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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:00 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Maiko |
Hallo!
Ich bräuchte ein wenig Hilfe bei den Ableitungen folgender Funktionen.
Es wäre klasse, wenn mir das jemand schrittweise bissel ausführlicher erläutern könnte.
[mm] \bruch{(x + a)(x + b)}{x^{n}}
[/mm]
Mein Zwischenergenis lautet:
[mm] 2x^{-n+1} [/mm] + [mm] bx^{-n} [/mm] + [mm] ax^{-n} [/mm] - [mm] nx^{-n+1} [/mm] - [mm] nbx^{-n} [/mm] - [mm] nax^{-n} [/mm] - [mm] nabx^{-n-1}
[/mm]
[mm] (2-n)*x^{-n+1} [/mm] + [mm] (b+a)*x^{-n} [/mm] - (nb + [mm] na)*x^{-n} [/mm] - [mm] nabx^{-n-1}
[/mm]
Die Lösung lautet:
[mm] x^{-n - 1} [/mm] * [(2 - [mm] n)*x^{2} [/mm] + (a + b )(n - 1)*x - nab ]
Bin ich auf dem richtigen Weg gewesen? Wie komme ich weiter?
Es scheitert ja eigentlich nur an dem mittleren Term?
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[mm] (x^{2} [/mm] + [mm] 4x)^{3/2}
[/mm]
Die Lösung lautet:
(3x + [mm] 6)*(x^2 [/mm] + [mm] 4x)^{1/2}
[/mm]
Im Lösungsbuch steht dazu:
einseitige Differenzierbarkeit für x=-4 und x=0
Was bedeutet das? Für was benötige ich das? Wie bekomme ich das raus?
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y= arc tan [mm] (x^2)
[/mm]
Bei dieser Funktion finde ich gar keine Herangehensweise.Hab ich auch noch nie gemacht. Müssen wir aber können.
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y=arc sin [mm] [(x+1)*(x-1)^{-1}]
[/mm]
Bin für jede Hilfe sehr dankbar!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:31 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Maiko |
Danke für die schnelle Antwort!
Die letzten beiden Aufgaben sind jetzt gelöst. Meine Lösung stimmt auch mit denen des Lösungsbuchs überein.
Ich habe aber Probleme bei der ersten Ableitung. Könnte die mir jmd. mal vorrechnen. Ich komme da nicht weiter.
Letztenendes ist es ja egal, ob ich für den Zähler die Prduktregel verwende oder, ob ich vorher die Klammern auflöse, "normal ableite" und dann die Quotientenregel verwende.
Trotzdem komme ich immer wieder an den von mir beschriebenen Punkt an.
Könnte mir dort jmd. helfen?
Meiner Meinung nach liege ich dort nicht voll daneben Loddar.
Wenn ich aus MEINEM Endergebnis [mm] x^{-n-1} [/mm] ausklammere komme ich ja schon fast auf die Lösung, nur das bei mir in der Mitte
... + x*(a + b - nb - na) - ...
steht. Da ist ja nur eine kleine Abweichung zur Lösung. Bekomme ich das durch Umformung noch hin?
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Zur Zweiten Aufgabe:
Ich verstehe, dass x=-4 und x=0 Definitionsränder sind. Was meinst du aber damit, dass die Funktion an diesen Stellen einseitig definiert ist? Was bedeutet das? Warum sind sie dann auch nur einseitig differenzierbar?
Könntest du das bitte nochmal erläutern?
_______________________________-
Noch eine Frage:
Bei der Ableitung von
y = arctan (x) + arctan (1/x)
muss laut Lösungsbuch 0 rauskommen.
Ich denke aber wirklich, dass ich beim Ableiten richtig vorgegangen bin und komme zum Schluss auf
[mm] \bruch{(x^{2} + 1)^{2}}{(x^{2} + 1)^{2}}
[/mm]
Das ist ja eigentlich 1. Könnte das jemand bitte überprüfen?
________________________________________________
Letzte Frage:
Habe auch folgende Aufgabe abgeleitet
y = [ arctan [mm] (x^2) ]^{1/2}
[/mm]
Wenn ich das Ergebnis habe, sehe ich, dass ich dort für x nicht 0 einsetzen darf, weil da im Nenner 0 steht. Das ist ja verboten.
Im Lösungsbuch steht:
Funktion nicht differenzierbar an Stelle x=0, denn die einseitigen Ableitungen sind dort voneinander verschieden
Den ersten Teil des Satzes verstehe ich, aber was bedeutet der zweite?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:07 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Maiko!
> Zur Zweiten Aufgabe:
>
> Ich verstehe, dass x=-4 und x=0 Definitionsränder sind. Was
> meinst du aber damit, dass die Funktion an diesen Stellen
> einseitig definiert ist? Was bedeutet das? Warum sind sie
> dann auch nur einseitig differenzierbar?
>
> Könntest du das bitte nochmal erläutern?
Ich habe dir einfach mal den Funktionsgraphen der Ausgangsfunktion eingefügt. Klären sich vielleicht damit Deine Fragen?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn eine Funktion an einer Stelle [mm] $x_0$ [/mm] nur einseitig definiert ist, kann ich an diese Stelle auch nur einseitig eine Ableitung bilden, da ich ja auch nur einseitig eine Tangente anlegen kann ...
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Maiko |
Hmmm...
Also, wenn ich die Ableitung der Funktion bilde und -4 einsetze, dann müsste das ja die Ableitung an der Stelle -4 sein, sprich der Anstieg der Funktion bei x=-4. Ist das jetzt einseitig oder zweiseitig?
Ich kenne nur die Art der Rechnung. Ich habe noch nie eine zweiseitige Ableitung gebildet. Kannst du mal ein Beispiel nennen, damit das verständlich wird?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:16 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Loddar |
> Bei der Ableitung von
>
> y = arctan (x) + arctan (1/x)
>
> muss laut Lösungsbuch 0 rauskommen.
> Ich denke aber wirklich, dass ich beim Ableiten richtig
> vorgegangen bin und komme zum Schluss auf
>
> [mm]\bruch{(x^{2} + 1)^{2}}{(x^{2} + 1)^{2}}[/mm]
>
> Das ist ja eigentlich 1. Könnte das jemand bitte
> überprüfen?
In meiner Rechnung erhalte ich am Ende auch f'(x) = 0.
Wie lautet denn Deine Ableitung des 2. Terms [mm] $arctan\left(\bruch{1}{x}\right)$ [/mm] ??
Hier kommt natürlich wieder die  Kettenregel zur Anwendung ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:27 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Maiko |
Ha... 
Ich habe meinen Fehler gefunden. Danke für den Tipp mit der Kettenregel.
Hatte beim zweiten Summanden die innere Ableitung von x^(-1) übersehen.
Somit sind es ja nur zwei Schritte zur Lösung von = 0.
Danke vielmals!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:34 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Loddar |
> Letzte Frage:
>
> Habe auch folgende Aufgabe abgeleitet
>
> y = [ arctan [mm](x^2) ]^{1/2}[/mm]
>
> Wenn ich das Ergebnis habe, sehe ich, dass ich dort für x
> nicht 0 einsetzen darf, weil da im Nenner 0 steht. Das ist
> ja verboten.
>
> Im Lösungsbuch steht:
> Funktion nicht differenzierbar an Stelle x=0, denn die
> einseitigen Ableitungen sind dort voneinander verschieden
>
> Den ersten Teil des Satzes verstehe ich, aber was bedeutet
> der zweite?
Wenn du die Ableitungsfunktion ermittelt hast, dann mach' doch mal zwei Grenzwertbetrachtungen:
linksseitiger Grenzwert: [mm] $\limes_{x\rightarrow0-} [/mm] f'(x) = ...$
rechtsseitiger Grenzwert: [mm] $\limes_{x\rightarrow0+} [/mm] f'(x) = ...$
Wie Du auch der Skizze entnehmen kannst, hat unsere Ursprungsfunktion, nämlich einen Knick an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] = 0$
(vergleichbar der Betragsfunktion y = |x|).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Maiko |
Achso!
Habe ich das also so zu verstehen, dass wenn ich von der Ableitungsfunktion den rechtseitigen Grenzwert [mm] (0+\varepsilon) [/mm] und den linksseitigen Grenzwert [mm] (0-\varepsilon) [/mm] bilde, ich auf zwei verschiedene Werte komme und damit klar ist, dass die Funktion an der Stelle x=0 unstetig ist + unbehebbare Unstetigkeitsstellen dort hat (aufgrund Ungleichheit von lim re und lim li) ??
Wenn zweimal der gleiche Grenzwert rauskommt, ist die Funktion dort doch trotzdem unstetig, nur die Unstetigkeitsstellen sind behebbar oder?
Liege ich damit richtig?
Stimmt das? Ich bilde die erste Ableitung und wenn ich diese bestimmte Stelle x in die Ableitung einsetze und ein reeler Wert rauskommt, dann ist die Funktion stetig?
Habe ich das richtig verstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 Sa 15.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Maiko!
Ui-ui-ui ...
Da schmeißt Du gerade so einige Begriffe etwas wild durcheinander.
Versuch' Dir nochmal folgende Begriffe etwas klarer zu machen:
stetig sowie differenzierbar.
Anschaulich:
Stetig ist eine Funktion, wenn man diese zeichnen kann, ohne den Stift abzusetzen.
Also: "Knicke" in der Kurve sind auch stetig (Beispiel $y = |x|$).
Sprünge oder Polstellen sind nicht stetig, sog. "Unstetigkeitstellen".
Differenzierbar sind Funktionen, wenn man an jeder Stelle [mm] $x_0$ [/mm] eine eindeutige Tangente anlegen kann. Voraussetzung ist die Stetigkeit an dieser betrachteten Stelle [mm] $x_0$.
[/mm]
Wo eine Funktion also nicht stetig ist, ist sie auch nicht differenzierbar!!
Ein "Knick" ist nicht differenzierbar!
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Aber aus der Stetigkeit kann man nicht die Differenzierbarkeit an dieser Stelle [mm] $x_0$ [/mm] folgern!!
Siehe dazu unser Beispiel.
> Habe ich das also so zu verstehen, dass wenn ich von der
> Ableitungsfunktion den rechtseitigen Grenzwert
> [mm](0+\varepsilon)[/mm] und den linksseitigen Grenzwert
> [mm](0-\varepsilon)[/mm] bilde, ich auf zwei verschiedene Werte
> komme und damit klar ist, dass die Funktion an der Stelle
> x=0 unstetig ist + unbehebbare Unstetigkeitsstellen dort
> hat (aufgrund Ungleichheit von lim re und lim li) ??
>
> Wenn zweimal der gleiche Grenzwert rauskommt, ist die
> Funktion dort doch trotzdem unstetig, nur die
> Unstetigkeitsstellen sind behebbar oder?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wenn Du die beiden Grenzwerte (linksseitig und rechtsseitig) an der Ableitungsfunktion bestimmst, kannst du natürlich auch nur Aussagen über die Differenzierbarkeit treffen und nicht über die Stetigkeit.
Betrachte in unserem konkreten Beispiel doch einmal die Grenzwert der Ausgangsfunktion [mm] $\limes_{x\rightarrow 0\pm} [/mm] f(x) = [mm] \wurzel{arctan(x^2)}$.
[/mm]
Du wirst (bzw. solltest ) feststellen, daß diese Grenzwerte existieren und übereinstimmen: [mm] $\limes_{x\rightarrow 0-} [/mm] f(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow 0-} [/mm] f(x) = f(0) = 0$
Damit wäre gezeigt, daß unsere Funktion $f(x)$ auch an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] = 0$ stetig ist.
Der Nachweis der Differenzierbarkeit verläuft sehr ähnlich, nur halt mit dem der Grenzwertbetrachtung an der Ableitungsfunktion $f'(x)$.
Wir haben ja: $f'(x) = [mm] \bruch{x}{(1+x^4)*\wurzel{arctan(x^2)}}$
[/mm]
Und hier werden wir feststellen, daß rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert nicht übereinstimmen
(Anmerkung: diese entsprechenden Grenzwert müssen mit der LHospitalscheRegel berechnet werden).
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0-} [/mm] f'(x) = -1$
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0+} [/mm] f'(x) = [mm] +1\quad \not=\quad \limes_{x\rightarrow 0-} [/mm] f'(x)$
(Siehe auch: Skizze = rote Kurve )
Daraus folgt:
Unsere Funktion $f(x)$ ist an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] = 0$ nicht differenzierbar!!
Anschaulich: Versuch' doch mal an diesem Punkt eine eindeutige Tangente anzulegen... Es geht nicht!
Mit "behebbaren" Unstetigkeitsstellen hat das vorerst wenig zu tun...
Solche liegen vor an Stellen, die nicht definiert sind (weil z.B. in einem Bruch der Nenner 0 würde), aber keine Polstellen sind, da diese Definitionslücken z.B. herausgekürzt werden können.
(siehe auch mal diese Frage als Beispiel)
> Ich bilde die erste Ableitung und wenn ich diese bestimmte Stelle x
> in die Ableitung einsetze und ein reller Wert rauskommt, dann ist die
> Funktion stetig?
Der Schluß ist zulässsig: Wenn differenzierbar, dann auch stetig an dieser Stelle [mm] $x_0$.
[/mm]
Der Umkehrschluß jedoch nicht, wie unser Beispiel ja gezeigt hat für [mm] $x_0 [/mm] = 0$.
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:16 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Maiko |
Frage 1 verstanden.
Danke!
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
??
