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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Ableitungen holomorpher Fkt.
Ableitungen holomorpher Fkt. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ableitungen holomorpher Fkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:01 So 27.06.2010
Autor: jxn

Aufgabe 1
Man bestimme alle Funktionen f [mm] \in H(\IC), [/mm] die |f'(z)| < |f(z)| für alle [mm] z\in\IC [/mm] erfüllen.

Aufgabe 2
Es sei [mm] \Omega\subset\IC [/mm] eine offene Menge, [mm] f\in H(\Omega). [/mm] Man zeige:
1) Für alle [mm] z\in\Omega [/mm] gibt es ein r>0 mit der folgenden Eigenschaft: Es gibt eine holomorphe Funktion g: [mm] B_r(z)\to\IC, [/mm] so dass f=g'.
2) Falls [mm] \Omega [/mm] konvex ist, dann gibt es eine holomorphe Funktion g: [mm] \Omega\to\IC [/mm] mit f=g'.

Hallo zusammen!

Zu holomorphen Funktionen ist bekannt:
f ist holomorph ist dazu äquivalent, dass
1) [mm] \limes_{z\rightarrow\z_0} \bruch{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} [/mm] existiert
2) f ist reell diffbar, Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen sind erfüllt
3) f ist analytisch
4) Integral von f über eine Schleife [mm] \gamma [/mm] ist = 0.
Ferner sind der Satz von Liouville und der Identitätssatz bekannt.

Zu Aufgabe 1:
Konkret fallen mir erstmal alle konstanten Funktionen ein, und alle Funktionen der Art e^(a*z) mit 0<a<1. Aber das ist ja wenig systematisch ausgearbeitet.

Zu Aufgabe 2:
Hier fehlt mir leider komplett ein guter Ansatz. Aus den C-R-DGL kann man folgern dass, wenn man f=u+iv schreibt, dass dann [mm] f'=u_x+iv_x [/mm] sein muss.
Bringt mich das bei einer der Aufgaben weiter?

Über einen Denkanstoß würde ich mich sehr freuen.

Gruß,
jxn

        
Bezug
Ableitungen holomorpher Fkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:51 Mo 28.06.2010
Autor: fred97


> Man bestimme alle Funktionen f [mm]\in H(\IC),[/mm] die |f'(z)| <
> |f(z)| für alle [mm]z\in\IC[/mm] erfüllen.
>  Es sei [mm]\Omega\subset\IC[/mm] eine offene Menge, [mm]f\in H(\Omega).[/mm]
> Man zeige:
>  1) Für alle [mm]z\in\Omega[/mm] gibt es ein r>0 mit der folgenden
> Eigenschaft: Es gibt eine holomorphe Funktion g:
> [mm]B_r(z)\to\IC,[/mm] so dass f=g'.
>  2) Falls [mm]\Omega[/mm] konvex ist, dann gibt es eine holomorphe
> Funktion g: [mm]\Omega\to\IC[/mm] mit f=g'.
>  Hallo zusammen!
>  
> Zu holomorphen Funktionen ist bekannt:
>  f ist holomorph ist dazu äquivalent, dass
>  1) [mm]\limes_{z\rightarrow\z_0} \bruch{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}[/mm]
> existiert
>  2) f ist reell diffbar,
> Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen sind erfüllt
>  3) f ist analytisch
>  4) Integral von f über eine Schleife [mm]\gamma[/mm] ist = 0.
>  Ferner sind der Satz von Liouville und der Identitätssatz
> bekannt.
>  
> Zu Aufgabe 1:
>  Konkret fallen mir erstmal alle konstanten Funktionen ein,
> und alle Funktionen der Art e^(a*z) mit 0<a<1. Aber das ist
> ja wenig systematisch ausgearbeitet.



Wegen  |f'(z)| < |f(z)| für alle $ [mm] z\in\IC [/mm] $, ist f  auf [mm] \IC [/mm] nullstellenfrei, somit ist g:=f'/f eine ganze Funktion mit |g| <1 auf [mm] \IC. [/mm] Was sagt Liouville dazu ?


>  
> Zu Aufgabe 2:
>  Hier fehlt mir leider komplett ein guter Ansatz. Aus den
> C-R-DGL kann man folgern dass, wenn man f=u+iv schreibt,
> dass dann [mm]f'=u_x+iv_x[/mm] sein muss.
>  Bringt mich das bei einer der Aufgaben weiter?



1) folgt aus 2) !!

Zu 2) Wähle [mm] z_0 \in \Omega [/mm] fest. Für z [mm] \in \Omega [/mm] sei [mm] \gamma_z(t) [/mm] := [mm] z_0+t(z-z_0) [/mm]  (t [mm] \in [/mm] [0,1])

Setze    $g(z):= [mm] \integral_{\gamma_z}^{}{f(w) dw}$ [/mm]


FRED

>  
> Über einen Denkanstoß würde ich mich sehr freuen.
>  
> Gruß,
>  jxn


Bezug
                
Bezug
Ableitungen holomorpher Fkt.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:18 Mo 28.06.2010
Autor: jxn

Damit kann ich was anfangen. Dankeschön.

Gruß,
jxn

Bezug
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