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Abschätzung Restglied: Herleitung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:01 Do 11.10.2018
Autor: sancho1980

Aufgabe
Sei f : D [mm] \to \IR [/mm] eine (n + 1)-mal differenzierbare Funktion und [mm] T_n [/mm] das Taylorpolynom mit Entwicklungspunkt [mm] x_0. [/mm] Dann gilt für den Fehler:

[mm] |R_n(x)| [/mm] = |f(x) - [mm] T_n(x)| \le \bruch{C}{(n + 1)!}|x [/mm] - [mm] x_0|^{n + 1}, [/mm]

wobei C eine obere Schranke von [mm] |f^{(n+1)}(x)| [/mm] in D ist.

Habe hier wieder mal einen Satz, der in meinem Lehrbuch einfach so dasteht, ohne Herleitung, warum er Gültigkeit hat. Leider leuchtet mir seine Gültigkeit nicht ein.
Kann mir einer auf die Sprünge helfen?

        
Bezug
Abschätzung Restglied: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:32 Do 11.10.2018
Autor: fred97


> Sei f : D [mm]\to \IR[/mm] eine (n + 1)-mal differenzierbare
> Funktion und [mm]T_n[/mm] das Taylorpolynom mit Entwicklungspunkt
> [mm]x_0.[/mm] Dann gilt für den Fehler:
>  
> [mm]|R_n(x)|[/mm] = |f(x) - [mm]T_n(x)| \le \bruch{C}{(n + 1)!}|x[/mm] -
> [mm]x_0|^{n + 1},[/mm]
>  
> wobei C eine obere Schranke von [mm]|f^{(n+1)}(x)|[/mm] in D ist.
>  Habe hier wieder mal einen Satz, der in meinem Lehrbuch
> einfach so dasteht, ohne Herleitung, warum er Gültigkeit
> hat. Leider leuchtet mir seine Gültigkeit nicht ein.
>  Kann mir einer auf die Sprünge helfen?

Ihr hattet  doch sicher  eine Darstellung für das Restglied [mm] R_n [/mm] (Satz von  Taylor! ).

Mit der Schranke C folgt dann obige  Abschätzung  sofort.


Bezug
                
Bezug
Abschätzung Restglied: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:03 Do 11.10.2018
Autor: sancho1980

Was genau meinst du mit eine "Darstellung vom Restglied". Wie das Restglied definiert ist, steht ja da. Ich versteh auch was ein Taylorpolynom ist; was du jetzt konkret mit dem "Satz von Taylor" meinst allerdings nicht.
Nein, ich verstehe nicht, wie diese Abschätzung sofort folgt.
Wenn ich ein Bisschen umforme, dann lande ich bei:

[mm] |\bruch{f^{m + 1}(x_0)}{(m + 1)!}(x [/mm] - [mm] x_0)^0 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \bruch{f^{n}(x_0)}{n!}(x [/mm] - [mm] x_0)^{n - m - 1}| \le \bruch{C}{(m + 1)!}, [/mm]

wobei m für den Grad des Taylorpolynoms und n quasi für [mm] \infty [/mm] steht.

Hierüber kratz ich mir grad den Kopf, aber irgendwie leuchtet mir das auch nicht ganz ein ...

Bezug
                        
Bezug
Abschätzung Restglied: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:43 Do 11.10.2018
Autor: fred97


> Was genau meinst du mit eine "Darstellung vom Restglied".


Das:

[mm] R_n [/mm] (x)= [mm] \frac {1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(t)(x-x_0)^{n+1}, [/mm] wobei t zwischen  x und [mm] x_0 [/mm]  ist.

Hast Du das noch nie gesehen?




> Wie das Restglied definiert ist, steht ja da. Ich versteh
> auch was ein Taylorpolynom ist; was du jetzt konkret mit
> dem "Satz von Taylor" meinst allerdings nicht.
>  Nein, ich verstehe nicht, wie diese Abschätzung sofort
> folgt.
>  Wenn ich ein Bisschen umforme, dann lande ich bei:
>  
> [mm]|\bruch{f^{m + 1}(x_0)}{(m + 1)!}(x[/mm] - [mm]x_0)^0[/mm] + [mm]\ldots[/mm] +
> [mm]\bruch{f^{n}(x_0)}{n!}(x[/mm] - [mm]x_0)^{n - m - 1}| \le \bruch{C}{(m + 1)!},[/mm]
>  
> wobei m für den Grad des Taylorpolynoms und n quasi für
> [mm]\infty[/mm] steht.
>  
> Hierüber kratz ich mir grad den Kopf, aber irgendwie
> leuchtet mir das auch nicht ganz ein ...


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Bezug
Abschätzung Restglied: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:37 Fr 12.10.2018
Autor: sancho1980


> > Was genau meinst du mit eine "Darstellung vom Restglied".
>
>
> Das:
>  
> [mm]R_n[/mm] (x)= [mm]\frac {1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(t)(x-x_0)^{n+1},[/mm] wobei
> t zwischen  x und [mm]x_0[/mm]  ist.
>  
> Hast Du das noch nie gesehen?

Richtig, habe ich noch nie gesehen.
In meinem Buch wird einfach das Restglied "vorgestellt" und folgendermaßen definiert:

[mm] R_n(x) [/mm] = f(x) - [mm] T_n(x) [/mm]

Und gleich darauf wird die Abschätzung mit dem Satz angeführt.
Dann gibt es noch das Beispiel

sin(x) = x - [mm] \bruch{x^3}{6} [/mm] + [mm] R_3(x) [/mm]

Und dann wird einfach gesagt, dass

[mm] |R_3(x)| \le \bruch{1}{4!}|x|^4 [/mm] = [mm] \bruch{1}{24!}|x|^4 [/mm]

weil das Maximum von [mm] |f^4(x)| [/mm] = |sin(x)| auf D = [mm] \IR [/mm] gleich C = 1 ist.

Deine Darstellung kann ich auch in den folgenden Seiten nirgendwo finden.

Bezug
                                        
Bezug
Abschätzung Restglied: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:23 Fr 12.10.2018
Autor: fred97


> > > Was genau meinst du mit eine "Darstellung vom Restglied".
> >
> >
> > Das:
>  >  
> > [mm]R_n[/mm] (x)= [mm]\frac {1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(t)(x-x_0)^{n+1},[/mm] wobei
> > t zwischen  x und [mm]x_0[/mm]  ist.
>  >  
> > Hast Du das noch nie gesehen?
>
> Richtig, habe ich noch nie gesehen.

Ups !


>  In meinem Buch wird einfach das Restglied "vorgestellt"
> und folgendermaßen definiert:
>  
> [mm]R_n(x)[/mm] = f(x) - [mm]T_n(x)[/mm]


Um welches Buch handelt es dich ?


>  
> Und gleich darauf wird die Abschätzung mit dem Satz
> angeführt.
>  Dann gibt es noch das Beispiel
>  
> sin(x) = x - [mm]\bruch{x^3}{6}[/mm] + [mm]R_3(x)[/mm]
>  
> Und dann wird einfach gesagt, dass
>  
> [mm]|R_3(x)| \le \bruch{1}{4!}|x|^4[/mm] = [mm]\bruch{1}{24!}|x|^4[/mm]
>  
> weil das Maximum von [mm]|f^4(x)|[/mm] = |sin(x)| auf D = [mm]\IR[/mm] gleich
> C = 1 ist.
>  
> Deine Darstellung kann ich auch in den folgenden Seiten
> nirgendwo finden.


Bezug
                                                
Bezug
Abschätzung Restglied: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:12 Fr 12.10.2018
Autor: sancho1980

"Mathematik für Informatiker, Band 2: Analysis und Statistik" (Autoren: Teschl, Gerald, Teschl, Susanne)

Bezug
                                                        
Bezug
Abschätzung Restglied: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:24 Fr 12.10.2018
Autor: fred97


> "Mathematik für Informatiker, Band 2: Analysis und
> Statistik" (Autoren: Teschl, Gerald, Teschl, Susanne)

Ich hab da mal reingeschaut. Tatsächlich in Satz 20.4 findet man die Abschätzung ohne Beweis.

Wenn Du an einem Beweis interessiert bist, so bleibt Dir nichts anderes übrig, als in einem Analysis-Buch den Satz von Taylor zu suchen, samt Beweis.


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Bezug
Abschätzung Restglied: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:28 Fr 12.10.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

solche Bücher mag ich ja…

Also: Man kann zeigen, dass gilt:

[mm] $R_{n} [/mm] (x) = [mm] \int_{x_0}^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) \,\mathrm{d}t$ [/mm] (ein überschaubarer Beweis siehe z.B. []hier).

Ist [mm] $f^{n+1}$ [/mm] nun durch C beschränkt, folgt sofort:
[mm] $|R_n(x)| \le \frac{C}{n!} \int_{x_0}^x |x-t|^n \,\mathrm{d}t$ [/mm] = [mm] \frac{C}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}$ [/mm]

Gruß,
Gono

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Abschätzung Restglied: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:54 Mo 22.10.2018
Autor: sancho1980

Hallo

das gehört irgendwie noch hierher, deswegen mach ich mal keinen separaten Beitrag auf. In diesem Zusammenhang heißt es weiter (etwas längeres Zitat wegen Kontext):

"Manchmal notiert man den Fehlerterm auch in der Schreibweise

f(x) = [mm] T_n(x) [/mm] + O(x - [mm] x_0)^{n+1} [/mm]

So ist auf den ersten Blick klar, dass approximiert wurde und bei welchem Term abgebrochen wurde. Dabei ist O das Landausymbol. Allgemein schreibt man f(x) = [mm] O_{x_0}(g(x)), [/mm] falls es Konstanten C und a gibt, sodass |f(x)| [mm] \le [/mm] C|g(x)| für alle x [mm] \in [x_0 [/mm] - a, [mm] x_0 [/mm] + a]. Man sagt, f ist von der Ordnung g bei [mm] x_0." [/mm]

Es geht mir um den letzten Satz. Mir ist unklar, welche Aussagekraft es hat, wenn man sagt, eine Funktion f sei von der Ordnung g bei [mm] x_0. [/mm] Warum? Ist nach der Definition nicht praktisch jede beliebige Funktion f von der Ordnung jeder beliebigen g bei jeder beliebigen Stelle [mm] x_0: [/mm]

a := 0
C := [mm] f(x_0) \bruch{1}{g(x_0)} [/mm]

Hab mich gefragt, ob es vielleicht daran liegt, dass a = 0 nicht zulässig ist, was ja nicht explizit dasteht (weil dann [mm] [x_0 [/mm] - a, [mm] x_0 [/mm] + a] ja auch kein Intervall mehr wäre?), aber auch dann ist mir nicht wirklich ganz klar, was dieser Satz bedeuten soll.

Also offensichtlich ist f(x) = 0 von der Ordnung jeder beliebigen Funktion g(x) an jeder beliebigen Stelle. Wähle ich f(x) = [mm] x^2, [/mm] dann wäre f(x) von der Ordnung g(x) = x bei [mm] x_0 [/mm] = 0 (C := 1, a := 1), nicht aber bei [mm] x_0 [/mm] = 1, oder? Aber was soll das bedeuten? Mir ist auch nicht ganz klar, was das mit dem Restglied zu tun hat.

Hat mir einer mal konkrete (sinnvolle) Beispiele? Der Satz steht leider ziemlich einsam da.

Bezug
                                                        
Bezug
Abschätzung Restglied: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:49 Di 23.10.2018
Autor: fred97


> Hallo
>  
> das gehört irgendwie noch hierher, deswegen mach ich mal
> keinen separaten Beitrag auf. In diesem Zusammenhang heißt
> es weiter (etwas längeres Zitat wegen Kontext):
>  
> "Manchmal notiert man den Fehlerterm auch in der
> Schreibweise
>  
> f(x) = [mm]T_n(x)[/mm] + O(x - [mm]x_0)^{n+1}[/mm]
>  
> So ist auf den ersten Blick klar, dass approximiert wurde
> und bei welchem Term abgebrochen wurde. Dabei ist O das
> Landausymbol. Allgemein schreibt man f(x) = [mm]O_{x_0}(g(x)),[/mm]
> falls es Konstanten C und a gibt, sodass |f(x)| [mm]\le[/mm] C|g(x)|
> für alle x [mm]\in [x_0[/mm] - a, [mm]x_0[/mm] + a]. Man sagt, f ist von der
> Ordnung g bei [mm]x_0."[/mm]
>  
> Es geht mir um den letzten Satz. Mir ist unklar, welche
> Aussagekraft es hat, wenn man sagt, eine Funktion f sei von
> der Ordnung g bei [mm]x_0.[/mm] Warum? Ist nach der Definition nicht
> praktisch jede beliebige Funktion f von der Ordnung jeder
> beliebigen g bei jeder beliebigen Stelle [mm]x_0:[/mm]
>  
> a := 0
>  C := [mm]f(x_0) \bruch{1}{g(x_0)}[/mm]
>  
> Hab mich gefragt, ob es vielleicht daran liegt, dass a = 0
> nicht zulässig ist, was ja nicht explizit dasteht (weil
> dann [mm][x_0[/mm] - a, [mm]x_0[/mm] + a] ja auch kein Intervall mehr
> wäre?), aber auch dann ist mir nicht wirklich ganz klar,
> was dieser Satz bedeuten soll.

O.K., Dein Buch ist schlampig, wenn da nicht steht $a>0$.

Mit $f(x) =  [mm] O_{x_0}(g(x)) [/mm] $ vergleicht man das Verhalten von f und g "in der Nähe" von [mm] x_0. [/mm]

$f(x) =  [mm] O_{x_0}(g(x)) [/mm] $ bedeutet: "der Quotient [mm] \frac{f}{g} [/mm] bleibt in der Nähe von [mm] x_0 [/mm] beschränkt."


>  
> Also offensichtlich ist f(x) = 0 von der Ordnung jeder
> beliebigen Funktion g(x) an jeder beliebigen Stelle. Wähle
> ich f(x) = [mm]x^2,[/mm] dann wäre f(x) von der Ordnung g(x) = x
> bei [mm]x_0[/mm] = 0 (C := 1, a := 1), nicht aber bei [mm]x_0[/mm] = 1, oder?
> Aber was soll das bedeuten? Mir ist auch nicht ganz klar,
> was das mit dem Restglied zu tun hat.
>  
> Hat mir einer mal konkrete (sinnvolle) Beispiele? Der Satz
> steht leider ziemlich einsam da.


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