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Forum "Schul-Analysis" - Ableitung zu nat. Logarithmus
Ableitung zu nat. Logarithmus < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ableitung zu nat. Logarithmus: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:21 Mo 30.05.2005
Autor: sugafreak

Hallo!

Folgende Frage war Teil des Mathe Abis 2005 in Sachsen-Anhalt:

Gegeben sei eine Funktion

[mm] f_{k}(x) [/mm] = [mm] \bruch{k(x-1)^{2}}{x^{2}+1} [/mm] ,  x,k [mm] \in \IR [/mm] und k [mm] \not= [/mm] 0.

Weisen Sie nach, dass die Funktionen  [mm] F_{k} [/mm] für k > 0 mit

y = [mm] F_{k}(x) [/mm] = [mm] -k[ln(x^{2}+1)-x] [/mm]

Stammfunktionen der Funktionen [mm] f_{k} [/mm] sind.


Ich habe für diese Frage nur den Lösungsansatz

[mm] F_{k}'(x) [/mm] = f(x)

Mein Problem ist der natürliche Logarithmus in der angegebenen Stammfunktion. Ich weiß nicht, wie ich umwandeln und integrieren muss um von [mm] f_{k}(x) [/mm] auf [mm] F_{k}(x) [/mm] zu kommen, denn wir haben noch nicht mit natürlichen Logarithmen gerechnet.
Kann mir jemand bitte den Lösungsweg aufzeigen?

        
Bezug
Ableitung zu nat. Logarithmus: Hilfestellung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:39 Mo 30.05.2005
Autor: MathePower

Hallo,

> y = [mm]F_{k}(x)[/mm] = [mm]-k[ln(x^{2}+1)-x][/mm]
>  
> Stammfunktionen der Funktionen [mm]f_{k}[/mm] sind.
>  
>
> Ich habe für diese Frage nur den Lösungsansatz
>  
> [mm]F_{k}'(x)[/mm] = f(x)
>  
> Mein Problem ist der natürliche Logarithmus in der
> angegebenen Stammfunktion. Ich weiß nicht, wie ich
> umwandeln und integrieren muss um von [mm]f_{k}(x)[/mm] auf [mm]F_{k}(x)[/mm]
> zu kommen, denn wir haben noch nicht mit natürlichen
> Logarithmen gerechnet.
>  Kann mir jemand bitte den Lösungsweg aufzeigen?

Die Ableitung des ln wird folgendermaßen gebildet:

[mm]\left( {\ln \;g(x)} \right)'\; = \;\frac{{g'(x)}}{{g(x)}}[/mm]

Der umgekehrte Weg geht so:

[mm]\int {\frac{{g'(x)}}{{g(x)}}\;dx} \; = \;\ln \;g(x)\; + \;C[/mm]

Gruß
MathePower

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