www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Funktionen" - Ableitungen und Nullstellen
Ableitungen und Nullstellen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Ableitungen und Nullstellen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:54 Mi 09.12.2020
Autor: sancho1980

Aufgabe
Sei n [mm] \in \IN. [/mm] Die Funktion f: [a, b] -> [mm] \IR [/mm] sei n-mal differenzierbar. Sei [mm] x_1, [/mm] ..., [mm] x_{n + 1} \in [/mm] [a, b] mit [mm] x_1 [/mm] < ... < [mm] x_{n + 1} [/mm] und [mm] f(x_i) [/mm] = 0 für alle 0 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n + 1. Beweisen Sie, dass es ein [mm] n_0 \in [/mm] (a,b) so gibt, dass [mm] f^{n}(x_0) [/mm] = 0 ist.

Hallo,
ich habe überlegt, ob hier Induktion der richtige Ansatz ist. Bin aber über den Basis-Fall nicht hinausgekommen.
In welche Richtung muss man denn die Lösung suchen bzw. habt ihr einen zündenden Gedanken?
Danke und Gruß,
Martin

        
Bezug
Ableitungen und Nullstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:13 Mi 09.12.2020
Autor: fred97


> Sei n [mm]\in \IN.[/mm] Die Funktion f: [a, b] -> [mm]\IR[/mm] sei n-mal
> differenzierbar. Sei [mm]x_1,[/mm] ..., [mm]x_{n + 1} \in[/mm] [a, b] mit [mm]x_1[/mm]
> < ... < [mm]x_{n + 1}[/mm] und [mm]f(x_i)[/mm] = 0 für alle 0 [mm]\le[/mm] i [mm]\le[/mm] n +
> 1. Beweisen Sie, dass es ein [mm]n_0 \in[/mm] (a,b) so gibt, dass
> [mm]f^{n}(x_0)[/mm] = 0 ist.
>  Hallo,
>  ich habe überlegt, ob hier Induktion der richtige Ansatz
> ist.



> Bin aber über den Basis-Fall nicht hinausgekommen.
>  In welche Richtung muss man denn die Lösung suchen bzw.
> habt ihr einen zündenden Gedanken?


Ja, den hab ich.

Ich mache Dir mal den Fall $n=1$ vor: [mm] $x_1,x_2$ [/mm] seien also Nullstellen von $f$ mit [mm] $x_1
Also [mm] $f(x_2)-f(x_1)=0.$ [/mm]

Mit dem Mittelwertsatz (oder dem Satz von Rolle) folgt, dass ein [mm] $x_0 \in (x_1,x_2) [/mm] ex. mit [mm] $f'(x_0)=0.$ [/mm]


Jetzt der Fall $n=3.$ Wir haben also drei Nullstellen   [mm] $x_1,x_2,x_3$ [/mm] von $f$ mit [mm] $x_1

Zwischen [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] hat nun $f'$ eine Nullstelle [mm] z_1 [/mm] (wieder Mittelwertsatz)

Ebenso : zwischen [mm] $x_2$ [/mm] und [mm] $x_3$ [/mm] hat  $f'$ eine Nullstelle [mm] z_2. [/mm]

Nun wende dem Mittelwertsatz auf die Ableitung $f'$ und das Intervall [mm] $[z_1,z_2]$ [/mm] an.

Nun solltest Du sehen, wo der Hase hinläuft.

>  Danke und Gruß,
>  Martin


Bezug
                
Bezug
Ableitungen und Nullstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:56 Mi 09.12.2020
Autor: sancho1980

Hallo,
ok, ich habe jetzt einen induktiven Beweis, aber ein kleines Detail stört mich noch:

$n = 1$:
Mit dem Mittelwertsatz existiert ein [mm] $y_1 \in (x_1, x_2)$, [/mm] sodass [mm] $f^{(1)}(y_1) [/mm] = 0$.

$n+1$:
Wir setzen voraus, dass ein [mm] $y_1 \in (x_1, x_{n + 1})$ [/mm] existiert, sodass [mm] $f^{(n)}(y_1) [/mm] = 0$. Ferner, dass ein [mm] $y_2 \in (x_2, x_{n + 2})$ [/mm] existiert, sodass [mm] $f^{(n)}(y_2) [/mm] = 0$. Mit dem Mittelwertsatz folgt nun wieder, dass ein $z [mm] \in (y_1, y_2)$ [/mm] existiert, sodass [mm] $f^{(n+1)}(z) [/mm] = 0$.

Meine Frage hierzu: Könnte man jetzt nicht (berechtigterweise) einwenden, dass ja noch gar nicht [mm] $y_1 \not= y_2$ [/mm] gezeigt wurde? Falls ja, wie kann man das noch zeigen?

Danke und Gruß,
Martin

Bezug
                        
Bezug
Ableitungen und Nullstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:34 Do 10.12.2020
Autor: HJKweseleit


> Hallo,
>  ok, ich habe jetzt einen induktiven Beweis, aber ein
> kleines Detail stört mich noch:
>  
> [mm]n = 1[/mm]:
>  Mit dem Mittelwertsatz existiert ein [mm]y_1 \in (x_1, x_2)[/mm],
> sodass [mm]f^{(1)}(y_1) = 0[/mm].
>  
> [mm]n+1[/mm]:
>  Wir setzen voraus, dass ein [mm]y_1 \in (x_1, x_{n + 1})[/mm]
> existiert, sodass [mm]f^{(n)}(y_1) = 0[/mm]. Ferner, dass ein [mm]y_2 \in (x_2, x_{n + 2})[/mm]
> existiert, sodass [mm]f^{(n)}(y_2) = 0[/mm].


Wenn du so argumentierst, hast du Recht. Es gilt aber auch:

f hat n+1 Nullstellen [mm] x_1 [/mm] bis [mm] x_{n+1}. [/mm]

Dann wissen wir, dass ein [mm]y_1 \in (x_1, x_2)[/mm]  existiert, sodass [mm]f^{(1)}(y_1) = 0[/mm],dass ein [mm]y_2 \in (x_2, x_3)[/mm]  existiert, sodass [mm]f^{(1)}(y_2) = 0[/mm],dass ein [mm]y_3 \in (x_3, x_4)[/mm]  existiert, sodass [mm]f^{(1)}(y_3) = 0[/mm],...dass ein [mm]y_n \in (x_n, x_{n+1})[/mm]  existiert, sodass [mm]f^{(1)}(y_n) = 0[/mm].

Somit hat [mm] f^{(1)} [/mm] n Nullstellen. Diese liegen in verschiedenen Intervallen und sind daher voneinander verschieden und ebenfalls, wie die [mm] x_i [/mm] , aufsteigend geordnet.

Auf die [mm] y_i [/mm] lässt sich die selbe Argumentation anwenden, so dass [mm] f^{(2)} [/mm] n-1 entsprechende Nullstellen hat usw. bis  [mm] f^{(n)} [/mm] hat eine Nullstelle. Beachte: Ableitungsnummer + Nullstellenzahl ergeben immer n+1. Dabei ist aber die Nullstellenanzahl eine Mindestangabe, denn zwischen 2 Nullstellen können auch mehrere Minima/Maxima liegen und daher die nächste Ableitung über mehr Nullstellen als bewiesen verfügen.


Bezug
                                
Bezug
Ableitungen und Nullstellen: Fundamentalsatz der Algebra
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:53 Do 10.12.2020
Autor: HJKweseleit

Der Beweis kann für den Fundamentalsatz der Algebra herangezogen werden: Ein Polynom n-ten Grades kann maximal n Nullstellen haben. Nicht damit zu beweisen ist, dass es (im Komplexen) genau n Nullstellen sind.

Annahme: Ein Polynom n-ten Grades hat (im Intervall [a|b] mindestens) n+1 Nullstellen.
Dann hat nach obigem Beweis die n-te Ableitung (mindestens) eine Nullstelle. Die n-te Ableitung eines Polynoms n-ten Grades ist aber eine Konstante [mm] \ne [/mm] 0. Widerspruch!

Bezug
                        
Bezug
Ableitungen und Nullstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:17 Do 10.12.2020
Autor: fred97


> Hallo,
>  ok, ich habe jetzt einen induktiven Beweis, aber ein
> kleines Detail stört mich noch:
>  
> [mm]n = 1[/mm]:
>  Mit dem Mittelwertsatz existiert ein [mm]y_1 \in (x_1, x_2)[/mm],
> sodass [mm]f^{(1)}(y_1) = 0[/mm].
>  
> [mm]n+1[/mm]:
>  Wir setzen voraus, dass ein [mm]y_1 \in (x_1, x_{n + 1})[/mm]
> existiert, sodass [mm]f^{(n)}(y_1) = 0[/mm]. Ferner, dass ein [mm]y_2 \in (x_2, x_{n + 2})[/mm]
> existiert, sodass [mm]f^{(n)}(y_2) = 0[/mm]. Mit dem Mittelwertsatz
> folgt nun wieder, dass ein [mm]z \in (y_1, y_2)[/mm] existiert,
> sodass [mm]f^{(n+1)}(z) = 0[/mm].
>  
> Meine Frage hierzu: Könnte man jetzt nicht
> (berechtigterweise) einwenden, dass ja noch gar nicht [mm]y_1 \not= y_2[/mm]
> gezeigt wurde? Falls ja, wie kann man das noch zeigen?

Das kannst Du nicht zeigen !

Gruß  Fred

>  
> Danke und Gruß,
>  Martin


Bezug
                                
Bezug
Ableitungen und Nullstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:07 Fr 11.12.2020
Autor: sancho1980

Hallo,

> Das kannst Du nicht zeigen !

Gibt es dann gar keine Möglichkeit, das induktiv zu zeigen? Momentan habe ich dann nur einen Beweis mit Pünktchenschreibweise. Aber das ist angeblich kein sauberer Beweis?

Vielen Dank,
Martin


Bezug
                                        
Bezug
Ableitungen und Nullstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:16 Fr 11.12.2020
Autor: HJKweseleit

Mein Beweis ist ein induktiver. Du musst ihn nur umschreiben:

Beh.: Wenn f n-mal diffbar ist und in [a|b] mindestens n+1 verschiedene Nullstellen hat, so hat [mm] f^{(k)} [/mm] in [a|b] mindestens n+1-k verschiedene Nullstellen.

Induktion über die k-te Ableitung.

k=0: stimmt nach Voraussetzung.

[mm] k\mapsto [/mm] k+1:
[mm] f^{(k)} [/mm] habe in [a|b] mindestens n+1-k verschiedene Nullstellen. Diese ordnen wir aufsteigend an als [mm] a_1 Dann gibt es nach dem Satz von Rolle [mm] b_1\in (a_1|a_2),b_2\in (a_2|a_3),... [/mm] (entschuldige die Pünktchen)    [mm] b_{n-k}\in (a_{n-k}|a_{n-k+1}), [/mm] also n-k verschiedene Nullstellen von [mm] f^{(k+1)}. [/mm]



Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de