Ableitungen und Nullstellen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei n [mm] \in \IN. [/mm] Die Funktion f: [a, b] -> [mm] \IR [/mm] sei n-mal differenzierbar. Sei [mm] x_1, [/mm] ..., [mm] x_{n + 1} \in [/mm] [a, b] mit [mm] x_1 [/mm] < ... < [mm] x_{n + 1} [/mm] und [mm] f(x_i) [/mm] = 0 für alle 0 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n + 1. Beweisen Sie, dass es ein [mm] n_0 \in [/mm] (a,b) so gibt, dass [mm] f^{n}(x_0) [/mm] = 0 ist. |
Hallo,
ich habe überlegt, ob hier Induktion der richtige Ansatz ist. Bin aber über den Basis-Fall nicht hinausgekommen.
In welche Richtung muss man denn die Lösung suchen bzw. habt ihr einen zündenden Gedanken?
Danke und Gruß,
Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:13 Mi 09.12.2020 | | Autor: | fred97 |
> Sei n [mm]\in \IN.[/mm] Die Funktion f: [a, b] -> [mm]\IR[/mm] sei n-mal
> differenzierbar. Sei [mm]x_1,[/mm] ..., [mm]x_{n + 1} \in[/mm] [a, b] mit [mm]x_1[/mm]
> < ... < [mm]x_{n + 1}[/mm] und [mm]f(x_i)[/mm] = 0 für alle 0 [mm]\le[/mm] i [mm]\le[/mm] n +
> 1. Beweisen Sie, dass es ein [mm]n_0 \in[/mm] (a,b) so gibt, dass
> [mm]f^{n}(x_0)[/mm] = 0 ist.
> Hallo,
> ich habe überlegt, ob hier Induktion der richtige Ansatz
> ist.
> Bin aber über den Basis-Fall nicht hinausgekommen.
> In welche Richtung muss man denn die Lösung suchen bzw.
> habt ihr einen zündenden Gedanken?
Ja, den hab ich.
Ich mache Dir mal den Fall $n=1$ vor: [mm] $x_1,x_2$ [/mm] seien also Nullstellen von $f$ mit [mm] $x_1
Also [mm] $f(x_2)-f(x_1)=0.$
[/mm]
Mit dem Mittelwertsatz (oder dem Satz von Rolle) folgt, dass ein [mm] $x_0 \in (x_1,x_2) [/mm] ex. mit [mm] $f'(x_0)=0.$
[/mm]
Jetzt der Fall $n=3.$ Wir haben also drei Nullstellen [mm] $x_1,x_2,x_3$ [/mm] von $f$ mit [mm] $x_1
Zwischen [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] hat nun $f'$ eine Nullstelle [mm] z_1 [/mm] (wieder Mittelwertsatz)
Ebenso : zwischen [mm] $x_2$ [/mm] und [mm] $x_3$ [/mm] hat $f'$ eine Nullstelle [mm] z_2.
[/mm]
Nun wende dem Mittelwertsatz auf die Ableitung $f'$ und das Intervall [mm] $[z_1,z_2]$ [/mm] an.
Nun solltest Du sehen, wo der Hase hinläuft.
> Danke und Gruß,
> Martin
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Hallo,
ok, ich habe jetzt einen induktiven Beweis, aber ein kleines Detail stört mich noch:
$n = 1$:
Mit dem Mittelwertsatz existiert ein [mm] $y_1 \in (x_1, x_2)$, [/mm] sodass [mm] $f^{(1)}(y_1) [/mm] = 0$.
$n+1$:
Wir setzen voraus, dass ein [mm] $y_1 \in (x_1, x_{n + 1})$ [/mm] existiert, sodass [mm] $f^{(n)}(y_1) [/mm] = 0$. Ferner, dass ein [mm] $y_2 \in (x_2, x_{n + 2})$ [/mm] existiert, sodass [mm] $f^{(n)}(y_2) [/mm] = 0$. Mit dem Mittelwertsatz folgt nun wieder, dass ein $z [mm] \in (y_1, y_2)$ [/mm] existiert, sodass [mm] $f^{(n+1)}(z) [/mm] = 0$.
Meine Frage hierzu: Könnte man jetzt nicht (berechtigterweise) einwenden, dass ja noch gar nicht [mm] $y_1 \not= y_2$ [/mm] gezeigt wurde? Falls ja, wie kann man das noch zeigen?
Danke und Gruß,
Martin
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> Hallo,
> ok, ich habe jetzt einen induktiven Beweis, aber ein
> kleines Detail stört mich noch:
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> [mm]n = 1[/mm]:
> Mit dem Mittelwertsatz existiert ein [mm]y_1 \in (x_1, x_2)[/mm],
> sodass [mm]f^{(1)}(y_1) = 0[/mm].
>
> [mm]n+1[/mm]:
> Wir setzen voraus, dass ein [mm]y_1 \in (x_1, x_{n + 1})[/mm]
> existiert, sodass [mm]f^{(n)}(y_1) = 0[/mm]. Ferner, dass ein [mm]y_2 \in (x_2, x_{n + 2})[/mm]
> existiert, sodass [mm]f^{(n)}(y_2) = 0[/mm].
Wenn du so argumentierst, hast du Recht. Es gilt aber auch:
f hat n+1 Nullstellen [mm] x_1 [/mm] bis [mm] x_{n+1}.
[/mm]
Dann wissen wir, dass ein [mm]y_1 \in (x_1, x_2)[/mm] existiert, sodass [mm]f^{(1)}(y_1) = 0[/mm],dass ein [mm]y_2 \in (x_2, x_3)[/mm] existiert, sodass [mm]f^{(1)}(y_2) = 0[/mm],dass ein [mm]y_3 \in (x_3, x_4)[/mm] existiert, sodass [mm]f^{(1)}(y_3) = 0[/mm],...dass ein [mm]y_n \in (x_n, x_{n+1})[/mm] existiert, sodass [mm]f^{(1)}(y_n) = 0[/mm].
Somit hat [mm] f^{(1)} [/mm] n Nullstellen. Diese liegen in verschiedenen Intervallen und sind daher voneinander verschieden und ebenfalls, wie die [mm] x_i [/mm] , aufsteigend geordnet.
Auf die [mm] y_i [/mm] lässt sich die selbe Argumentation anwenden, so dass [mm] f^{(2)} [/mm] n-1 entsprechende Nullstellen hat usw. bis [mm] f^{(n)} [/mm] hat eine Nullstelle. Beachte: Ableitungsnummer + Nullstellenzahl ergeben immer n+1. Dabei ist aber die Nullstellenanzahl eine Mindestangabe, denn zwischen 2 Nullstellen können auch mehrere Minima/Maxima liegen und daher die nächste Ableitung über mehr Nullstellen als bewiesen verfügen.
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Der Beweis kann für den Fundamentalsatz der Algebra herangezogen werden: Ein Polynom n-ten Grades kann maximal n Nullstellen haben. Nicht damit zu beweisen ist, dass es (im Komplexen) genau n Nullstellen sind.
Annahme: Ein Polynom n-ten Grades hat (im Intervall [a|b] mindestens) n+1 Nullstellen.
Dann hat nach obigem Beweis die n-te Ableitung (mindestens) eine Nullstelle. Die n-te Ableitung eines Polynoms n-ten Grades ist aber eine Konstante [mm] \ne [/mm] 0. Widerspruch!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:17 Do 10.12.2020 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> ok, ich habe jetzt einen induktiven Beweis, aber ein
> kleines Detail stört mich noch:
>
> [mm]n = 1[/mm]:
> Mit dem Mittelwertsatz existiert ein [mm]y_1 \in (x_1, x_2)[/mm],
> sodass [mm]f^{(1)}(y_1) = 0[/mm].
>
> [mm]n+1[/mm]:
> Wir setzen voraus, dass ein [mm]y_1 \in (x_1, x_{n + 1})[/mm]
> existiert, sodass [mm]f^{(n)}(y_1) = 0[/mm]. Ferner, dass ein [mm]y_2 \in (x_2, x_{n + 2})[/mm]
> existiert, sodass [mm]f^{(n)}(y_2) = 0[/mm]. Mit dem Mittelwertsatz
> folgt nun wieder, dass ein [mm]z \in (y_1, y_2)[/mm] existiert,
> sodass [mm]f^{(n+1)}(z) = 0[/mm].
>
> Meine Frage hierzu: Könnte man jetzt nicht
> (berechtigterweise) einwenden, dass ja noch gar nicht [mm]y_1 \not= y_2[/mm]
> gezeigt wurde? Falls ja, wie kann man das noch zeigen?
Das kannst Du nicht zeigen !
Gruß Fred
>
> Danke und Gruß,
> Martin
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Hallo,
> Das kannst Du nicht zeigen !
Gibt es dann gar keine Möglichkeit, das induktiv zu zeigen? Momentan habe ich dann nur einen Beweis mit Pünktchenschreibweise. Aber das ist angeblich kein sauberer Beweis?
Vielen Dank,
Martin
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Mein Beweis ist ein induktiver. Du musst ihn nur umschreiben:
Beh.: Wenn f n-mal diffbar ist und in [a|b] mindestens n+1 verschiedene Nullstellen hat, so hat [mm] f^{(k)} [/mm] in [a|b] mindestens n+1-k verschiedene Nullstellen.
Induktion über die k-te Ableitung.
k=0: stimmt nach Voraussetzung.
[mm] k\mapsto [/mm] k+1:
[mm] f^{(k)} [/mm] habe in [a|b] mindestens n+1-k verschiedene Nullstellen. Diese ordnen wir aufsteigend an als [mm] a_1
Dann gibt es nach dem Satz von Rolle [mm] b_1\in (a_1|a_2),b_2\in (a_2|a_3),... [/mm] (entschuldige die Pünktchen) [mm] b_{n-k}\in (a_{n-k}|a_{n-k+1}), [/mm] also n-k verschiedene Nullstellen von [mm] f^{(k+1)}.
[/mm]
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