Ableitungen II e-Funktionen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:52 Fr 21.03.2008 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Bilde die ersten beiden Ableitungen
a) f(x) = [mm] x*e^x
[/mm]
b) f(x) = [mm] x*e^{-x}
[/mm]
c) f(x) = [mm] (2-x)*e^x
[/mm]
d) f(x) = [mm] (x-3)*e^{-x}
[/mm]
e) f(x) = [mm] (x^2-2x+3)*e^{-x}
[/mm]
f) f(x) = [mm] (4-x^2)*e^x [/mm] + [mm] (x^2-4)*e^{-x}
[/mm]
g) f(x) = [mm] \bruch{e^x}{1+e^x}
[/mm]
h) f(x) = [mm] \bruch{1}{1+e^x}
[/mm]
i) f(x) = [mm] \bruch{e^x}{x^2+1}
[/mm]
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Moin,
bei den Aufgaben habe ich die Produkt- bzw. die Quotientenregel angewandt (am Rande die Kettenregel)...
Ist das so richtig?
a) f(x) = [mm] x*e^x
[/mm]
f ' (x) = [mm] 1*e^x [/mm] + [mm] x*e^x
[/mm]
f ' (x) = [mm] e^x [/mm] (1+x)
f '' (x) = [mm] e^x*(1+x) [/mm] + [mm] e^x*1
[/mm]
f '' (x) = [mm] e^x*(2+x)
[/mm]
b) f(x) = [mm] x*e^{-x}
[/mm]
f ' (x) = [mm] 1*e^{-x} [/mm] + x*(- [mm] e^{-x})
[/mm]
f ' (x) = [mm] e^{-x}*(1-x)
[/mm]
f '' (x) = [mm] -1*e^{-x}*(1-x) [/mm] + [mm] e^{-x}*(-1)
[/mm]
f '' (x) = - [mm] e^{-x}*(2-x) [/mm]
c) f(x) = [mm] (2-x)*e^x
[/mm]
f ' (x) = [mm] -1*e^x [/mm] + [mm] (2-x)*e^x
[/mm]
f ' (x) = [mm] e^x*(1-x)
[/mm]
f '' (x) = [mm] e^x*(1-x) [/mm] + [mm] e^x*(-1)
[/mm]
f '' (x) = [mm] e^x*(-x) [/mm]
d) f(x) = [mm] (x-3)*e^{-x}
[/mm]
f ' (x) = [mm] 1*e^{-x} [/mm] + (x-3)*(- [mm] e^{-x})
[/mm]
f ' (x) = [mm] e^{-x}*(4-x)
[/mm]
f '' (x) = [mm] -1*e^{-x}*(4-x) [/mm] + [mm] e^{-x}*(-1)
[/mm]
f '' (x) = - [mm] e^{-x}*(5-x) [/mm]
e) f(x) = [mm] (x^2-2x+3)*e^{-x}
[/mm]
f ' (x) = [mm] (2x-2)*e^{-x} [/mm] + [mm] (x^2-2x+3)*(- e^{-x})
[/mm]
f ' (x) = [mm] e^{-x}*(-x^2+4x-5)
[/mm]
f '' (x) = [mm] -1*e^{-x}*(-x^2+4x-5) [/mm] + [mm] e^{-x}*(-2x+4)
[/mm]
f '' (x) = [mm] e^{-x}*(x^2-6x+9) [/mm]
f) f(x) = [mm] (4-x^2)*e^x [/mm] + [mm] (x^2-4)*e^{-x}
[/mm]
hier bin ich nicht sicher, ob es einfacher ist, wenn ich (-1) z.b. aus [mm] (4-x^2) [/mm] ausklammere...
f ' (x) = [mm] -2x*e^x [/mm] + [mm] (4-x^2)*e^x [/mm] + [mm] 2x*e^{-x} [/mm] + [mm] (x^2-4)*(- e^{-x})
[/mm]
f ' (x) = [mm] e^x*(-x^2-2x+4) [/mm] + [mm] e^{-x}*(-x^2+2x+4)
[/mm]
f '' (x) = [mm] e^x*(-x^2-2x+4) [/mm] + [mm] e^x*(-2x-2) [/mm] + (- [mm] e^{-x})*(-x^2+2x+4)
[/mm]
+ [mm] e^{-x}*(2x+2)
[/mm]
weitere vereinfachungsversuche sind mir nicht gelungen...
g) f(x) = [mm] \bruch{e^x}{1+e^x}
[/mm]
f ' (x) = [mm] \bruch{e^x(1+e^x) - e^x*e^x}{(1+e^x)^2}
[/mm]
f ' (x) = [mm] \bruch{1}{(1+e^x)^2}
[/mm]
f '' (x) = [mm] \bruch{0 - 2*(1+e^x)*e^x}{(1+e^x)^4}
[/mm]
f '' (x) = [mm] \bruch{- 2*e^x}{(1+e^x)^3}
[/mm]
h) f(x) = [mm] \bruch{1}{1+e^x}
[/mm]
f ' (x) = [mm] \bruch{- e^x}{(1+e^x)^2}
[/mm]
f '' (x) = [mm] \bruch{- e^x*(1+e^x)^2 + e^x*2*(1+e^x)*e^x}{(1+e^x)^4}
[/mm]
f '' (x) = [mm] \bruch{- e^x*(1+e^x) + 2*e^x*e^x}{(1+e^x)^3}
[/mm]
f '' (x) = [mm] \bruch{e^x*(e^x-1)}{(1+e^x)^3}
[/mm]
i) f(x) = [mm] \bruch{e^x}{x^2+1}
[/mm]
f ' (x) = [mm] \bruch{e^x*(x^2+1)^2 - e^x*2x}{(x^2+1)^2}
[/mm]
f ' (x) = [mm] \bruch{e^x*(x^2-2x+1)}{(x^2+1)^2}
[/mm]
f '' (x) = [mm] \bruch{[e^x*(x^2-2x+1) +e^x*(2x-2)]*(x^2+1)^2 - e^x*(x^2-2x+1)*2*(x^2+1)*2x}{(x^2+1)^4}
[/mm]
f '' (x) = [mm] \bruch{[e^x*(x^2-2x+1) +e^x*(2x-2)]*(x^2+1) - e^x*(x^2-2x+1)*2*2x}{(x^2+1)^4}
[/mm]
wie weit ist eine weitere umformung (noch) sinnvoll?
ich könnte [mm] e^x [/mm] ausklammern, die klammern auflösen...
Danke für eure Hilfe!
Gruß
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Fr 21.03.2008 | | Autor: | hase-hh |
Hi!
>
> > f) f(x) = [mm](4-x^2)*e^x[/mm] + [mm](x^2-4)*e^{-x}[/mm]
> > hier bin ich nicht sicher, ob es einfacher ist, wenn ich
> > (-1) z.b. aus [mm](4-x^2)[/mm] ausklammere...
>
> ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Gut. Und dann noch [mm]\left(x^2-4)[/mm] ausklammern ...
>
> Damit ergibt sich dann die Funktion [mm]f(x) \ = \ \left(x^2-4\right)*\left(e^x-e^{-x} \ \right)[/mm]
> .
>
>
> Gruß
> Loddar
>
Also hier habe ich jetzt:
f(x) = [mm] (4-x^2)*e^x [/mm] + [mm] (x^2-4)*e^{-x}
[/mm]
f(x) = - [mm] (x^2-4)*e^x [/mm] + [mm] (x^2-4)*e^{-x}
[/mm]
f(x)= [mm] (x^2-4)*(- e^x [/mm] + [mm] e^{-x})
[/mm]
f ' (x) = 2x*(- [mm] e^x [/mm] + [mm] e^{-x}) [/mm] + [mm] (x^2-4)*( -e^x [/mm] - [mm] e^{-x})
[/mm]
f '' (x) = 2*(- [mm] e^x [/mm] + [mm] e^{-x}) [/mm] + 2x*(- [mm] e^x [/mm] - [mm] e^{-x}) [/mm] + 2x*( [mm] -e^x [/mm] - [mm] e^{-x})
[/mm]
+ [mm] (x^2-4)*( -e^x [/mm] + [mm] e^{-x})
[/mm]
f '' (x) = 2*(- [mm] e^x [/mm] + [mm] e^{-x}) [/mm] + 4x*(- [mm] e^x [/mm] - [mm] e^{-x}) [/mm] + [mm] (x^2-4)*( -e^x [/mm] + [mm] e^{-x})
[/mm]
f '' (x) = - [mm] e^x*(2+4x+x^2-4) [/mm] + [mm] e^{-x}*(2-4x+x^2-4)
[/mm]
f '' (x) = - [mm] e^x*(x^2+4x-2) [/mm] + [mm] e^{-x}*(x^2-4x+-2)
[/mm]
Gruß
Wolfgang
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Sehr gut ... und auch nicht durch meinen Vorzeichenfehler in meiner Antwort irritieren lassen 
...
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
In der letzen Klammer muss es [mm] $\red{-}2x+2$ [/mm] lauten.
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]"){kind=small}
Absolut richtig! Und weiter Möglichkeiten zum Zusammenfassen / Vereinfachen sehe ich auch nicht ...
