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| Aufgabe | Gegeben sind die Funktionen f und jeweils ein Kurvenpunkt P0. Berechnen Sie die Steigung der Tangente in P0 mit Hilfe des Differenzialquotienten.
a) f(x)= 2x³ + bx P0(0,5;y0)
b) f(x)= [mm] \bruch{1}{x-1}............... x\in \IR\backslash [/mm] -1 P0(2;y0)
c) f(x)= [mm] \wurzel{x} [/mm] ........... [mm] x\in\IR+0 [/mm] P0(4,y0) |
Hallo mal wieder :)
Hätte noch eine Frage - wie macht man Ableitungen mit dem Differenzialquotienten, wenn in der Funktion eine Wurzel, ein Bruch oder zusätzliche Unbekannte stehen? Wie geht man beispielsweise bei diesen Aufgaben vor? Bin dankbar für jede Hilfe :)
Grüße
(Hoffe, die Aufgaben sind einigermaßen zu Lesen...)
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Hallo Pia,
> Gegeben sind die Funktionen f und jeweils ein Kurvenpunkt
> P0. Berechnen Sie die Steigung der Tangente in P0 mit Hilfe
> des Differenzialquotienten.
> a) f(x)= 2x³ + bx P0(0,5;y0)
> b) f(x)= [mm]\bruch{1}{x-1}............... x\in \IR\backslash[/mm]
> -1 P0(2;y0)
> c) f(x)= [mm]\wurzel{x}[/mm] ........... [mm]x\in\IR+0[/mm]
> P0(4,y0)
> Hallo mal wieder :)
> Hätte noch eine Frage - wie macht man Ableitungen mit dem
> Differenzialquotienten, wenn in der Funktion eine Wurzel,
> ein Bruch oder zusätzliche Unbekannte stehen? Wie geht man
> beispielsweise bei diesen Aufgaben vor? Bin dankbar für
> jede Hilfe :)
> Grüße
> (Hoffe, die Aufgaben sind einigermaßen zu Lesen...)
Jo, das geht 
Nun, welche Methode ist dir lieber? Die h-Methode?
Dann berechne [mm] $\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
[/mm]
Ich mach's mal für die erste vor:
Berechnen wir die Summanden einzeln...
[mm] $f(x)=2x^3+bx$ [/mm] und [mm] $x_0=\frac{1}{2}$
[/mm]
Damit ist [mm] $f(x_0+h)=f\left(\frac{1}{2}+h\right)=2\left(\frac{1}{2}+h\right)^3+b\cdot{}\left(\frac{1}{2}+h\right)=...$
[/mm]
Und [mm] $f(x_0)=f\left(\frac{1}{2}\right)=2\cdot{}\left(\frac{1}{2}\right)^3+b\cdot{}\frac{1}{2}=\frac{1}{4}+\frac{b}{2}$
[/mm]
Nun rechne das mal alles zusammen ...
Ziel ist es, nach dem Zusammenfassen, im Zähler h auszuklammern und es gegen das h im Nenner wegzuballern, so dass du gefahrlos den Grenzübergang [mm] $h\to [/mm] 0$ machen kannst.
Bei der Aufgabe mit der Wurzel musst du entsprechend für die Stelle [mm] $x_0=4$ [/mm] berechnen:
[mm] $\lim\limits_{h\to 0}\frac{\sqrt{4+h}-\sqrt{4}}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{\sqrt{4+h}-2}{h}$
[/mm]
Erweitere hier den Bruch mit [mm] $\sqrt{4+h}\blue{+}2$, [/mm] dann hast du im Zähler die 3. binomische Formel ...
Das ist ein Standardtrick, um Differenzen bzw. Summen von Wurzeltermen wegzubekommen. Lohnt sich zu merken
Ziel ist wieder, h auszuklammern, um es gegen das h im Nenner zu kürzen und dann den Grenzübergang [mm] $h\to [/mm] 0$ zu machen.
Bei (b) stelle den Differenzenquotienten analog zu a) und c) auf.
Hier musst du dann mit Bruchrechnung hantieren, gleichnamog machen usw.
Immer wieder mit dem Ziel, das h im Nenner durch Kürzen wegzubekommen ...
LG
schachuzipus
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Owe, vielen, vielen Dank für die Antwort, aber die h-Methode kenne ich leider überhaupt nicht. Habe lediglich diese Formel:
[mm] \bruch{f(x) - f(xo)}{x - xo}
[/mm]
Geht es damit auch?
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Hallo nochmal,
> Owe, vielen, vielen Dank für die Antwort, aber die
> h-Methode kenne ich leider überhaupt nicht. Habe lediglich
> diese Formel:
> [mm]\bruch{f(x) - f(xo)}{x - xo}[/mm]
> Geht es damit auch?
Klar, beide Methoden sind gleichwertig.
Berechne analog [mm] $\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
[/mm]
Ziel ist es hierbei, im Zähler [mm] $x-x_0$ [/mm] auszuklammern und es gegen das [mm] $x-x_0$ [/mm] im Nenner wegzukürzen, um gefahrlos [mm] $x\to x_0$ [/mm] laufen lassen zu können.
Es geht sehr ähnlich wie in den Auführungen zur h-Methode.
Versuch's einfch mal ...
LG
schachuzipus
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Dass man den Nenner "wegkriegen muss" habe ich schon verstanden. :) Aber ich komme einfach nicht weiter.
zB bei 2x³+bx mit x0=0,5
Würde der Differenzialquotient ja dann so aussehen:
f'(x) = [mm] \bruch{2x^{3}+bx - 0,25+05b}{x-0,5}
[/mm]
Wie kann ich da im Zähler x-0,5 ausklammern?
Danke! :)
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Hallo nochmal,
> Dass man den Nenner "wegkriegen muss" habe ich schon
> verstanden. :) Aber ich komme einfach nicht weiter.
> zB bei 2x³+bx mit x0=0,5
> Würde der Differenzialquotient ja dann so aussehen:
>
> $f'(x) = [mm] \bruch{2x^{3}+bx - 0,25\red{-}0,5b}{x-0,5}$
[/mm]
Da muss ein [mm] $\red{-}$ [/mm] stehen, das ist ne Minusklammer!!
> Wie kann ich
> da im Zähler x-0,5 ausklammern?
> Danke! :)
Es ist [mm] $2x^3+bx-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}b=2\cdot{}\left(x^3-\frac{1}{8}\right)+b\cdot{}\left(x-\frac{1}{2}\right)=2\cdot{}\left(x^3-\left(\frac{1}{2}\right)^3\right)+b\cdot{}\left(x-\frac{1}{2}\right)$
[/mm]
Nun bedenke, dass [mm] $(x^3-y^3)=(x-y)\cdot{}(x^2+xy+y^2)$ [/mm] ist.
Damit also ...
Gruß
schachuzipus
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Wow, danke!
Würde leider niemals auf sowas kommen, aber vielen, vielen, vielen, vielen Dank, jetzt hab ich's zumindestens verstanden :)
Wärst du noch so nett und würdest mir erklären wie man bei dem "Wurzelbeispiel" weiterrechnet?
Das wäre ja dann...
[mm] f'(x)=\bruch{\wurzel{x} - 2}{x-4}
[/mm]
Würde das so stimmen:
[mm] =\bruch{(x-4)^\bruch{1}{2}-2}{x-4}
[/mm]
Was bleibt übrig, wenn man x-4 wegkürzt?
Lg
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Hallo nochmal,
> Wow, danke!
> Würde leider niemals auf sowas kommen, aber vielen,
> vielen, vielen, vielen Dank, jetzt hab ich's zumindestens
> verstanden :)
> Wärst du noch so nett und würdest mir erklären wie man
> bei dem "Wurzelbeispiel" weiterrechnet?
> Das wäre ja dann...
> [mm]f'(x)=\bruch{\wurzel{x} - 2}{x-4}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Würde das so stimmen:
> [mm]=\bruch{(x-4)^\bruch{1}{2}-2}{x-4}[/mm]
???
Ich hatte oben geschrieben, wie du Differenzen bzw. Summen von Wurzeltermen wegbekommst.
Ich hatte auch dazu geschrieben, dass es ein Standardtrick ist, den es sich zu merken lohnt.
Offenbar meinst du, er sei doch nicht so wichtig ...
Also blättere hoch, dort steht, wie du erweitern musst (sinng. übertragen auf diesen Term ...)
> Was bleibt übrig, wenn man x-4 wegkürzt?
Das siehst du nach der richtigen Erweiterung ...
> Lg
>
Gruß
schachuzipus
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Hatte den Tipp schon gelesen, ihn allerdings nur auf die h-Methode bezogen verstanden. Heißt das, man kann auch hier mit +2 erweitern? Dann würde es so aussehen:
[mm] \bruch{\wurzel{x}}{x-2}
[/mm]
Und nun? Weiß nicht, ob ich im Moment vollkommen auf dem Schlauch stehe, aber ich habe wirklich keine Ahnung, wie ich die Wurzel da wegbekommen kann...:(
Lg
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Hallo nochmal,
> Hatte den Tipp schon gelesen, ihn allerdings nur auf die
> h-Methode bezogen verstanden. Heißt das, man kann auch
> hier mit +2 erweitern? Dann würde es so aussehen:
> [mm]\bruch{\wurzel{x}}{x-2}[/mm]
> Und nun? Weiß nicht, ob ich im Moment vollkommen auf dem
> Schlauch stehe, aber ich habe wirklich keine Ahnung, wie
> ich die Wurzel da wegbekommen kann...:(
Du musst so erweitern, dass du die 3. binomische Formel bekommst:
Im Zähler steht $(a-b)$
Also erweitere den Bruch mit $(a+b)$
Hierbei sind $a=...$ und $b=...$
Nun aber !!
> Lg
Gruß
schachuzipus
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....ich habe leider keine Ahnung...:(
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Hallo nochmal,
> ....ich habe leider keine Ahnung...:(
Ja, wie jetzt?
Da steht [mm] $\frac{\red{\sqrt{x}}-\blue{2}}{x-4}$
[/mm]
Den Zähler habe ich der Einfachheit halber [mm] $(\red{a}-\blue{b})$ [/mm] genannt.
Wo ist jetzt das Problem?
Es steht alles da, du musst es nur mal angehen und aufschreiben ...
LG
schachuzipus
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Bin dabei,
Aber dann steht da eben...
[mm] F'(x)=\bruch{\wurzel{x} - 2 * \wurzel{x}+2}{x-4 * \wurzel{x}+2}
[/mm]
...und ich komme wieder nicht weiter...
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Oh man, natürlich, das kürzt sich ja dann weg :9
Also ist das Ergebnis [mm] \wurzel{x}+2
[/mm]
Sorry für meine Dummheit... und danke für die Hilfe!
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Hallo,
Fragen bitte als Fragen stellen!
> Bin dabei,
> Aber dann steht da eben...
> F'(x)= [mm] \bruch{\wurzel{x} - 2 * \wurzel{x}+2}{x-4 * \wurzel{x}+2}
[/mm]
Das stimmt bis auf fehlende Klammen. Und die Ableitung $f'(4)$ ist der Limes dieses Quotienten für [mm] $x\to [/mm] 4$
Richtig ist [mm] $\frac{(\sqrt{x}-2)\cdot{}(\sqrt{x}+2)}{(x-4)\cdot{}(\sqrt{x}+2)}$
[/mm]
Nun steht im Zähler die 3.binom. Formel:
[mm] $=\frac{(\sqrt{x})^2-2^2}{(x-4)\cdot{}(\sqrt{x}+2)}=\frac{\blue{x-4}}{\blue{(x-4)}\cdot{}(\sqrt{x}+2)}=...$
[/mm]
Nun kannst du kürzen, dann den Grenzübergang [mm] $x\to x_0$, [/mm] also [mm] $x\to [/mm] 4$ machen ...
>
> ...und ich komme wieder nicht weiter...
Schade, aber jetzt bestimmt
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
schachuzipus
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