Abschätzung einer Funktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 Mi 26.09.2018 | | Autor: | Maxi1995 |
Hallo,
ih beziehe mich ![[]](/images/popup.gif) auf Seite 60 unten - Funktionentheorie auf die Abschätzung zur Lipschitz-Eigenschaft.
Kann mir jemand erklären, warum für eine holomorphe Funktion f auf einem Gebiet D auf einem Rechteck [mm] $R=\lbrace (z,w):|z-z_0|
[mm] $|f(z,w_1)-f(z-w_2)| \leq sup_{(z,w) \in R}|f_w(z,w)||w_1-w_2|$ [/mm]
hierbei ist [mm] $f_w$ [/mm] die partielle Ableitung von f in Richtung w mit komplexem w.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:05 Do 27.09.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> ih beziehe mich
> auf Seite 60 unten - Funktionentheorie
> auf die Abschätzung zur Lipschitz-Eigenschaft.
> Kann mir jemand erklären, warum für eine holomorphe
> Funktion f auf einem Gebiet D auf einem Rechteck [mm]R=\lbrace (z,w):|z-z_0|
> nach der Standardabschätzung für Integrale gilt, dass
>
> [mm]|f(z,w_1)-f(z-w_2)| \leq sup_{(z,w) \in R}|f_w(z,w)||w_1-w_2|[/mm]
>
> hierbei ist [mm]f_w[/mm] die partielle Ableitung von f in Richtung w
> mit komplexem w.
Ich übernehme die Bezeichnungen aus Satz 13.3 und setze $L:= [mm] \sup \{|f_w(z,w)|:(z,w) \in R\}$. [/mm] Nun sei $z$ mit [mm] $|z-z_0|
Sind nun [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] so, dass [mm] (z,w_1),(z,w_2) \in [/mm] R, so def. den Weg c:[0,1] [mm] \to \IC [/mm] durch
[mm] c(t)=w_1+t(w_2-w_1).
[/mm]
Damit ist
[mm] $f(z,w_2)-f(z,w_1)=g(w_2)-g(w_1)=g(c(1))-g(c(0))= \int_c [/mm] g'(u) du.$
Also
(*) $ [mm] |f(z,w_2)-f(z,w_1)|=|\int_c [/mm] g'(u) du|.$
Auf dem Weg c ist $ |g'(u)| [mm] \le [/mm] L$ und die Länge des Weges c ist [mm] =|w_2-w_1|
[/mm]
Die Standardabschätzung für Wegintegrale liefert dann
[mm] $|\int_c [/mm] g'(u) du| [mm] \le L|w_2-w_1|.$
[/mm]
Aus (*) folgt dann das Gewünschte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:30 Fr 28.09.2018 | | Autor: | Maxi1995 |
Vielen Dank, das ist mir jetzt klar geworden.
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