www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Abschätzung
Abschätzung < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Abschätzung: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 06:57 Fr 27.11.2020
Autor: sancho1980

Aufgabe
Seien $x, [mm] x_0, [/mm] y, [mm] y_0 \in \mathbb{R}$, [/mm] und sei [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ vorgegeben. Beweisen Sie:

Wenn [mm] $\vert [/mm] x - [mm] x_0 \vert [/mm] < min(1, [mm] \frac{\epsilon}{2(\vert y_0 \vert + 1)})$ [/mm] und [mm] $\vert [/mm] y - [mm] y_0 \vert [/mm] < [mm] \frac{\epsilon}{2(\vert x_0 \vert + 1)}$, [/mm] dann gilt [mm] $\vert [/mm] xy - [mm] x_0 y_0 \vert [/mm] < [mm] \epsilon$. [/mm]

Hallo,

ich versuche mich an dieser Aufgabe indem ich bei [mm] $\vert [/mm] xy - [mm] x_0 y_0 \vert [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] starte und versuche, zu einer wahren Aussage zu kommen. Leider weiß ich irgendwo nicht weiter:

[mm] $\vert [/mm] xy - [mm] x_0 y_0 \vert [/mm] < [mm] \epsilon \Leftrightarrow \vert [/mm] x(y - [mm] y_0) [/mm] + [mm] y_0(x [/mm] - [mm] x_0) \vert [/mm] < [mm] \epsilon \Leftarrow \vert [/mm] x(y - [mm] y_0) \vert [/mm] + [mm] \vert y_0(x [/mm] - [mm] x_0) \vert [/mm] < [mm] \epsilon \Leftrightarrow \vert [/mm] x [mm] \vert \vert [/mm] y - [mm] y_0 \vert [/mm] + [mm] \vert y_0 \vert \vert [/mm] x - [mm] x_0 \vert [/mm] < [mm] \epsilon \Leftarrow \frac{\vert x \vert \epsilon}{2(\vert x_0 \vert + 1)} [/mm] + [mm] \vert y_0 \vert \vert [/mm] x - [mm] x_0 \vert [/mm] < [mm] \epsilon \Leftrightarrow \vert y_0 \vert \vert [/mm] x - [mm] x_0 \vert [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] - [mm] \frac{\vert x \vert \epsilon}{2(\vert x_0 \vert + 1)} \Leftrightarrow \vert y_0 \vert \vert [/mm] x - [mm] x_0 \vert [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] (1 - [mm] \frac{\vert x \vert}{2(\vert x_0 \vert + 1)}) \Leftrightarrow\frac{x - x_0}{1 - \frac{\vert x \vert}{2(\vert x_0 \vert + 1)}} [/mm] < [mm] \frac{\epsilon}{\vert y_0 \vert} \Leftrightarrow \frac{\vert x - x_0 \vert 2(\vert x_0 \vert + 1)}{2(\vert x_0 \vert + 1) - \vert x \vert} [/mm] < [mm] \frac{\epsilon}{\vert y_0 \vert} \Leftrightarrow \frac{\vert x - x_0 \vert (\vert x_0 \vert + 1)}{2(\vert x_0 \vert + 1) - \vert x \vert} [/mm] < [mm] \frac{\epsilon}{2 \vert y_0 \vert}$ [/mm]

Vielen Dank und Gruß,

Martin

        
Bezug
Abschätzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:40 Fr 27.11.2020
Autor: fred97


> Seien [mm]x, x_0, y, y_0 \in \mathbb{R}[/mm], und sei [mm]\epsilon > 0[/mm]
> vorgegeben. Beweisen Sie:
>  
> Wenn [mm]\vert x - x_0 \vert < min(1, \frac{\epsilon}{2(\vert y_0 \vert + 1)})[/mm]
> und [mm]\vert y - y_0 \vert < \frac{\epsilon}{2(\vert x_0 \vert + 1)}[/mm],
> dann gilt [mm]\vert xy - x_0 y_0 \vert < \epsilon[/mm].
>  Hallo,
>  
> ich versuche mich an dieser Aufgabe indem ich bei [mm]\vert xy - x_0 y_0 \vert < \epsilon[/mm]
> starte und versuche, zu einer wahren Aussage zu kommen.

Das ist keine gute Idee !


> Leider weiß ich irgendwo nicht weiter:
>  
> [mm]\vert xy - x_0 y_0 \vert < \epsilon \Leftrightarrow \vert x(y - y_0) + y_0(x - x_0) \vert < \epsilon \Leftarrow \vert x(y - y_0) \vert + \vert y_0(x - x_0) \vert < \epsilon \Leftrightarrow \vert x \vert \vert y - y_0 \vert + \vert y_0 \vert \vert x - x_0 \vert < \epsilon \Leftarrow \frac{\vert x \vert \epsilon}{2(\vert x_0 \vert + 1)} + \vert y_0 \vert \vert x - x_0 \vert < \epsilon \Leftrightarrow \vert y_0 \vert \vert x - x_0 \vert < \epsilon - \frac{\vert x \vert \epsilon}{2(\vert x_0 \vert + 1)} \Leftrightarrow \vert y_0 \vert \vert x - x_0 \vert < \epsilon (1 - \frac{\vert x \vert}{2(\vert x_0 \vert + 1)}) \Leftrightarrow\frac{x - x_0}{1 - \frac{\vert x \vert}{2(\vert x_0 \vert + 1)}} < \frac{\epsilon}{\vert y_0 \vert} \Leftrightarrow \frac{\vert x - x_0 \vert 2(\vert x_0 \vert + 1)}{2(\vert x_0 \vert + 1) - \vert x \vert} < \frac{\epsilon}{\vert y_0 \vert} \Leftrightarrow \frac{\vert x - x_0 \vert (\vert x_0 \vert + 1)}{2(\vert x_0 \vert + 1) - \vert x \vert} < \frac{\epsilon}{2 \vert y_0 \vert}[/mm]
>  
> Vielen Dank und Gruß,
>  
> Martin


1. Schritt: [mm] $|x|=|x-x_0+x_0| \le |x-x_0|+|x_0| <1+|x_0|. [/mm]

Wir merken uns  (1): $|x| [mm] <1+|x_0|.$ [/mm]

2. Schritt:

[mm] $|xy-x_0y_0| =|xy-xy_0+xy_0-x_0y_0| =|x(y-y_0)+y_0(x-x_0)| [/mm] $

Mit der Dreiecksungleichung bekommen wir

(2)  [mm] $|xy-x_0y_0| \le |x||y-y_0|+|y_0||x-x_0|<(1+|x_0|)(|y-y_0|+|y_0||x-x_0|$ [/mm]

Hier wurde (1) verwendet.

Nun ist  

(3)  $ [mm] \vert [/mm] y - [mm] y_0 \vert [/mm] < [mm] \frac{\epsilon}{2(\vert x_0 \vert + 1)} [/mm] $

und  

[mm] $\vert [/mm] x - [mm] x_0 \vert [/mm] < [mm] \frac{\epsilon}{2(\vert y_0 \vert + 1)}) [/mm] $

Die letzte Ungleichung liefert noch

(4) [mm] |x-x_0| <\epsilon/2.$ [/mm]

Setze (3) und (4) in die Ungleichung (2) ein, dann bekommst Du

   $ [mm] \vert [/mm] xy - [mm] x_0 y_0 \vert [/mm] < [mm] \epsilon/2+ \epsilon/2 [/mm] = [mm] \epsilon [/mm] $.




Bezug
                
Bezug
Abschätzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:05 Fr 27.11.2020
Autor: sancho1980

Oh Gott, darauf wär ich nie im Leben gekommen ..

Bezug
                
Bezug
Abschätzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:39 Fr 27.11.2020
Autor: sancho1980

Moment, ich dachte grad ich hätte es, aber sowie ich es gerade sauber aufschreiben will, merke ich Folgendes:

Mit [mm] $\vert [/mm] x - [mm] x_0 \vert [/mm] < min(1, [mm] \frac{\epsilon}{2(\vert y_0 \vert + 1)})$ [/mm] folgt:
1) [mm] $\vert [/mm] x - [mm] x_0 \vert [/mm] < [mm] \frac{\epsilon}{2}$ [/mm]
2) [mm] $\vert [/mm] x [mm] \vert [/mm] = [mm] \vert [/mm] x - [mm] x_0 [/mm] + [mm] x_0 \vert \le \vert [/mm] x - [mm] x_0 \vert [/mm] + [mm] \vert x_0 \vert [/mm] < 1 + [mm] \vert x_0 \vert$ [/mm]

Damit folgt:

[mm] $\vert [/mm] xy - [mm] x_0 y_0 \vert [/mm] = [mm] \vert [/mm] xy - x [mm] y_0 [/mm] + x [mm] y_0 [/mm] - [mm] x_0 y_0 \vert [/mm] = [mm] \vert [/mm] x(y - [mm] y_0) [/mm] + [mm] y_0(x [/mm] - [mm] x_0) \vert \le \vert [/mm] x [mm] \vert \vert [/mm] y - [mm] y_0 \vert [/mm] + [mm] \vert y_0 \vert \vert [/mm] x - [mm] x_0 \vert [/mm] < (1 + [mm] \vert x_0 \vert) \vert [/mm] y - [mm] y_0 \vert [/mm] + [mm] \vert y_0 \vert \vert [/mm] x - [mm] x_0 \vert [/mm] < (1 + [mm] \vert x_0 \vert)(\frac{\epsilon}{2(\vert x_0 \vert + 1)}) [/mm] + [mm] \vert y_0 \vert (\frac{\epsilon}{2})$. [/mm]

Wie bekomme ich denn jetzt das [mm] $\vert y_0 \vert$ [/mm] noch weg?

Bezug
                        
Bezug
Abschätzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:55 Sa 28.11.2020
Autor: tobit09

Hallo Martin!

Schön, dass du die Aufgabe selbst lösen möchtest! [ok]

> Mit [mm]\vert x - x_0 \vert < min(1, \frac{\epsilon}{2(\vert y_0 \vert + 1)})[/mm]
> folgt:
>  1) [mm]\vert x - x_0 \vert < \frac{\epsilon}{2}[/mm]
>  2) [mm]\vert x \vert = \vert x - x_0 + x_0 \vert \le \vert x - x_0 \vert + \vert x_0 \vert < 1 + \vert x_0 \vert[/mm]

Ja.

> Damit folgt:
>  
> [mm]\vert xy - x_0 y_0 \vert = \vert xy - x y_0 + x y_0 - x_0 y_0 \vert = \vert x(y - y_0) + y_0(x - x_0) \vert \le \vert x \vert \vert y - y_0 \vert + \vert y_0 \vert \vert x - x_0 \vert < (1 + \vert x_0 \vert) \vert y - y_0 \vert + \vert y_0 \vert \vert x - x_0 \vert < (1 + \vert x_0 \vert)(\frac{\epsilon}{2(\vert x_0 \vert + 1)}) + \vert y_0 \vert (\frac{\epsilon}{2})[/mm].

Ja.

> Wie bekomme ich denn jetzt das [mm]\vert y_0 \vert[/mm] noch weg?

Leider gar nicht, denn [mm] $|y_0|$ [/mm] kann ja durchaus "groß" sein.
Du hast zu grob abgeschätzt und aus der Voraussetzung [mm] $|x-x_0|<\frac{\epsilon}{2(|y_0|+1)}$ [/mm] nur [mm] $|x-x_0|<\frac{\epsilon}{2}$ [/mm] entnommen.
Wenn du in deiner letzten Gleichungskette [mm] $|x-x_0|<\frac{\epsilon}{2(|y_0|+1)}$ [/mm] statt [mm] $|x-x_0|<\frac{\epsilon}{2}$ [/mm] nutzt, solltest du zum Ziel kommen! :-)

Deine Ungleichungskette ist übrigens sehr viel schöner aufgeschrieben als deine Umformungen aus dem Startpost! [ok]

Viele Grüße
Tobias

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de