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Forum "Differenzialrechnung" - Ableitung xte Wurzel
Ableitung xte Wurzel < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ableitung xte Wurzel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:55 Di 20.05.2008
Autor: OlliW

Aufgabe
Bestimmen Sie falls möglich die Ableitung der Funktion [mm] f(x)=\wurzel[3]1-{x^{2}} [/mm]

Hallo zusammen!

Ich habe mehrere Aufgabenstellungen zur Berechnung von Bogenlängen! Die eigentliche Berechnung ist auch nicht das Problem, sondern ich verstehe nicht die Vorgehensweise bei der Ableitungssuche einer x-ten Wurzelfunktion!

Die erste Aufgabe lautete:

[mm] \wurzel[]1-{x^{2}} [/mm]

Hier bin ich mit der Kettenregel rangegangen und habe folgende Lösung gefunden:

1*(-2x)                      
[mm] 2*\wurzel{1-x^{2}} [/mm]                  

= -2x
[mm] 2*\wurzel{1-x^{2}} [/mm]

= -x
[mm] \wurzel{1-x^{2}} [/mm]

= _  x
   [mm] \wurzel{1-x^{2}} [/mm]

Das leuchtet mir ja auch alles noch ein und ist ok, nur wie verhalte ich mich bei der Ableitung einer xten Wurzel??

Beispiel:
[mm] \wurzel[3]1-{x^{2}} [/mm]

Setze ich hier die 3 einfach davor?

3*(-2x)                      
[mm] 2*\wurzel{1-x^{2}} [/mm]  

=-3x                      
[mm] \wurzel{1-x^{2}} [/mm]  

=_ 3x                      
  [mm] \wurzel{1-x^{2}} [/mm]  

Das ist aber doch falsch oder? Wäre wirklich dankbar, wenn mir einer von euch helfen könnte und mir sagt, ob das so richtig oder falsch ist und wie ich ggf. an die Sache rangehen muss!

Vielen Dank vorab

Gruß Olli


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Ableitung xte Wurzel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:59 Di 20.05.2008
Autor: Bastiane

Hallo OlliW!

> Bestimmen Sie falls möglich die Ableitung der Funktion
> [mm]f(x)=\wurzel[3]1-{x^{2}}[/mm]
>  Hallo zusammen!
>  
> Ich habe mehrere Aufgabenstellungen zur Berechnung von
> Bogenlängen! Die eigentliche Berechnung ist auch nicht das
> Problem, sondern ich verstehe nicht die Vorgehensweise bei
> der Ableitungssuche einer x-ten Wurzelfunktion!
>  
> Die erste Aufgabe lautete:
>  
> [mm]\wurzel[]1-{x^{2}}[/mm]
>  
> Hier bin ich mit der Kettenregel rangegangen und habe
> folgende Lösung gefunden:

Also da [mm] \wurzel{1}=1 [/mm] gilt, ist die Ableitung obiger Funktion einfach nur: -2x.

> Das leuchtet mir ja auch alles noch ein und ist ok, nur wie
> verhalte ich mich bei der Ableitung einer xten Wurzel??
>  
> Beispiel:
>  [mm]\wurzel[3]1-{x^{2}}[/mm]

Auch [mm] \wurzel[3]{1}=1. [/mm] Und selbst wenn es nicht =1 wäre, wäre die Wurzel eine x-beliebigen Zahl immer noch eine Konstante, die bei Ableiten wegfällt.

Solltest du etwas meinen wie [mm] \wurzel[3]{x}, [/mm] dann erinnere dich daran, dass gilt: [mm] \wurzel[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}. [/mm] Damit kannst du alles nach der Kettenregel ableiten.

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

Bezug
        
Bezug
Ableitung xte Wurzel: umschreiben
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:04 Di 20.05.2008
Autor: Loddar

Hallo Olli,

[willkommenmr] !!


Ich nehme mal an, Du meinst hier $f(x) \ = \ [mm] \wurzel[3]{1-x^2}$ [/mm] .


Das kannst Du umschreiben zu: $f(x) \ = \ [mm] \left(1-x^2\right)^{\bruch{1}{3}}$ [/mm] .

Damit ergibt sich mit der MBPotenzregel und der MBKettenregel:
$$f'(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{3}*\left(1-x^2\right)^{-\bruch{2}{3}}*(-2x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-2x}{3*\wurzel[3]{\left(1-x^2\right)^2}}$$ [/mm]

Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Ableitung xte Wurzel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:14 Di 20.05.2008
Autor: OlliW

Hi Loddar!!

Ja danke!! Natürlich meinte ich es so, wie du geschrieben hast!! ;-)

Super!! Und sorry an alle, die meine Wurzel falsch interpretiert haben!
Finde es echt genial, hier so schnell Hilfe bekommen zu haben!

Danke

Olli

Bezug
                
Bezug
Ableitung xte Wurzel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:35 Mi 21.05.2008
Autor: OlliW

Jetzt habe ich doch noch eine Frage!

Und zwar verstehe ich es nicht ganz, warum aus dem hoch 1/3 $ f(x) \ = \ [mm] \left(1-x^2\right)^{\bruch{1}{3}} [/mm] $ ein hoch -2/3 $ f'(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{3}\cdot{}\left(1-x^2\right)^{-\bruch{2}{3}}\cdot{}(-2x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-2x}{3\cdot{}\wurzel[3]{\left(1-x^2\right)^2}} [/mm] $ entsteht!?

Würde dann bei einer 4ten Wurzel
$ f(x) \ = \ [mm] \wurzel[4]{1-x^2} [/mm] $

am Ende [mm] \bruch{-2x}{4\cdot{}\wurzel[4]{\left(1-x^2\right)^3}} [/mm] $

rauskommen?

Irgendwie bin ich jetzt ganz durcheinander!

Würde mich wirklich nochmal über Hilfe freuen

Bezug
                        
Bezug
Ableitung xte Wurzel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:51 Mi 21.05.2008
Autor: Tyskie84

Hi,

> Jetzt habe ich doch noch eine Frage!
>  
> Und zwar verstehe ich es nicht ganz, warum aus dem hoch 1/3
> [mm]f(x) \ = \ \left(1-x^2\right)^{\bruch{1}{3}}[/mm] ein hoch -2/3
> [mm]f'(x) \ = \ \bruch{1}{3}\cdot{}\left(1-x^2\right)^{-\bruch{2}{3}}\cdot{}(-2x) \ = \ \bruch{-2x}{3\cdot{}\wurzel[3]{\left(1-x^2\right)^2}}[/mm]
> entsteht!?
>  

Nun laut Potenzregel wird der Exponent beim ableiten um "eins" verkleinert. Da der Exponent [mm] \bruch{1}{3} [/mm] ist muss man [mm] \bruch{1}{3}-1 [/mm] rechnen. Dazu wandele ich die "1" in einen Bruch um. Dann ist [mm] \bruch{1}{3}-\bruch{3}{3}=-\bruch{2}{3} [/mm] :-)

> Würde dann bei einer 4ten Wurzel
> [mm]f(x) \ = \ \wurzel[4]{1-x^2}[/mm]
>  
> am Ende
> [mm]\bruch{-2x}{4\cdot{}\wurzel[4]{\left(1-x^2\right)^3}}[/mm] $
>  
> rauskommen?
>  

Dann schauen wir mal. Wir haben [mm] \wurzel[4]{1-x^{2}} [/mm] zu differenzieren. Dazu schreiben wir das wieder um so wie Loddar es vorgeschlagen hat. Dann steht da:
[mm] (1-x^{2})^{\bruch{1}{4}} [/mm]
[mm] \\f'(x)=\bruch{1}{4}\cdot(1-x^{2})^{-\bruch{3}{4}}\cdot\\(-2x)=-\bruch{2x}{4\cdot(1-x^{2})^{\bruch{3}{4}}}=-\bruch{2x}{4\cdot\wurzel[4]{(1-x^{2})^{3}}}. [/mm] Also passt alles und du hast richtig gerechnet [ok]. Schaue aber noch ob du kürzen kannst ;-)

> Irgendwie bin ich jetzt ganz durcheinander!
>  

Nein warum du hast doch alles richtig gemacht :-). Differenzieren ist nur Übungssache.

> Würde mich wirklich nochmal über Hilfe freuen

[hut] Gruß

Bezug
                                
Bezug
Ableitung xte Wurzel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:57 Mi 21.05.2008
Autor: OlliW

Tausend Dank!!! Ich hab es endlich kapiert!!!! Super Sache, wie schnell und ausführlich ihr hier einem helft!!!

Riesen Lob und Dank!

Bezug
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