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Hallo!
Im folgenden bezeichne [mm][b][/mm] für ein reelles [mm]b[/mm] die näcstkleinere ganze Zahl (floor).
Es wäre schön, wenn mir ein Zahlentheoretiker bei der folgenden Frage helfen könnte:
Es ist eine Abbildung [mm]F: R^+\to R^+[/mm] gegeben mit der Eigenschaft, dass
[mm]F(b)=[b]+\frac{[b]}{2*F(b)}.[/mm]
Die zugehörige Kettenbruchentwicklung ist [mm]F(b)=[[b],2,[b],2,...] [/mm].
Meine Frage ist nun:
Wieso ist [mm]\limes_{b\rightarrow\infty}F(b)-[b]=1/2[/mm] und wieso ist [mm]F(b)-[b][/mm] monoton wachsend?
Danke!Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
mag sein, dass ich etwas missinterpretiere, aber kann es sein, dass Du die Aufgabenstellung nicht richtig wiedergibst ? Fuer Dein F gilt sicherlich
[mm] F(b)\geq [/mm] b-1 , also insbesondere nicht [mm] \lim_{b\to\infty} F(b)=1\slash [/mm] 2,
und die Funktionsgleichung kann man - als quadr. Gl. - explizit loesen.
Gruss,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 Di 27.12.2005 | | Autor: | hallo12345 |
Ups, danke, ich meine
[mm] \limes_{b\rightarrow\infty} [/mm] F(b)-[b]=1/2
Aber die Frage bleibt...wieso giltdas? Danke!
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Hallo,
also an Deiner Funktionsgleichung scheint sich ja laut Deiner letzten Antwort nichts
geaendert zu haben:
F(b) = [mm] \lfloor b\rfloor [/mm] + [mm] \frac{\lfloor b\rfloor}{2\cdot F(b)}
[/mm]
Stellen wir dies um und betrachten fuer einen Moment mal nur ganzzahlige b, so soll also
fuer diese gelten:
[mm] (F(b))^2 -F(b)\cdot [/mm] b [mm] -\frac{b}{2}=0
[/mm]
und man bekommt
F(b) [mm] =\frac{b}{2} [/mm] + [mm] \sqrt{\frac{b^2}{4}+\frac{1}{2}}
[/mm]
(da F(b) [mm] \geq [/mm] 0 gelten soll).
Also gilt
F(b)-b [mm] =\sqrt{\frac{b^2}{4}+\frac{1}{2}}-\sqrt{\frac{b^2}{4}}
[/mm]
was wohl gegen [mm] \sqrt{1\slash 2} [/mm] konvergiert.
Wenn es dies fuer ganzzahlige Werte tut, so auch für reelle Werte.
Weiterhin sieht man aus der Funktionsgleichung sofort die Monotonie.
Gruss,
Mathias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:31 Mi 28.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathias!
Muss es hier nicht heißen (nach Anwendung der p/q-Formel):
$F(b) \ [mm] =\frac{b}{2} [/mm] + [mm] \sqrt{\frac{b^2}{4}+\frac{\red{b}}{2}}$
[/mm]
Ansonsten komme ich für $F(b)-b_$ auch nicht auf den ganannten Grenzwert von [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:54 Mi 28.12.2005 | | Autor: | mathiash |
Hallo Loddar,
ja natuerlich, [mm] b\slash [/mm] 2 anstelle [mm] 1\slash [/mm] 2 !!!
Aber ist denn dann nicht fuer ganzzahlige b
F(b)-b = [mm] \sqrt{\frac{b^2}{4}+\frac{b}{2}}-\sqrt{\frac{b^2}{4}}=
[/mm]
= [mm] \sqrt{\frac{b^2}{4}\cdot (1+\frac{2}{b})}-\sqrt{\frac{b^2}{4}}
[/mm]
was gegen 0 gehen sollte.
(Oder heisst Dein ''ansonsten'', dass Du trotz der Korrektur nicht auf [mm] \frac{1}{2} [/mm] kommst ?)
Gruss,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:33 Mi 28.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Mathias!
Nein, nein! Nun ist alles okay! Ohne die o.g. Korrektur habe ich den Grenzwert [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] "verfehlt" ...
Mit der Korrektur klappt es wunderbar (Tipp an hallo: Term gemäß 3. binomischer Formel erweitern).
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:51 Mi 28.12.2005 | | Autor: | mathiash |
Mea maxima culpa.
Loddar, Du hast natuerlich recht.
Gruss,
Mathias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:06 Mi 28.12.2005 | | Autor: | hallo12345 |
Dankeschön!
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