Ableitung von e funktionen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Mi 17.10.2007 | | Autor: | idler |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f(x)=x*e^(-tx).
Führen sie eine Kurvendiskussion zu diesem Kurvenschar durch.
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Hi liebe community,
wir haben grade differentzialrechnung in der schule und leider war ich krank als uns erklärt wurde wie man eine kurvendiskussion mit einem kurvenschar durchführt. es fängt bei mir schon mit der ableitung an. wir haben gelernt, dass wenn man ein e ableitet es dabei bleibt, aber ist also f'(x)=x*e^(-tx).
nun ist mir auch nicht ganz klar wie man eine ortslinie erstellt. ich würde mich freuen, wenn mir jemand ausführlich die ableitung, die ortskurve, die extremstellen und die nullstellen vorrechnen könnte, da ich grade garnichts mehr begreife bei dem thema. leider habe ich überhaupt keine eigene idee wie ich das lösen könnte mir ist schon klar, dass ich für nullsten f(x)=0 und für die extremstelle f'(x)=0 ausrechnen muss aber ich komme ja nichtmal zu ner ableitung =(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
danke! idler
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 Mi 17.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo idler,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
"Vorrechnen" findet hier nicht statt ... aber Tipps, die Du dann weiterverwenden kannst, indem Du Deine weiteren Ergebnisse hier präsentierst, gibt es allemal.
Funktionsscharen:
Funktionsscharen unterscheiden sich von "normalen" Funktionen darin, dass sie noch einen Parameter (hier: $t_$ ) in ihrer Funktionsvorschrift haben. Dieses $t_$ betrachtest Du aber wie eine feste (= konstante) Zahl. Stelle Dir als ovor, da stünde z.B. jeweils eine $4_$ .
Nullstellen:
Wie Du schon selber geschrieben hast, musst Du hier die Gleichung $f(x) \ = \ 0$ lösen:
[mm] $$x*e^{-t*x} [/mm] \ = \ 0$$
Ein Produkt ist nun genau dann gleich Null, wenn (mind.) einer der Faktoren gleich Null wird:
$$x \ = \ 0 \ \ [mm] \text{ oder } [/mm] \ \ [mm] e^{-t*x} [/mm] \ = \ 0$$
Kann die e-Funktion auch den Wert Null annehmen?
Ableitung:
Die Ableitung der e-Funktion [mm] $e^x$ [/mm] ergibt wiederum die e-Funktion:
[mm] $$\left( \ e^x \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] e^x$$
[/mm]
Wenn aber - wie hier - nicht nur $x_$ allein im Exponenten steht, musst Du die  Kettenregel anwenden.
In diesem Fall musst Du für die Ableitung der gegebenen Funktion [mm] $f_t(x)$ [/mm] auch noch die Produktregel anwenden mit:
$$u \ := \ x$$
$$v \ := \ [mm] e^{-t*x}$$
[/mm]
Ortskurve:
Um z.B. die Ortskurve der Extremwerte [mm] $x_E$ [/mm] zu berechnen, musst Du Deinen Term [mm] $x_E [/mm] \ = \ ...$ nach $t \ = \ ...$ umstellen und anschließend in die Ausgangsfunktionsgleichung einsetzen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:45 Mi 17.10.2007 | | Autor: | idler |
ok danke schonmal ich werde mal ein bisschen rumprobieren und mein ergebnis dann zur schau stellen ;D
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Mi 17.10.2007 | | Autor: | idler |
so,
eine witere nullstellt als x=0 gibt es nicht.
ich habe nun die ableitung: f`(x)=e^(-t*x)-t*x*e^(-t*x).
ist das richtig ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Mi 17.10.2007 | | Autor: | idler |
so nun habe ich f`(x)=0 gesetzt und die extremstelle x=e^(-ln-t) jedoch bin ich mir dabei sehr unsicher.
ich bin dabei so vorgegangen:
0=e^(-t*x)-t*x*e^(-t*x) | +(t*x*e^(-t*x))
t*x*e^(-t*x)=e^(-t*x) | ln (bei diesem schritt bin ich mir unsicher)
ln(t)+ln(x)-t*x=-t*x |+(-t*x)
ln(t)+ln(x)=0 | -ln(t)
ln(x)=-ln(t)
x=e^(-ln(t))
eine weitere frage ist wie ich herausfinden kann ob dies bei hochpunkt oder tiefpunkt ist, da man ja nicht sagen kann ob es positiv oder negativ ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 Mi 17.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo idler!
> 0=e^(-t*x)-t*x*e^(-t*x) | +(t*x*e^(-t*x))
> t*x*e^(-t*x)=e^(-t*x) | ln
> ln(t)+ln(x)-t*x=-t*x |+(-t*x)
> ln(t)+ln(x)=0 | -ln(t)
> ln(x)=-ln(t)
> x=e^(-ln(t))
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Zirmlich umständlich, aber richtig. Und das kann man nun noch vereinfachen zu:
[mm] $$x_e [/mm] \ = \ [mm] e^{-\ln(t)} [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ e^{\ln(t)} \ \right]^{-1} [/mm] \ = \ [mm] t^{-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{t}$$
[/mm]
Wesentlich schneller wäre es gegangen, wenn Du bei der Ableitung ausgeklammert hättest und dann wieder in zwei Teilgeichungen zerlegt hättest:
[mm] $$f_t'(x) [/mm] \ = \ 0 \ = \ [mm] e^{-t*x}-t*x*e^{-t*x} [/mm] \ = \ [mm] e^{-t*x}*(1-t*x)$$
[/mm]
[mm] $$\gdw [/mm] \ \ \ \ [mm] e^{-t*x} [/mm] \ = \ 0 \ \ \ \ [mm] \text{oder} [/mm] \ \ \ \ 1-t*x \ = \ 0$$
> eine weitere frage ist wie ich herausfinden kann ob dies
> bei hochpunkt oder tiefpunkt ist, da man ja nicht sagen
> kann ob es positiv oder negativ ist?
Doch, Du kannst dies nun in die 2. ableitung einsetzen. Allerdings musst Du dann eine Fallunterscheidung für $t \ > \ 0$ bzw. $t \ < \ 0$ machen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Mi 17.10.2007 | | Autor: | idler |
gut danke.
jetzt habe ich eine frage zur 2. ableitung:
ich muss ja bei -t*x*e^(-tx) die produkt- + kettenregel anwenden.
-t zaehlt als konstante und bleibt einfach bestehen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 Mi 17.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo idler!
> ich muss ja bei -t*x*e^(-tx) die produkt- + kettenregel
> anwenden.
> -t zaehlt als konstante und bleibt einfach bestehen ?
Jawoll.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Mi 17.10.2007 | | Autor: | idler |
so nun erhalte ich als 2. ableitung: f´´(x)=-txe^(-tx)+t^(2)*x*e^(-2*t*x)
ist diese ableitung richtig?
wenn ich jetzt 1/t für x einsetze erhalte ich 0=-e^(-1)+(t/1)*e^(-2)
damit ist die funktion bei t>0 positiv also ein tiefpunkt und bei t<0 negativ und ein hochpunkt? ist das soweit richtig ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:19 Mi 17.10.2007 | | Autor: | idler |
also: ich habe für die extremwerte jetzt die koordinate (1/t | (1/t)*(1/e)) raus.
jetzt löse ich den x-wert nach t auf also t=1/x und setze ihn in den y-wert ein.
und erhalte für die ortskurve x/e is das richtig oder habe ich irgendwo einen fehler drinne?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:21 Do 18.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> so nun erhalte ich als 2. ableitung:
> f´´(x)=-txe^(-tx)+t^(2)*x*e^(-2*t*x)
die ist leider falsch
[mm] f'=e^{-tx}-x*t*e^{-tx} [/mm]
erster Summand [mm] abgeleitet:-t*e^{-tx}
[/mm]
2ter Summand Produktregel: [mm] -te^{-tx}+t^2*e^{-tx}
[/mm]
zusammen:
[mm] f''=-2e^{-tx}+t^2*x*e^{-tx}=e^{-tx}*(t^2x-2)
[/mm]
rechne bitte nach!
Gruss leduart
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