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| Aufgabe | Sei f: E [mm] \to [/mm] E holomorph, E die offene Einheitskreisscheibe, also E:= {z [mm] \in \IC [/mm] | |z| <1}, f(0)=0.
Zeige:
a) |f(z)| [mm] \le [/mm] |z| für alle z [mm] \in [/mm] E.
b) |f'(0)| [mm] \le [/mm] 1 |
Hallo,
als Hinweis für diese Aufgabe ist gegeben:
Es gibt ein [mm] f_{1}: [/mm] E [mm] \to \IC [/mm] holomorph mit f(z) = [mm] zf_{1}(z) [/mm] für alle z [mm] \in [/mm] E. MAn zeige zunächst unter Verwendung des Maximumprinzips, dass für 0 < r < 1 gilt: Für alle w [mm] \in \overline{B_{r}(0)} [/mm] ist [mm] |f_{1}(w)| [/mm] < [mm] \bruch{1}{r}.
[/mm]
Ich bin bei der a) so vorgegangen, bin mir aber nicht sicher, ob es so stimmt:
[mm] \overline{E} [/mm] ist ja die kompakte Einheitskreisscheibe [mm] \overline{E} [/mm] := {z [mm] \in \IC| [/mm] |z| [mm] \le [/mm] 1}. Da f stetig ist, ist auch f( [mm] \overline{E}) [/mm] kompakt. Also ist f( [mm] \overline{E}) [/mm] beschränkt nach Heine-Borel. Also gibt es ein c >0 : |f(z)| [mm] \le [/mm] c für alle z [mm] \in [/mm] E. NAxh Liouville ist nun f konstant. Aber wie komme ich jetzt auf den Beweis von |f(z)| [mm] \le [/mm] |z| für alle z [mm] \in [/mm] E? Da komm ich nicht ganz klar. Man soll hier das Max.prinzip anwenden, welches besagt, dass wenn ein Gebiet beschränkt und stetig ist, und f eingeschränkt auf das Gebiet holomorph ist, dann nimmt |f| sein Maximum auf dem Rand vom Gebiet an. D.h. hier für den Fall:
Für alle w [mm] \in \overline{B_{r}(0)} [/mm] muss doch [mm] |f_{1}(w)| [/mm] sein MAx. auf dem Rand einnehmen, also [mm] \partial B_{r}(0).
[/mm]
Kann mit bitte jemand weiterhelfen? 
Zur b): Wenn f(0) = 0 ist, dann ist auch f'(0) = 0, also auch |f'(0)| = |0|= 0 [mm] \le [/mm] 1
Ist das echt so einfach? Oder muss man das komplizierter zeigen?
Danke,
milka
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:13 Do 22.06.2006 | | Autor: | Milka_Kuh |
Hallo,
ich habe jetzt versucht, eine Lösung für diese Aufgabe auszuarbeiten. Ich bin mir aber unsicher, ob sie so richtig ist, und bitte um eine Rückmeldung:
Zur a):
Ich habe zunächst einmal unter Verwendung des Max.prinzip gezeigt, dass für 0<r<1 gilt: Für alle w $ [mm] \in \overline{B_{r}(0)} [/mm] $ ist $ [mm] |f_{1}(w)| [/mm] $ < $ [mm] \bruch{1}{r}$:
[/mm]
[mm] |f_{1}(w)| [/mm] = | [mm] \bruch{f(w)}{w}| [/mm] < [mm] \bruch{|f(w)|}{r} [/mm] < [mm] \bruch{1}{r} [/mm] , denn es gilt ja 0 < r < 1 und w $ [mm] \in \overline{B_{r}(0)} [/mm] $ und letztere Abschätzung gilt wegen dem Max.prinzip, d.h. das Max. wird auf dem Rand von [mm] B_{r}(0).
[/mm]
Also folgt: |f(z)| = [mm] |zf_{1}(z)| [/mm] < |z| [mm] |f_{1}(z)| \le 1*|f_{1}(z)| [/mm] < 1 wegen oben. Aber wie komme ich jetzt auf die gesuchte Abschätzung |f(z)| [mm] \le [/mm] |z|?
b) Z.z.: |f'(0)| [mm] \le [/mm] 1
Es gilt f'(z) = [mm] f_{1}(z) [/mm] + z [mm] f_{2}(z).
[/mm]
Also: |f'(0)| [mm] =|f_{1}(0)| \le [/mm] 1, weil r= 1 ist und wegen a).
Kann bitte jemand sich die Aufgabe anschauen, und mir weiterhelfen?
Vielen Dank!
Milka
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Mo 26.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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