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Ableitungstest: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:00 Mo 29.06.2009
Autor: Nixgut

Aufgabe
Zeige mit dem Ableitungstest: Die Funktion [mm] f:\IR_{>}\to \IR, [/mm] f(x)=x+1/x hat das Minimum2.

Guten Tag ich habe diese Aufgabe gemacht, bin mir aber unsicher ob meine Limes betrachung Richtig ist.

[mm] f'(x)=1-1/x^2 [/mm]

[mm] x^2=1 [/mm]

[mm] x_{1}=1,y=2 [/mm]
[mm] x_{2}=-1,y=-2 [/mm]  

[mm] f''(x)=3/x^3 [/mm]
f''(1)=3>0,Min.
f''(-1)=-3<0,Max.

jetzt wollte ich versuchen eine Limesbetrachung zu machen um zu zeigen das 2 das Globale Min. ist

M(1;2)

[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} x+1/x=\limes_{x\rightarrow\infty} 1-1/x^2=1 [/mm]

[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} x+1/x=-\infty/LimM_{M\to\infty}=-\infty [/mm] mit M>0 [mm] \Rightarrow [/mm] 2 Globales Min.


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Ableitungstest: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:12 Mo 29.06.2009
Autor: Roadrunner

Hallo Nixgut,

[willkommenmr] !!


> [mm]f'(x)=1-1/x^2[/mm]

[ok]

  
> [mm]x^2=1[/mm]
> [mm]x_{1}=1,y=2[/mm]
> [mm]x_{2}=-1,y=-2[/mm]  

[ok] Wobei hier der 2. Wert nicht weiter verfolgt werden muss. Schließlich besteht der Definitionsbereich nur aus den positiven reellen Zahlen.


> [mm]f''(x)=3/x^3[/mm]

[notok]  $f''(x) \ = \ [mm] \bruch{\red{2}}{x^3}$ [/mm]

> f''(1)=3>0,Min.

Prinzipiell richtig.


> f''(-1)=-3<0,Max.

Siehe oben.

  
> jetzt wollte ich versuchen eine Limesbetrachung zu machen
> um zu zeigen das 2 das Globale Min. ist
>  
> M(1;2)
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} x+1/x=\limes_{x\rightarrow\infty} 1-1/x^2=1[/mm]

[notok] Was hast Du hier wie umgeformt? Zumal Dein Ergabnis dann lauten müsste, dass bei [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 1$ kein globales Minimum vorliegt.

Diese Funktion hat als Näherungsfunktion die Gerade $f(x) \ [mm] \approx [/mm] \ g(x) \ = \ x$ .

Wohin strebt diese Näherungsfunktion für große $x_$ ?


Was macht der Grenzwert für [mm] $x\rightarrow 0\downarrow$ [/mm] ?


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
        
Bezug
Ableitungstest: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:27 Di 30.06.2009
Autor: fred97


> Zeige mit dem Ableitungstest: Die Funktion [mm]f:\IR_{>}\to \IR,[/mm]
> f(x)=x+1/x hat das Minimum2.
>  Guten Tag ich habe diese Aufgabe gemacht, bin mir aber
> unsicher ob meine Limes betrachung Richtig ist.
>  
> [mm]f'(x)=1-1/x^2[/mm]
>  
> [mm]x^2=1[/mm]
>  
> [mm]x_{1}=1,y=2[/mm]
> [mm]x_{2}=-1,y=-2[/mm]  
>
> [mm]f''(x)=3/x^3[/mm]
>  f''(1)=3>0,Min.
>  f''(-1)=-3<0,Max.
>  
> jetzt wollte ich versuchen eine Limesbetrachung zu machen
> um zu zeigen das 2 das Globale Min. ist

Für x>0 gilt:


$x+1/x [mm] \ge [/mm] 2 [mm] \gdw x^2+1 \ge [/mm] 2x [mm] \gdw x^2-2x+1 \ge [/mm] 0 [mm] \gdw (x-1)^2 \ge [/mm] 0$

FRED




>  
> M(1;2)
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} x+1/x=\limes_{x\rightarrow\infty} 1-1/x^2=1[/mm]
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} x+1/x=-\infty/LimM_{M\to\infty}=-\infty[/mm]
> mit M>0 [mm]\Rightarrow[/mm] 2 Globales Min.
>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

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