Abschätzung (mittels Taylor?) < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:39 Fr 04.03.2005 | | Autor: | kel |
Hallo zusammen,
Ich tue mich ein wenig mit Abschätzungen schwer, was sich gerade bei einer Aufgabe, die ich zur Klausurvorbereitung rechne, zeigt.
Ich möchte zeigen, daß
| ln(1+x) - x | [mm] \le \bruch{x^{2}}{2} [/mm] für x [mm] \ge [/mm] 0 gilt.
Dabei habe ich mir gedacht, daß man es am besten mit Taylor+Restglied versucht. Ich schreibe mal meine Vorgehensweise etwas ausführlich hin (dann kann man vielleicht auch sagen, ob ich den Taylor richtig anwende):
ln(1+x) - x = 0 + 0*(x-0) - [mm] \bruch{x^{2}}{2}*( ln(1+\alpha) [/mm] - [mm] \alpha [/mm] )
Ich verwende das Lagrange-Restglied. Hier kommen dann die ersten Probleme.
Jetzt muß ich ja angeben, aus welchem Bereich [mm] \alpha [/mm] ist, ich hatte an [0, [mm] \infty) [/mm] gedacht, weil ja x [mm] \ge [/mm] 0 gefordert ist. Demnach müsste der Restgliedfaktor ( [mm] ln(1+\alpha) [/mm] - [mm] \alpha [/mm] ) zwischen -1 und 1 groß sein, damit die Behauptung gezeigt ist. Dummerweise wird der Faktor für [mm] \alpha \to \infty [/mm] auch [mm] \infty [/mm] ... tjo.
Dann hab ich gedacht, daß man vielleicht ein Glied weiterentwickelt. Also
ln(1+x) - x = 0 + 0*(x-0) - [mm] \bruch{x^{2}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{x^{3}}{3}*( ln(1+\alpha) [/mm] - [mm] \alpha [/mm] )
Aber da gibts ja dasselbe Problem.
Meine Fragen lauten daher:
1. Habe ich vielleicht einen Fehler gemacht in meiner Rechnung/Denkweise?
2. Ist Taylor vielleicht nicht zu empfehlen?
3. Wenn dies zutrifft, was für andere Ansätze gibt es, um solche Ungleichungen zu zeigen?
4. Was für Ansätze gibt es allgemein, um Ungleichungen dieser und ähnlicher Art zu bekämpfen?
Viele Grüße,
kel
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:06 Sa 05.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Es kann schon sein, dass man mit Taylor auch zum Ziel kommt, aber ich würde es lieber direkt zeigen:
1. Behauptung:
Für alle $x [mm] \ge [/mm] 0$ gilt:
[mm] $\ln(1+x) [/mm] - x - [mm] \frac{x^2}{2} \le [/mm] 0$.
Nun ja, für
$f(x) = [mm] \ln(1+x) [/mm] - x - [mm] \frac{x^2}{2}$
[/mm]
gilt:
$f(0) = 0$
und
$f'(x) = [mm] \underbrace{\frac{1}{1+x}}_{\le\, 1} [/mm] - 1 - x [mm] \le [/mm] 0$ für $x [mm] \ge [/mm] 0$,
d.h. $f$ ist auf [mm] $\IR_+$ [/mm] monoton fallend, woraus die Behauptung folgt.
2. Behauptung:
Für alle $x [mm] \ge [/mm] 0$ gilt:
[mm] $\ln(1+x) [/mm] - x + [mm] \frac{x^2}{2} \ge [/mm] 0$.
Nun ja, für
$g(x) = [mm] \ln(1+x) [/mm] - x + [mm] \frac{x^2}{2}$
[/mm]
gilt:
$g(0) = 0$
und
$g'(x) = [mm] \frac{1}{1+x} [/mm] - 1 + x$,
also:
$g'(0) = 0$
und
$g''(x) = - [mm] \frac{1}{(1+x)^2} [/mm] + 1 [mm] \ge [/mm] 0$ für $x [mm] \ge [/mm] 0$,
d.h. $g'$ ist auf [mm] $\IR^+$ [/mm] monoton steigend.
Daraus folgt zusammen mit $g'(0)=0$ natürlich $g'(x) [mm] \ge [/mm] 0$ für alle $x [mm] \ge [/mm] 0$,
d.h. auch $g$ ist auf [mm] $\IR^+$ [/mm] monoton steigend.
Zusammen mit $g(0)=0$ folgt die Behauptung.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:40 Sa 05.03.2005 | | Autor: | kel |
Hallo!
Zunächst einmal vielen Dank für die rasche Antwort!
Eine kleine (vermutlich triviale) Frage zu deinen Ausführungen:
Reicht es nicht zu zeigen, was du unter 1. Behauptung geschrieben hast?
Bzw. ich habe den Verdacht, daß du in die 2 Behauptungen unterteilst, weil im Ursprünglichen der Betrag steht.. aber irgendwie steh ich gerade auf dem Schlauch.. :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:56 Sa 05.03.2005 | | Autor: | Nam |
Was Stefan gezeigt hat, waren im Prinzip diese Behauptungen:
[mm]a \le b[/mm] und
[mm]-a \le b[/mm]
Entweder ist [mm]\left| a \right| = a[/mm] oder es ist [mm]\left| a \right| = -a[/mm] (oder im Fall der Null eben beides). Also folgt:
[mm] \Rightarrow \left| a \right| \le b[/mm]
Wenn man nur eine der beiden Ungleichungen hätte und sonst über [mm]a[/mm] nichts weiß, kann man den Schluss auf den Betrag halt nicht ziehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:26 Sa 05.03.2005 | | Autor: | kel |
Hi nam,
Danke für die Ausführungen. Das was du schreibst, hatte ich mir wohl schon überlegt, jedoch habe ich in Stefans Rechnung irgendwie das multiplizieren mit -1 übersehen habe, weswegen meiner Meinung nach die Vorzeichen nicht stimmten (was natürlich nicht der Fall ist)... - da hakte es - peinlich, peinlich. ;)
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