Ableitung von ln < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:59 Sa 26.04.2008 | | Autor: | konvex |
| Aufgabe | Überprüfen Sie, ob [mm] y_{1} [/mm] tatsächlich die inhomogene Differentialgleichung erfüllt.
y' = [mm] \bruch{-x}{1+x^2}y [/mm] + [mm] \bruch{1}{x(1+x^2)} [/mm] (x>0)
[mm] y_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1+x^2}} ln(\bruch{-1 + \wurzel{1+x^2} }{x}) [/mm] |
Also das heißt ja, dass ich [mm] y_{1} [/mm] ableiten und dann einsetzen muss...
Meine Ableitung sieht folgendermaßen aus:
[mm] y_{1}' [/mm] = [mm] -x(1+x^2)^{-\bruch{3}{2}} ln(\bruch{(1+x^2)^{\bruch{1}{2}} - 1}{x}) [/mm] + [mm] \bruch{x}{(1+x^2) - (1+x^2)^{\bruch{1}{2}}} (\bruch{x^2(1+x^2)^{-\bruch{1}{2}} - (1+x^2)^{\bruch{1}{2}} +1}{x^2})
[/mm]
Kann mir vielleicht jemand sagen ob ich mich verrechnet habe?
Weil wenn ich [mm] y_{1} [/mm] in die Dgl einsetze müsste ich doch auf diese Ableitung [mm] y_{1}' [/mm] kommen und irgendwie klappt das bei mir nicht...
Ich bin für jede Hilfe dankbar 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo konvex,
das scheint mir alles zu passen..
> Überprüfen Sie, ob [mm]y_{1}[/mm] tatsächlich die inhomogene
> Differentialgleichung erfüllt.
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> y' = [mm]\bruch{-x}{1+x^2}y[/mm] + [mm]\bruch{1}{x(1+x^2)}[/mm] (x>0)
>
>
> [mm]y_{1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{1+x^2}} ln(\bruch{-1 + \wurzel{1+x^2} }{x})[/mm]
>
> Also das heißt ja, dass ich [mm]y_{1}[/mm] ableiten und dann
> einsetzen muss...
>
> Meine Ableitung sieht folgendermaßen aus:
>
> [mm]y_{1}'[/mm] = [mm]-x(1+x^2)^{-\bruch{3}{2}} ln(\bruch{(1+x^2)^{\bruch{1}{2}} - 1}{x})[/mm] + [mm]\bruch{x}{(1+x^2) - (1+x^2)^{\bruch{1}{2}}} (\bruch{x^2(1+x^2)^{-\bruch{1}{2}} - (1+x^2)^{\bruch{1}{2}} +1}{x^2})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> Kann mir vielleicht jemand sagen ob ich mich verrechnet
> habe?
Nein, das stimmt, du kannst es aber zusammenfassen zu:
$y_1'(x)=\frac{\sqrt{1+x^2}-x^2\cdot{}\ln\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right)}{x\cdot{}(1+x^2)^{\frac{3}{2}}$
Dann berechne mal $\frac{-x}{1+x^2}\cdot{}\red{y_1(x)}+\frac{1}{x\cdot{}(1+x^2)}=\frac{-x}{1+x^2}\cdot{}\red{ \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\cdot{}\ln\left(\frac{-1+\sqrt{1+x^2} }{x}\right)}+\frac{1}{x\cdot{}(1+x^2)}$
$=\frac{-x\cdot{}\ln\left(\frac{-1+\sqrt{1+x^2} }{x}\right)}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}+\frac{1}{x\cdot{}(1+x^2)}$
Die beiden Brüche noch gleichnamig machen und addieren, dann solltest du auf die richtige Lösung kommen...
> Weil wenn ich [mm]y_{1}[/mm] in die Dgl einsetze müsste ich doch
> auf diese Ableitung [mm]y_{1}'[/mm] kommen und irgendwie klappt das
> bei mir nicht...
>
> Ich bin für jede Hilfe dankbar
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Sa 26.04.2008 | | Autor: | konvex |
Danke das sieht gut aus
>
> $ [mm] y_{1}' [/mm] $ = $ [mm] -x(1+x^2)^{-\bruch{3}{2}} ln(\bruch{(1+x^2)^{\bruch{1}{2}} - 1}{x}) [/mm] $ + $ [mm] \bruch{x}{(1+x^2) - (1+x^2)^{\bruch{1}{2}}} (\bruch{x^2(1+x^2)^{-\bruch{1}{2}} - (1+x^2)^{\bruch{1}{2}} +1}{x^2}) [/mm] $
>
aber ich versteh nicht, wie du das zusammenfasst weil der Hauptnenner sieht doch so aus:
[mm] [(1+x^2) [/mm] - [mm] (1+x^2)^{\bruch{1}{2}}]*x
[/mm]
und ich kann das doch nich zusammenfassen wenn dort subtrahiert wird oder?? ich kann das doch nur auf [mm] (1+x^2)^{\bruch{3}{2}} [/mm] bringen wenn dort multipliziert wird...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 Sa 26.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Danke das sieht gut aus
> >
> > [mm]y_{1}'[/mm] = [mm]-x(1+x^2)^{-\bruch{3}{2}} ln(\bruch{(1+x^2)^{\bruch{1}{2}} - 1}{x})[/mm]
> + [mm]\bruch{x}{(1+x^2) - (1+x^2)^{\bruch{1}{2}}} (\bruch{x^2(1+x^2)^{-\bruch{1}{2}} - (1+x^2)^{\bruch{1}{2}} +1}{x^2})[/mm]
> >
>
> aber ich versteh nicht, wie du das zusammenfasst weil der
> Hauptnenner sieht doch so aus:
>
> [mm][(1+x^2)[/mm] - [mm](1+x^2)^{\bruch{1}{2}}]*x[/mm]
>
Und was ist daran so schlimm (außer der etwas aufwändigen Rechnung)?
Du musst eben den ersten Summanden mit dem Hauptnenner erweitern.
Viele Grüße
Abakus
> und ich kann das doch nich zusammenfassen wenn dort
> subtrahiert wird oder?? ich kann das doch nur auf
> [mm](1+x^2)^{\bruch{3}{2}}[/mm] bringen wenn dort multipliziert
> wird...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Sa 26.04.2008 | | Autor: | konvex |
na, aber wenn der hauptnenner diese form hat kann ich den doch so nicht zusammenfassen laut rechenregeln, oder?
weil das ist doch als würd man [mm] x^4-x^3=x [/mm] rechnen...
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo nochmal,
dadurch, dass du alles im hinteren Summanden der Ableitung ausmultipliziert hast, wird die Vereinfachung sehr unüberschaubar, dein Ergebnis stimmt aber!
Zerlege doch für den "hinteren Teil" der Ableitung das $\ln\left(\frac{-1+\sqrt{1+x^2}}{x}\right)$ in $\ln(-1+\sqrt{1+x^2})-\ln(x)$
Dann ist das bedeutend einfacher zu sehen:
Schreiben wir zuerst $y_1(x)$ um:
$y_1(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\ln\left(\frac{-1+\sqrt{1+x^2}}{x}\right)=(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot{}\left[\ln(-1+\sqrt{1+x^2})-\ln(x)}\right]$
Dann ist $y_1'(x)=\frac{-x}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}\cdot{}\left[\ln\left(\frac{-1+\sqrt{1+x^2}}{x}\right)\right] \ + \ (1+x^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot{}\left(\frac{(1+x^2)^{\frac{1}{2}}+1}{x(1+x^2)^{\frac{1}{2}}}-\frac{1}{x}\right)$
Jetzt kannst du nämlich einfach das hintere \frac{1}{x} erweitern und bist in 2 Schritten am Ziel:
$=\frac{-x}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}\cdot{}\left[\ln\left(\frac{-1+\sqrt{1+x^2}}{x}\right)\right] \ + \ (1+x^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot{}\left(\frac{(1+x^2)^{\frac{1}{2}}+1}{x(1+x^2)^{\frac{1}{2}}}-\frac{\blue{(1+x^2)^{\frac{1}{2}}}}{x\blue{(1+x^2)^{\frac{1}{2}}}}\right)$
So vereinfacht sich der ganze hintere Spökes zu
$=\frac{-x\ln\left(\frac{-1+\sqrt{1+x^2}}{x}\right)}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}} \ + \ \frac{1}{x(1+x^2)}$
Nun nur noch gleichnamig machen und addieren, dann hast du die o.e. Vereinfachung"
Lieben Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:06 So 27.04.2008 | | Autor: | konvex |
Hallo,
ja danke für die Hilfe, jetzt passt das auch alles 
Mfg Ich
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