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| Aufgabe | Seien $I=(0,a) (a > 0)$ ein Intervall in [mm] $\IR$ [/mm] und [mm] $f:\bar [/mm] I [mm] \times \bar [/mm] I , [mm] (x,t)\mapsto [/mm] f(x,t)$ stetig. Für alle [mm] $x\in \bar [/mm] I , [mm] t\in \bar [/mm] I$ existiere
[mm] $g(x,t):=\frac{\delta}{\delta t}f(x,t)$
[/mm]
Weiter sei g in [mm] $\bar [/mm] I [mm] \times \bar [/mm] I$ stetig. Berechnen Sie folgende Ableitung.
[mm] $\frac{d}{dt}\int_0^t{f(x,t)dx}$.
[/mm]
$(ii)$ Berechnen Sie unter Verwendung der Ergebnisse aus Aufgabenteil $(i)$ folgende Ableitung.
[mm] $\frac{d}{dt}\int_0^t{e^{-xt}}$ [/mm] |
Hallo zusammen,
ich arbeite gerade an obriger Aufgabe, aber verzweifle daran.
Weiß einfach nicht, wie ich vorgehen soll und hoffe auf Hilfe.
Vielen Dank
LG
Dudi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:14 Di 24.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm]I=(0,a) (a > 0)[/mm] ein Intervall in [mm]\IR[/mm] und [mm]f:\bar I \times \bar I , (x,t)\mapsto f(x,t)[/mm]
> stetig. Für alle [mm]x\in \bar I , t\in \bar I[/mm] existiere
> [mm]g(x,t):=\frac{\delta}{\delta t}f(x,t)[/mm]
> Weiter sei g in
> [mm]\bar I \times \bar I[/mm] stetig. Berechnen Sie folgende
> Ableitung.
> [mm]\frac{d}{dt}\int_0^t{f(x,t)dx}[/mm].
> [mm](ii)[/mm] Berechnen Sie unter Verwendung der Ergebnisse aus
> Aufgabenteil [mm](i)[/mm] folgende Ableitung.
> [mm]\frac{d}{dt}\int_0^t{e^{-xt}}[/mm]
> Hallo zusammen,
> ich arbeite gerade an obriger Aufgabe, aber verzweifle
> daran.
> Weiß einfach nicht, wie ich vorgehen soll und hoffe auf
> Hilfe.
Wir setzen für t,s [mm] \in [/mm] I: $H(t):= [mm] \int_0^t{f(x,t)dx} [/mm] $ und [mm] $F(s,t):=\int_0^s{f(x,t)dx} [/mm] $.
Dann ist H(t)=F(t,t) und zu berechnen ist H'(t).
Nach dem Hauptsatz ist [mm] F_s(s,t)= [/mm] f(s,t) und weiter ist [mm] $F_t(s,t)=\int_0^s{g(x,t)dx} [/mm] $.
Nun berechne mit der Kettenregel die Ableitung von H(t)=F(t,t)
FRED
>
> Vielen Dank
> LG
> Dudi
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> > Seien [mm]I=(0,a) (a > 0)[/mm] ein Intervall in [mm]\IR[/mm] und [mm]f:\bar I \times \bar I , (x,t)\mapsto f(x,t)[/mm]
> > stetig. Für alle [mm]x\in \bar I , t\in \bar I[/mm] existiere
> > [mm]g(x,t):=\frac{\delta}{\delta t}f(x,t)[/mm]
> > Weiter sei g
> in
> > [mm]\bar I \times \bar I[/mm] stetig. Berechnen Sie folgende
> > Ableitung.
> > [mm]\frac{d}{dt}\int_0^t{f(x,t)dx}[/mm].
> > [mm](ii)[/mm] Berechnen Sie unter Verwendung der Ergebnisse aus
> > Aufgabenteil [mm](i)[/mm] folgende Ableitung.
> > [mm]\frac{d}{dt}\int_0^t{e^{-xt}}[/mm]
> > Hallo zusammen,
> > ich arbeite gerade an obriger Aufgabe, aber verzweifle
> > daran.
> > Weiß einfach nicht, wie ich vorgehen soll und hoffe
> auf
> > Hilfe.
>
> Wir setzen für t,s [mm]\in[/mm] I: [mm]H(t):= \int_0^t{f(x,t)dx}[/mm] und
> [mm]F(s,t):=\int_0^s{f(x,t)dx} [/mm].
>
> Dann ist H(t)=F(t,t) und zu berechnen ist H'(t).
>
> Nach dem Hauptsatz ist [mm]F_s(s,t)=[/mm] f(s,t)
Wie meinst du das?
meinst du [mm]F_s'(s,t)=(\int_0^sf(s,t)ds)'=[/mm] f(s,t)
und weiter ist
> [mm]F_t(s,t)=\int_0^s{g(x,t)dx} [/mm].
>
> Nun berechne mit der Kettenregel die Ableitung von
> H(t)=F(t,t)
>
> FRED
> >
> > Vielen Dank
> > LG
> > Dudi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Mi 25.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > Seien [mm]I=(0,a) (a > 0)[/mm] ein Intervall in [mm]\IR[/mm] und [mm]f:\bar I \times \bar I , (x,t)\mapsto f(x,t)[/mm]
> > > stetig. Für alle [mm]x\in \bar I , t\in \bar I[/mm] existiere
> > > [mm]g(x,t):=\frac{\delta}{\delta t}f(x,t)[/mm]
> > > Weiter
> sei g
> > in
> > > [mm]\bar I \times \bar I[/mm] stetig. Berechnen Sie folgende
> > > Ableitung.
> > > [mm]\frac{d}{dt}\int_0^t{f(x,t)dx}[/mm].
> > > [mm](ii)[/mm] Berechnen Sie unter Verwendung der Ergebnisse
> aus
> > > Aufgabenteil [mm](i)[/mm] folgende Ableitung.
> > > [mm]\frac{d}{dt}\int_0^t{e^{-xt}}[/mm]
> > > Hallo zusammen,
> > > ich arbeite gerade an obriger Aufgabe, aber
> verzweifle
> > > daran.
> > > Weiß einfach nicht, wie ich vorgehen soll und hoffe
> > auf
> > > Hilfe.
> >
> > Wir setzen für t,s [mm]\in[/mm] I: [mm]H(t):= \int_0^t{f(x,t)dx}[/mm] und
> > [mm]F(s,t):=\int_0^s{f(x,t)dx} [/mm].
> >
> > Dann ist H(t)=F(t,t) und zu berechnen ist H'(t).
> >
> > Nach dem Hauptsatz ist [mm]F_s(s,t)=[/mm] f(s,t)
> Wie meinst du das?
> meinst du [mm]F_s'(s,t)=(\int_0^sf(s,t)ds)'=[/mm] f(s,t)
Nein.
Ist J ein Intervall in [mm] \IR [/mm] , a [mm] \in [/mm] J, [mm] \phi:J \to \IR [/mm] stetig und [mm] \Phi [/mm] :J [mm] \to \IR [/mm] def. durch
[mm] \Phi(s):=\integral_{a}^{s}{\phi(x) dx},
[/mm]
so besagt der Hauptsatz der Diff.- und Integralrechnung, dass [mm] \Phi [/mm] auf J differenzierbar ist und dass [mm] \Phi [/mm] eine Stammfunktion von [mm] \phi [/mm] auf J ist.
FRED
>
> und weiter ist
> > [mm]F_t(s,t)=\int_0^s{g(x,t)dx} [/mm].
> >
> > Nun berechne mit der Kettenregel die Ableitung von
> > H(t)=F(t,t)
> >
> > FRED
> > >
> > > Vielen Dank
> > > LG
> > > Dudi
> >
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> > Seien [mm]I=(0,a) (a > 0)[/mm] ein Intervall in [mm]\IR[/mm] und [mm]f:\bar I \times \bar I , (x,t)\mapsto f(x,t)[/mm]
> > stetig. Für alle [mm]x\in \bar I , t\in \bar I[/mm] existiere
> > [mm]g(x,t):=\frac{\delta}{\delta t}f(x,t)[/mm]
> > Weiter sei g
> in
> > [mm]\bar I \times \bar I[/mm] stetig. Berechnen Sie folgende
> > Ableitung.
> > [mm]\frac{d}{dt}\int_0^t{f(x,t)dx}[/mm].
> > [mm](ii)[/mm] Berechnen Sie unter Verwendung der Ergebnisse aus
> > Aufgabenteil [mm](i)[/mm] folgende Ableitung.
> > [mm]\frac{d}{dt}\int_0^t{e^{-xt}}[/mm]
> > Hallo zusammen,
> > ich arbeite gerade an obriger Aufgabe, aber verzweifle
> > daran.
> > Weiß einfach nicht, wie ich vorgehen soll und hoffe
> auf
> > Hilfe.
>
> Wir setzen für t,s [mm]\in[/mm] I: [mm]H(t):= \int_0^t{f(x,t)dx}[/mm] und
> [mm]F(s,t):=\int_0^s{f(x,t)dx} [/mm].
>
> Dann ist H(t)=F(t,t) und zu berechnen ist H'(t).
>
> Nach dem Hauptsatz ist [mm]F_s(s,t)=[/mm] f(s,t) und weiter ist
> [mm]F_t(s,t)=\int_0^s{g(x,t)dx} [/mm].
>
> Nun berechne mit der Kettenregel die Ableitung von
> H(t)=F(t,t)
Ich verstehe noch nicht ganz, wie man mit dem von dir oben gegebenen auf H(t,t) kommt, so dass ich die kettenregel anwenden könnte!
Vielen Dank für die Geduld
LD
Dudi
>
> FRED
> >
> > Vielen Dank
> > LG
> > Dudi
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:51 Do 26.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > Seien [mm]I=(0,a) (a > 0)[/mm] ein Intervall in [mm]\IR[/mm] und [mm]f:\bar I \times \bar I , (x,t)\mapsto f(x,t)[/mm]
> > > stetig. Für alle [mm]x\in \bar I , t\in \bar I[/mm] existiere
> > > [mm]g(x,t):=\frac{\delta}{\delta t}f(x,t)[/mm]
> > > Weiter
> sei g
> > in
> > > [mm]\bar I \times \bar I[/mm] stetig. Berechnen Sie folgende
> > > Ableitung.
> > > [mm]\frac{d}{dt}\int_0^t{f(x,t)dx}[/mm].
> > > [mm](ii)[/mm] Berechnen Sie unter Verwendung der Ergebnisse
> aus
> > > Aufgabenteil [mm](i)[/mm] folgende Ableitung.
> > > [mm]\frac{d}{dt}\int_0^t{e^{-xt}}[/mm]
> > > Hallo zusammen,
> > > ich arbeite gerade an obriger Aufgabe, aber
> verzweifle
> > > daran.
> > > Weiß einfach nicht, wie ich vorgehen soll und hoffe
> > auf
> > > Hilfe.
> >
> > Wir setzen für t,s [mm]\in[/mm] I: [mm]H(t):= \int_0^t{f(x,t)dx}[/mm] und
> > [mm]F(s,t):=\int_0^s{f(x,t)dx} [/mm].
> >
> > Dann ist H(t)=F(t,t) und zu berechnen ist H'(t).
> >
> > Nach dem Hauptsatz ist [mm]F_s(s,t)=[/mm] f(s,t) und weiter ist
> > [mm]F_t(s,t)=\int_0^s{g(x,t)dx} [/mm].
> >
> > Nun berechne mit der Kettenregel die Ableitung von
> > H(t)=F(t,t)
>
> Ich verstehe noch nicht ganz, wie man mit dem von dir oben
> gegebenen auf H(t,t)
Du meinst H(t) ?
> kommt, so dass ich die kettenregel
> anwenden könnte!
>
>
> Vielen Dank für die Geduld
>
> LD
> Dudi
>
> >
> > FRED
> > >
> > > Vielen Dank
> > > LG
> > > Dudi
> >
>
Wir hatten: $ H(t):= [mm] \int_0^t{f(x,t)dx} [/mm] $ und $ [mm] F(s,t):=\int_0^s{f(x,t)dx} [/mm] $.
Dann ist doch: $ [mm] F(t,t)=\int_0^t{f(x,t)dx} [/mm] =H(t)$.
FRED
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