Ableitung von arcsin 2x/(x2+1) < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:26 Mi 17.01.2007 | | Autor: | Kulli1 |
| Aufgabe | f(x) = arcsin [mm] \bruch{2x}{x²+1}
[/mm]
für - [mm] \bruch{\pi}{2} \le [/mm] arcsin u [mm] \le \bruch{\pi}{2}
[/mm]
Bestimmen Sie die Ableitung f´(x). Für welche x [mm] \in \IR [/mm] ist sie definiert? Wie verhält sie sich am Rande ihres Definitionsbereichs? |
Hallo,
die Aufgaben bereitet mir leider etwas Kopfzerbrechen, ich hoffe mir hilft jemand.
Mein hauptsächliches Problem ist das ich mir nicht sicher bin, ob ich die Kettenregel bei der Ableitung Konzequent anwenden soll.
Meine bisherigen Überlegungen soweit:
f´(x)= [mm] \bruch{1}{\wurzel{1 - \bruch{4x²}{(x²+1)²}}} [/mm] * [mm] 2\bruch{2x}{x²+1} [/mm] * [mm] \bruch{2(x²+1)-4x²}{(x²+1)²} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{\wurzel{(x²+1)²-4x²}}{x²+1}} [/mm] * [mm] \bruch{4x(-2x²+2)}{(x²+1)³} [/mm] = [mm] \bruch{x²+1}{\wurzel{(x²-1)²}} [/mm] * [mm] \bruch{8x(1-x²)}{(x²+1)³} [/mm] = [mm] \bruch{x²+1}{x²-1}* \bruch{8x(1-x²)}{(x²+1)³} [/mm] = [mm] \bruch{8x(1-x²)}{(x²-1)(x²+1)²} [/mm] = [mm] \bruch{-8x}{(x²+1)²}
[/mm]
Mein Problem ist hauptsächlich, dass ich mir die Funktion monoton steigend vorstelle, also in etwas so wie arcsin x und der Vorzeichenwechsel bei x=0 schmeckt mir daher nicht.
Definieren würde ich sie genau wie arcsin x. Also: -1 < x < 1
Und ich hätte auch gedacht, dass sie an ihren Definionsrändern gg [mm] \pm \infty [/mm] strebt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich bitte also um Kritik ;o)
Danke im Vorraus !
|
|
| |
|
> f(x) = arcsin [mm]\bruch{2x}{x²+1}[/mm]
>
> für - [mm]\bruch{\pi}{2} \le[/mm] arcsin u [mm]\le \bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> Bestimmen Sie die Ableitung f´(x). Für welche x [mm]\in \IR[/mm] ist
> sie definiert? Wie verhält sie sich am Rande ihres
> Definitionsbereichs?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Mein hauptsächliches Problem ist das ich mir nicht sicher
> bin, ob ich die Kettenregel bei der Ableitung Konzequent
> anwenden soll.
Ja, die Ableitung geht mit Kettenregel, "äußere Ableitung*innere Ableitung".
>
> Meine bisherigen Überlegungen soweit:
>
> f´(x)= [mm]\bruch{1}{\wurzel{1 - \bruch{4x²}{(x²+1)²}}}[/mm] * [mm]2\bruch{2x}{x²+1}[/mm] * [mm]\bruch{2(x²+1)-4x²}{(x²+1)²}[/mm]
Hier hast Du einen Faktor zuviel, wo soll der mittlere herkommen?
Ich habe
f´(x)= [mm]\bruch{1}{\wurzel{1 - \bruch{4x²}{(x²+1)²}}}[/mm] * [mm]\bruch{2(x²+1)-4x²}{(x²+1)²}[/mm] ,
vorn die äußere Ableitung, hinten die innere nach der Quotientenregel.
> Mein Problem ist hauptsächlich, dass ich mir die Funktion
> monoton steigend vorstelle, also in etwas so wie arcsin x
> und der Vorzeichenwechsel bei x=0 schmeckt mir daher nicht.
Wie gesagt halte ich ja Deine Ableitung für verkehrt...
Die Funktion ist mitnichten monoton steigend, sie steigt nur zwischen -1 und 1, in den anderen Bereichen fällt sie.
(Hier gibt es einen ![[]](/images/popup.gif) online-Plotter, ich verwende den oft.)
>
> Definieren würde ich sie genau wie arcsin x. Also: -1 < x
> < 1
So wie Du es schreibst, ist es verkehrt. Aber es hat einen wahren Kern:
arcsin y ist ja nur für [mm] -1\le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1 definiert.
Du mußt also schauen, für welche x
[mm] -1\le \bruch{2x}{x²+1} \le [/mm] 1 gilt.
> Und ich hätte auch gedacht, dass sie an ihren
> Definionsrändern gg [mm]\pm \infty[/mm] strebt.
Wenn Du erstmal die "Ränder" hast, überlege Dir, was [mm] \bruch{2x}{x²+1} [/mm] tut, wenn x-->Rand. Dann den arcsin davon.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Mi 17.01.2007 | | Autor: | Kulli1 |
Hallo Angela,
danke für deine schnelle Antwort, besonders der Plotter ist genial, ich hatte bisher nur ein ganz simples Ding benutzt.
Mit dem Definitionsbereich ist mir natürlich auch klar,
bloss bei der Ableitung bin ich mir nicht so sicher.
Ich hatte im Kopf das ich x² ableiten muss daher nochmal der Term mit der 2 davor...
Bei deiner Version erhalte ich vereinfacht [mm] \bruch{-2}{x²+1} [/mm] und die Ableitung will an der Stellen 1 und -1 einfach nicht null sein ; ) was der Plotter aber so ausspuckt... und was ich mittlerweile auch im Definitionsbereich sehe und die würde auch noch immer negativ sein...
vielleicht auch ein Rechenfehler ? Meine Umformung
[mm]\bruch{1}{\wurzel{1 - \bruch{4x²}{(x²+1)²}}}[/mm] = [mm] \bruch{x²+1}{x²-1} [/mm] siehe oben
also : [mm] \bruch{x²+1}{x²-1}*[/mm] [mm]\bruch{2(x²+1)-4x²}{(x²+1)²}[/mm] = [mm] \bruch{-2x²+2}{(x²-1)(x²+1)} [/mm] = [mm] \bruch{-2(x²-1)}{(x²-1)(x²+1)} [/mm] = [mm] \bruch{-2}{x²+1}
[/mm]
Denkfehler ?
Freue mich über Erklärungen und Anregungen, Danke nochmal !
|
|
|
| |
|
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{1 - \bruch{4x²}{(x²+1)²}}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{\bruch{(x²-1)²}{(x²+1)²}}}[/mm]
> [mm]|\bruch{x²+1}{x²-1}|[/mm] (weil die Wurzel immer positiv ist)
>
> = [mm]\bruch{x²+1}{|x²-1|}[/mm]
Damit ergibt sich nun:
[mm]\bruch{x²+1}{|x²-1|}*\bruch{2(x²+1)-4x²}{(x²+1)²}[/mm] =
> [mm]\bruch{-2x²+2}{|(x²-1)|(x²+1)}[/mm] =
> [mm]\bruch{-2(x²-1)}{|(x²-1)|(x²+1)}[/mm] = [mm]\bruch{-2}{x²+1}*signum(x²-1)[/mm]
>
> also Vorzeichenwechsel bei x²-1 = 0.
> >
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:53 Do 18.01.2007 | | Autor: | Kulli1 |
Danke das hilft mir wirklich sehr weiter !
|
|
|
|
