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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:43 Mo 18.04.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | | Schätzen Sie die Anzahl Stellen von 100! nach oben bzw. unten ab, so dass zwischen den beiden Schätzwerten eine Differenz von höchstens 50 Stellen liegt. |
Hi Leute!
Was macht man da? Muss ich da irgendwie den binomischen Lehrsatz anwenden? Könnt ihr mir da ein bisschen draufhelfen?
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> Schätzen Sie die Anzahl Stellen von 100! nach oben bzw.
> unten ab, so dass zwischen den beiden Schätzwerten eine
> Differenz von höchstens 50 Stellen liegt.
> Hi Leute!
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> Was macht man da? Muss ich da irgendwie den binomischen
> Lehrsatz anwenden? Könnt ihr mir da ein bisschen
> draufhelfen?
Hallo bandchef,
ich verstehe nicht so recht, weshalb da eine so große
Differenz zugelassen werden soll.
Es kommt wohl sehr darauf an, was als Rechenhilfs-
mittel zugelassen sein soll. Mit einem Taschenrechner,
der eine Logarithmusfunktion anbietet, kann man die
Anzahl der Stellen nämlich exakt bestimmen.
Auch wenn man ohne Taschenrechner auskommen soll,
bleibt immer noch die Frage, welche (auch theoretischen)
Hilfsmittel dann zugelassen sein sollen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Mo 18.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Nebenrechnung bis 8 Stellen sind zugelassen...
Hab ich vergessen.
Wie gesagt ich verstehe hier nicht wie ich vorgehen soll!
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Hallo bandchef,
ich vermute, dass ich der Idee des Aufgabenstellers
so ziemlich exakt auf die Spur gekommen bin.
Es ist ja
$\ S\ =\ log(100!)\ =\ [mm] log(1)+log(2)+log(3)+\,...\,+log(100)$
[/mm]
Unterteile die Summe in 4 Gruppen:
$\ [mm] S_1\ [/mm] =\ log(1)+log(2)+log(3)$
$\ [mm] S_2\ [/mm] =\ [mm] log(4)+log(5)+log(6)+\,...\,+log(10)$
[/mm]
$\ [mm] S_3\ [/mm] =\ [mm] log(11)+log(12)+log(13)+\,...\,+log(31)$
[/mm]
$\ [mm] S_4\ [/mm] =\ [mm] log(32)+log(33)+log(34)+\,...\,+log(100)$
[/mm]
Benütze nun die Eigenschaft, dass z.B. jeder einzelne
Summand in der Summe [mm] S_3 [/mm] zwischen 1 und 1.5 liegt
(warum ?). Analoge Ungleichungen gelten auch für die
anderen Summen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Di 19.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Hm, also ich hab da jetzt mal deine Antwort auf einem Zettel durchgedacht und muss sagen, dass ich da grad nicht verstehe wie das die Lösung auf die Aufgabe sein soll. Ich soll ja eine Abschätzung angeben. Eine Abschätzung bedeutet doch, dass ich den Wert für 100! Fakultät nicht genau angeben soll, sondern eben auf eine gewisse Genauigkeit abgeschätzt. Da 100! Fakultät eine in der Tat riesige Zahl ist, muss ich da dann doch wohl irgendwie auf die Potenzschreibweise ausweichen, oder? Nur wie kann ich da ohne TR auf so eine Zahl kommen, zumal die meisten TR da eh versagen würden!
Irgendwie verstehe ich das wirklich überhaupt nicht.
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> Hm, also ich hab da jetzt mal deine Antwort auf einem
> Zettel durchgedacht und muss sagen, dass ich da grad nicht
> verstehe wie das die Lösung auf die Aufgabe sein soll. Ich
> soll ja eine Abschätzung angeben. Eine Abschätzung
> bedeutet doch, dass ich den Wert für 100! Fakultät nicht
> genau angeben soll, sondern eben auf eine gewisse
> Genauigkeit abgeschätzt. Da 100! Fakultät eine in der Tat
> riesige Zahl ist, muss ich da dann doch wohl irgendwie auf
> die Potenzschreibweise ausweichen, oder? Nur wie kann ich
> da ohne TR auf so eine Zahl kommen, zumal die meisten TR da
> eh versagen würden!
>
> Irgendwie verstehe ich das wirklich überhaupt nicht.
Hallo,
ich meine, dass ich den Weg schon recht deutlich
vorgezeichnet habe:
$ \ S\ =\ log(100!)\ =\ [mm] log(1)+log(2)+log(3)+\,...\,+log(100) [/mm] $
Unterteile die Summe in 4 Gruppen:
$ \ [mm] S_1\ [/mm] =\ log(1)+log(2)+log(3) $
$ \ [mm] S_2\ [/mm] =\ [mm] log(4)+log(5)+log(6)+\,...\,+log(10) [/mm] $
$ \ [mm] S_3\ [/mm] =\ [mm] log(11)+log(12)+log(13)+\,...\,+log(31) [/mm] $
$ \ [mm] S_4\ [/mm] =\ [mm] log(32)+log(33)+log(34)+\,...\,+log(100) [/mm] $
Benütze nun die Eigenschaft, dass z.B. jeder einzelne
Summand in der Summe $ [mm] S_3 [/mm] $ zwischen 1 und 1.5 liegt
(warum ?). Analoge Ungleichungen gelten auch für die
anderen Summen.
(1.) Jeder einzelne Summand in [mm] S_3 [/mm] ist kleiner als 1.5 (warum ?).
(2.) Aus wie vielen Summanden besteht [mm] S_3 [/mm] ?
Was kann man aus (1.) und (2.) für den Summenwert von [mm] S_3
[/mm]
schließen ?
Dies ergibt eine obere Abschätzung für [mm] S_3.
[/mm]
Und jetzt machst du für [mm] S_3 [/mm] analog auch eine Abschätzung
nach unten - und dann jeweils beides für jede andere der
Teilsummen, und dann für die gesamte Summe S !
LG
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