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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 Mo 05.09.2011 | | Autor: | Fry |
Hallo !
Hab in nem Skript die Abschätzung
[mm] $a^k*exp(-k*\ln(1-\bruch{1}{\wurzel{2k}})+0,5*\wurzel{2k})
[/mm]
[mm] \le C*e^{\wurzel{2k}}a^k$
[/mm]
gefunden (wobei [mm]a,C>0[/mm] konstant und [mm] k\in\IN [/mm] ist).
Kann mir nicht erklären,warum dies so seien soll, da [mm]e^{-k*\ln(1-\bruch{1}{\wurzel{2k}})[/mm][mm] $\to\infty$
[/mm]
Versteht jemand die Abschätzung?
LG
Fry
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Moin Fry,
> Hab in nem Skript die Abschätzung
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> [mm]$a^k*exp(-k*\ln(1-\bruch{1}{\wurzel{2k}})+0,5*\wurzel{2k})[/mm]
> [mm]\le C*e^{\wurzel{2k}}a^k$[/mm]
>
> gefunden (wobei [mm]a,C>0[/mm] konstant und [mm]k\in\IN[/mm] ist).
> Kann mir nicht erklären,warum dies so seien soll, da
> [mm]e^{-k*\ln(1-\bruch{1}{\wurzel{2k}})[/mm][mm]\to\infty[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") für [mm] k\to\infty
[/mm]
> Versteht jemand die Abschätzung?
Ich vermute, der Fehler liegt darin, überhaupt eine Grenzwertbetrachtung zu machen. Es steht nur da, dass die Aussage für ein bestimmtes k gelten soll und da ist die Existens eines C klar, da beide Seite positiv sind. Für alle k gilt die Aussage sicher nicht.
Kann das sein?
LG
> Fry
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Di 20.09.2011 | | Autor: | Fry |
Danke für deine Antwort!
Mmmm, im Satz selber steht,dass es sich um eine von k unabhängige Konstante handeln soll.
LG
Fry
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In der Ungleichung kommt es auf den positiven Faktor [mm]a^k[/mm] gar nicht an. Er kann herausgekürzt werden. Dividiert man die Ungleichung also durch [mm]\operatorname{e}^{\sqrt{2k}}[/mm], so bleibt die Existenz einer positiven Konstanten [mm]C[/mm] zu zeigen mit
[mm]\exp \left(-k \cdot \ln \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2k}} \right) - \frac{1}{2} \sqrt{2k} \right) \leq C[/mm]
Setzt man [mm]t = \frac{1}{\sqrt{2k}}[/mm], so gilt [mm]t \to 0[/mm] für [mm]k \to \infty[/mm], und das Argument der Exponentialfunktion schreibt sich so:
[mm]-k \cdot \ln \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2k}} \right) - \frac{1}{2} \sqrt{2k} = - \frac{1}{2t^2} \ln (1-t) - \frac{1}{2t}[/mm]
Mit der Taylorreihe für [mm]\ln (1-t)[/mm] kann der Term weiter umgeformt werden:
[mm]- \frac{1}{2t^2} \left( -t - \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3} - \ldots \right) - \frac{1}{2t} = \frac{1}{4} + \frac{t}{6} + \ldots \to \frac{1}{4} \ \ \mbox{für} \ \ t \to 0[/mm]
Dies zeigt:
[mm]\exp \left(-k \cdot \ln \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2k}} \right) - \frac{1}{2} \sqrt{2k} \right) \to \exp \left( \frac{1}{4} \right) \ \ \mbox{für} \ \ k \to \infty[/mm]
Insbesondere bleibt der Ausdruck beschränkt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:35 Sa 24.09.2011 | | Autor: | Fry |
Vielen Dank euch beiden!
Habt mir sehr geholfen.
LG
Fry
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