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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Abschätzung für Lebesguemaß
Abschätzung für Lebesguemaß < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Abschätzung für Lebesguemaß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:02 Mi 18.05.2011
Autor: XPatrickX

Aufgabe
Sei [mm] $f:U_R(0)\to \IC$ [/mm] eine injektive holomorphe Funktion. Zeige für $0<r<R$:

a. ) [mm] $\mathcal{L}^2(f(U_r(0)))=\int_{U_r(0)} [/mm] |f'(x+iy)< [mm] \; d\mathcal{L}^2$ [/mm]

b.) folgere aus a)  $ [mm] \mathcal{L}^2(f(U_r(0))) \ge \pi r^2 |f'(0)|^2$ [/mm]

Hallo,

die Teilaufgabe a.) habe ich bereits gelöst. Ich komme jedoch bei b.) nicht auf die gewünscht Abschätzung.

Würde ich [mm] $|f'(p)|\ge [/mm] |f'(0)| $ zeigen können wäre ich ja fertig, doch ich wüsste nicht warum das allgemein gelten sollte.
Ich muss wahrscheinlich Cauchy verwenden
[mm] $f'(0)=\frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{f(z)}{z^2} \; [/mm] dz$

Ich komme aber nicht zum Ziel....

Danke
Gruß Patrick

        
Bezug
Abschätzung für Lebesguemaß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:49 Mi 18.05.2011
Autor: rainerS

Hallo Patrick!

> Sei [mm]f:U_R(0)\to \IC[/mm] eine injektive holomorphe Funktion.
> Zeige für [mm]0
>  
> a. ) [mm]\mathcal{L}^2(f(U_r(0)))=\int_{U_r(0)} |f'(x+iy)< \; d\mathcal{L}^2[/mm]
>  
> b.) folgere aus a)  [mm]\mathcal{L}^2(f(U_r(0))) \ge \pi r^2 |f'(0)|^2[/mm]
>  
> Hallo,
>
> die Teilaufgabe a.) habe ich bereits gelöst. Ich komme
> jedoch bei b.) nicht auf die gewünscht Abschätzung.
>
> Würde ich [mm]|f'(p)|\ge |f'(0)|[/mm] zeigen können wäre ich ja
> fertig, doch ich wüsste nicht warum das allgemein gelten
> sollte.
> Ich muss wahrscheinlich Cauchy verwenden
>  [mm]f'(0)=\frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{f(z)}{z^2} \; dz[/mm]
>  
> Ich komme aber nicht zum Ziel....

Das sieht mir sehr nach einer Folgerung aus der Mittelwerteigenschaft harmonischer (und damit auch holomorpher) Funktionen aus, vielleicht noch durch Hinzunehmen des Maximumsprinzips.

Viele Grüße
   Rainer

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