y auflösen: [mm] y=\bruch{1}{x^2}.
[/mm]
Aufschreiben: [mm] f^{-1}(x)=\bruch{1}{x^2}.
[/mm]
Um nicht in eine große Falle zu tappen, muß man vorher gucken, in welchen Bereichen die Ausgangsfunktion monoton ist. Nur für solche kann man die Funktion umkehren.
Vielleicht fällt Dir alleine ein, warum das so ist.
Zeichnerisch erhältst Du die Umkehrfunktion, indem Du Deine Funktion (bzw. einen assenden Bereich derselben) an der Winkelhalbierenden im Koordinatensystem spiegelst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Kristof |
Zuerst einmal muss ich mich bedanken,
das mit den Umkehrfunktionen scheint nicht ganz so schwer zu sein, jedenfalls hast du es mir sehr gut erklärt und ich habe es auch verstanden.
Dankeschön.
Nun habe ich bei der Aufgabe b.) aber ein kleines Problem.
Ich soll die Ableitung der Umkehrfunktion ja auf 2 verschiedene Arten bestimmen.
Eine Art haben wir neu in der Schule gemacht, habe es nach dem muster gemacht. Also :
1. Schritt
f'(x) = [mm] \bruch{1}{f'(x)} \Rightarrow \bruch{1}{\bruch{1}{2*\wurzel{x}}}
[/mm]
2. Schritt
f'(x) = [mm] 2*\wurzel{\bruch{1}{x^2}}
[/mm]
Also ist die Ableitung der Umkehrfunktion :
f'(x) = [mm] 2*\wurzel{\bruch{1}{x^2}}
[/mm]
Das war die erste Weise.
Die 2. Art mache ich einfach eine ganz normale Ableitung mit den Defferentenquotien (hoffe ich verwechsel das jetzt nicht)
f'(x) = [mm] \bruch{(0)*(x^2)-(1)*(2x)}{(x^2)^2}
[/mm]
Hiermit erhalte ich dann für die Umkehrfunktion die Ableitung :
f'(x) = [mm] -\bruch{2x}{(x^2)^2}
[/mm]
Aber irgendwie muss da bei mir ein Fehler sein,
ich weiß nur nicht wo
Wäre lieb wenn ihr mir da helfen könntet,
Dankeschön.
Kristof
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Hallo,
steht das wirklich, daß Du die Ableitung der Umkehrfunktion bestimmen sollst?
Also die Ableitung von [mm] \bruch{1}{x^2}?
[/mm]
Sollst Du nicht eher die Ableitung von [mm] f(x)=\bruch{1}{\wurzel{x}} [/mm] mithilfe der Umkehrfunktion bestimmen? Weil: die Ableitung von [mm] x^{-2} [/mm] kennst Du sicher längst...
Ich zeige Dir letzteres, falls doch ersteres gefragt war, kannst du es nach diesem Muster machen - oder Dich nochmals melden:
1. Mit der Umkehrfunktion :
[mm] f(x)=\bruch{1}{\wurzel{x}}
[/mm]
Die Umkehrfunktion dazu [mm] f^{-1}=\bruch{1}{x^2}
[/mm]
Nun gilt: [mm] f'(x)=\bruch{1}{(f^{-1})'(f(x))} [/mm]
Wir brauchen also [mm] (f^{-1})'.
[/mm]
Es ist [mm] (f^{-1})'(x)=-2x^{-3}
[/mm]
Nun bilde [mm] (f^{-1})'(f(x))=-2(f(x))^{-3}
[/mm]
und schließlich [mm] f'(x)=\bruch{1}{(f^{-1})'(f(x))} [/mm]
2. Mit dem Differenzenquotienten. Hierzu ermittelt man die Steigung zwischen zwei Punkten, deren Abstand man dann gegen 0 gehen läßt.
Die Punkte seien x+h und x. h ist also ihr Abstand.
Nun brauchen wir den Differenzenquotienten
[mm] \bruch{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}=\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}=\bruch{\bruch{1}{\wurzel{x+h}}-\bruch{1}{\wurzel{x}}}{h}
[/mm]
Diesen Bruch mußt Du nun so geschickt umformen, daß Dir schließlich das h beim Grenzübergang h--->0 keine Probleme mehr macht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 So 19.11.2006 | | Autor: | Kristof |
Nein,
Da steht wirklich als Aufgabe :
Bestimmen sie die Ableitung f^-1' der Umkehrfunktion auf 2 Arten.
Wie muss man das denn machen,
habe ja einen Lösungsvorschlag geposted, aber ich denke der war nicht richtig :(
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> Bestimmen sie die Ableitung f^-1' der Umkehrfunktion auf 2
> Arten.
>
> Wie muss man das denn machen,
Na gut, machen wir das. Auf DREI Arten:
Die Umkehrfunktion ist [mm] g(x):=\bruch{1}{x^2}=x^{-2}, [/mm] und wir suchen g'(x).
1. Mit der Regel [mm] (x^n)'=nx^{n-1} [/mm] ergibt sich [mm] g'(x)=-2x^{-3}
[/mm]
2: Die Umkehrfunktion [mm] g^{-1} [/mm] von g ist [mm] g^{-1}(x)=\bruch{1}{\wurzel{x}}
[/mm]
[mm] g^{-1}'(x)=-\bruch{1}{2}\bruch{1}{\wurzel{x^3}}
[/mm]
Nun gilt [mm] g'(x)=\bruch{1}{g^{-1}'(g(x))}
[/mm]
Es ist [mm] \bruch{1}{g^{-1}'(x)}=-2{\wurzel{x^3}} [/mm] und
[mm] g'(x)=\bruch{1}{g^{-1}'(g(x))}=-2{\wurzel{g(x)^3}} [/mm] =...
2. Mit dem Differenzenquotienten
[mm] \bruch{g(x+h)-g(x)}{(x+h)-x}= \bruch{\bruch{1}{(x+h)^2}-\bruch{1}{x^2}}{h}=...
[/mm]
Hier nun wieder so umformen, daß der Grenzübergang h---->0 durchzuführen ist.
Gruß v. Angela
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