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Abschätzung Kreisfunktionen: Verhältnis Sinus und Cosinus
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:39 So 19.08.2018
Autor: sancho1980

Hallo!

Kann mir einer geschwind erklären, wieso folgende Abschätzung gilt:

x [mm] \le [/mm] sin(x) - cos(x) + 1 für x [mm] \le \bruch{\pi}{2} [/mm]

Kann man angeblich am Einheitskreis sehen. Ist für mich aber nicht ersichtlich.
Kann mir das einer erklären?

        
Bezug
Abschätzung Kreisfunktionen: Zeichnen !
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:02 So 19.08.2018
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo!
>  
> Kann mir einer geschwind erklären, wieso folgende
> Abschätzung gilt:
>  
> x [mm]\le[/mm] sin(x) - cos(x) + 1 für x [mm]\le \bruch{\pi}{2}[/mm]
>  
> Kann man angeblich am Einheitskreis sehen. Ist für mich
> aber nicht ersichtlich.
>  Kann mir das einer erklären?


Hallo sancho1980

Zeichne dir im Einheitskreis im Koordinatensystem den
spitzen Winkel x als Zentriwinkel beim Nullpunkt O.
Betrachte den zugehörigen Kreissektor OAB (A auf der
horizontalen Achse, B im ersten Quadranten auf dem
Einheitskreis) und das rechtwinklige Dreieck OCB,
wobei C der Fußpunkt des von B auf die horizontale
Achse OA des Koordinatensystems gefällten Lotes ist.
Dann ist die Bogenlänge AB gleich x , und ferner:
Strecke |CB| = sin(x) , |OC| = cos(x) , |CA| = 1-cos(x)

Nun bleibt noch zu zeigen, dass die Länge des Bogens
AB kleiner als die Summe der Strecken  |CB| + |CA|
sein muss. Lass dir also dazu noch etwas einfallen !

LG ,   Al-Chwarizmi



Bezug
                
Bezug
Abschätzung Kreisfunktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:38 So 19.08.2018
Autor: sancho1980

Hmmm, wenn ich mir den Bogen als Faden vorstelle, dann müsste er bei Gleichheit lang genug sein, um mit ihm die Punkte BCA zu einem Rechteck zu erweitern. Das wird ganz gewiss nur bei x = 0 der Fall sein. Das leuchtet irgendwie ein. Aber eine bessere Erklärung fällt mir nicht ein. Das geht doch sicher eleganter oder?

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Bezug
Abschätzung Kreisfunktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:30 Mo 20.08.2018
Autor: Al-Chwarizmi


> Hmmm, wenn ich mir den Bogen als Faden vorstelle, dann
> müsste er bei Gleichheit lang genug sein, um mit ihm die
> Punkte BCA zu einem Rechteck zu erweitern. Das wird ganz
> gewiss nur bei x = 0 der Fall sein.

Das ist doch mal nicht schlecht. Offenbar hast du so
wirklich "gesehen", dass der Bogen x (falls x>0) kürzer
sein muss als die Streckensumme (sin x) + (1 - cos x).
Und im Grenzfall mit x=0 gilt natürlich Gleichheit.

In deiner ursprünglichen Frage hast du auch nur geschrieben:  

"Kann man angeblich am Einheitskreis sehen."

> Aber eine bessere Erklärung fällt mir nicht ein. Das
> geht doch sicher eleganter oder?

Ginge es nicht um die Bogenlänge x, sondern um die der
Sehne AB, so wäre man mit der Dreiecksungleichung
sofort am Ziel. (Hypotenuse ist kürzer als die Summe der
Katheten)
Nun ist der Bogen doch minimal länger als diese Hypotenuse,
weshalb die Überlegung mit der Dreiecksungleichung nicht
ganz hinreicht.
Soll die Abschätzung dann absolut wasserdicht sein, so
ist doch noch ein weiterer Schritt erforderlich, und damit
ist das Ganze dann wohl kaum noch einfacher als eine
analytische Betrachtung, wie etwa von fred vorgeschlagen.

LG ,   Al-Chwarizmi






Bezug
                        
Bezug
Abschätzung Kreisfunktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:52 Mo 20.08.2018
Autor: Al-Chwarizmi

Noch ein kleiner Tipp zur Anschauung:

      [Dateianhang nicht öffentlich]

Anstatt den Streckenzug BCA zum Rechteck zu ergänzen
(in der Zeichnung gestrichelt angedeutet) könntest du
auch den Bogen AB (der Länge x) an der Sehne AB spiegeln,
um den blau dargestellten Bogen zu erhalten.
Vergleiche nun die Länge dieses Bogens mit der Summe
s + (1-c)  der beiden Katheten  BC und CA  !

LG ,   Al-Chwarizmi



Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                                
Bezug
Abschätzung Kreisfunktionen: elementargeometr. Hilfssatz
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:29 Mo 20.08.2018
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo an alle, die bis hier gefolgt sind:

Um den kleinen Schritt, den man bisher noch "sehen" muss,
auf sichere Füße zu stellen, könnte man sich vornehmen, den
folgenden kleinen elementargeometrischen Satz zu beweisen:

Sei k ein Kreis in der Ebene, A und B zwei Punkte auf ihm,
s die Länge des (kürzeren) Kreisbogens zwischen A und B
und P ein (außerhalb des Kreises liegender) Punkt mit der
Eigenschaft, dass der gesamte Streckenzug APB mit Ausnahme
der Punkte A und B außerhalb von k liegt.
Dann ist die Länge des Streckenzuges APB länger als s.


Wer liefert dazu den "elegantesten" Beweis ?

LG ,  Al-Chw.

Bezug
                                        
Bezug
Abschätzung Kreisfunktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:01 Mi 22.08.2018
Autor: Al-Chwarizmi

Anstelle des Satzes, den ich im obigen Beitrag aufgestellt
habe, könnte man auch einen deutlich allgemeiner
gefassten und mehr im Sinne der Analysis formulierten
Satz betrachten:

f und g seien zwei stetige, auf einem Intervall [a,b] definierte
reelle Funktionen. Ferner gelte:

1.)  f sei auf [a,b] (schwach) konkav
2.)  f(a) = g(a) , f(b) = g(b)
3.)  g(x) [mm] $\ge$ [/mm] f(x)  für alle  x [mm] \in [/mm] [a,b]

Dann ist die Länge des Graphen von g mindestens
so groß wie die desjenigen von f, also:

[mm] $\integral_a^b \sqrt{1+g'(x)^2\,}\,dx\ \ge\ \integral_a^b \sqrt{1+f'(x)^2\,}\,dx$ [/mm]

Bezug
        
Bezug
Abschätzung Kreisfunktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:57 Mo 20.08.2018
Autor: fred97

Falls Du an einer analytischen Lösung interessiert bist: wir setzen

   [mm] $f(x)=\sin [/mm] x - [mm] \cos [/mm] x +1-x$   für $x [mm] \in [/mm] I:=[0, [mm] \frac{\pi}{2}]$. [/mm]

Dann ist [mm] $f'(x)=\cos [/mm] x+ [mm] \sin [/mm] x -1$.

Wir sehen: [mm] $f'(0)=f'(\frac{\pi}{2})=0$ [/mm] und

     (*)   [mm] $f'(\frac{\pi}{4})=\sqrt{2}-1>0$. [/mm]

Nun nehmen wir an, dass f' eine Nullstelle [mm] x_0 \in [/mm] (0, [mm] \frac{\pi}{2}) [/mm] hat. Nach dem Satz von Rolle gibt es dann Punkte [mm] $x_1 \in (0,x_0)$ [/mm] und [mm] $x_2 \in (x_0, \frac{\pi}{2}) [/mm] mit

    [mm] $f''(x_1)=f''(x_2)=0$. [/mm]

Nun ist $f''(x)= [mm] \cos [/mm] x- [mm] \sin [/mm] x$, also $ [mm] \sin x_1= \cos x_1$. [/mm] Da [mm] $x_1 \in [/mm] I$ ist, folgt [mm] $x_1=\frac{\pi}{4}$. [/mm]

Genauso folgt [mm] $x_2= \frac{\pi}{4}$. [/mm] Das ist aber ein Widerspruch, denn [mm] $x_1
Fazit: $f'$ hat in $I$ genau die Nullstellen $0$ und [mm] $\frac{\pi}{2}$. [/mm] Wegen (*) und dem Zwischenwertsatz ist also $f' [mm] \ge [/mm] 0$ auf $I$ und damit ist $f$ auf $I$ wachsend.

Weiteres Fazit: $0 =f(0) [mm] \le [/mm] f(x)$ für alle $x [mm] \in [/mm] I$

Damit ist die Ungleichung gezeigt.

Bezug
                
Bezug
Abschätzung Kreisfunktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:50 Mo 20.08.2018
Autor: sancho1980

Überzeugt!

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