Abschnitt 1.3, Aufgabe 3 < Kap 1: El. Gruppenth < Algebra-Kurs 2006 < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 11:59 Fr 15.09.2006 | | Autor: | statler |
| Aufgabe | Man betrachte [mm] $\IZ$ [/mm] als additive Untergruppe von [mm] $\IQ$ [/mm] und zeige:
i) Jedes Element in [mm] $\IQ/\IZ$ [/mm] ist von endlicher Ordnung.
ii) Für jedes $n [mm] \in \IN [/mm] - [mm] \{0\}$ [/mm] besitzt [mm] $\IQ/\IZ$ [/mm] genau eine Untergruppe der Ordnung $n$, und diese ist zyklisch. |
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Hallo Kurs!
> Man betrachte [mm]\IZ[/mm] als additive Untergruppe von [mm]\IQ[/mm] und
> zeige:
>
> i) Jedes Element in [mm]\IQ/\IZ[/mm] ist von endlicher Ordnung.
Sei [mm] $x\in \IQ/\IZ$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ \exists [/mm] m,n,z [mm] \in\IZ\ [/mm] :\ [mm] x=\bruch{m}{n}+z$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ x*n=m+z*n\in\IZ=0_{\IQ/\IZ}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ \operatorname{ord} x\le [/mm] n$
> ii) Für jedes n [mm]\in \IN[/mm] - {0} besitzt [mm]\IQ/\IZ[/mm] genau eine
> Untergruppe der Ordnung n, und diese ist zyklisch.
"mindestens eine":
[mm] $U_n:=\left\langle\bruch1n+\IZ\right\rangle$
[/mm]
[mm] $U_n$ [/mm] ist zyklisch und und hat die n offenbar verschiedenen Elemente [mm] $0+\IZ,\ \bruch1n+\IZ,\ \bruch2n+\IZ,\ldots,\ \bruch{n-1}{n}+\IZ$, [/mm] also [mm] $\operatorname{ord} U_n=n$
[/mm]
"höchstens eine":
Sei [mm] $u\in \IQ/\IZ$ [/mm] das erzeugende Element einer zyklischen Untergruppe [mm] $V\subset\IQ/\IZ$ [/mm] der Ordnung n.
In der Nebenklasse [mm] $u\in\IQ/\IZ$ [/mm] gibt es einen Repräsentanten [mm] $\bruch{x}{y}$ [/mm] mit den folgenden drei Eigenschaften:
(i) [mm] $\bruch{x}{y}\ge [/mm] 0$ (andernfalls addiere eine geeignete natürliche Zahl)
(ii) sind $x,y$ teilerfremd (sonst kürze vollständig)
(iii) $x<y$ (sonst subtrahiere eine geeignete natürliche Zahl)
[mm] $\Rightarrow$ $u=\bruch{x}{y}+z$ [/mm] mit den Eigenschaften (i),(ii),(iii)
Ich zeige: y=n
[mm] [quote]"$y\ge [/mm] n$"
Offenbar ist $u*y=0$, da aber n minimal mit dieser Eigenschaft, gilt [mm] $y\ge [/mm] n$.
[mm] "$y\le [/mm] n$"
(Satz 6) [mm] $\Rightarrow\ \left(\bruch{x}{y}+z\right)*n=0_{\IQ/\IZ}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ \bruch{x*n}{y}+z*n\in\IZ$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ \bruch{x*n}{y}\in\IZ$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ \exists k\in\IN\ [/mm] :\ n=k*y$, da $x,y$ teilerfremd
[mm] $\Rightarrow\ y\le [/mm] n$[/quote]
[mm] $\Rightarrow\ [/mm] y=n$
Es gibt aber nur n verschiedene Brüche [mm] $\bruch{x}{y}=\bruch{x}{n}$ [/mm] mit den Eigenschaften (i), (ii), (iii):
[mm] $\Rightarrow\ u\in U_n$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ V=U_n$
[/mm]
[mm] $\Box$
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:47 So 24.09.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Sebastian!
> > Man betrachte [mm]\IZ[/mm] als additive Untergruppe von [mm]\IQ[/mm] und
> > zeige:
> >
> > i) Jedes Element in [mm]\IQ/\IZ[/mm] ist von endlicher Ordnung.
>
> Sei [mm]x\in \IQ/\IZ[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow\ \exists m,n,z \in\IZ\ :\ x=\bruch{m}{n}+z[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow\ x*n=m+z*n\in\IZ=0_{\IQ/\IZ}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow\ \operatorname{ord} x\le n[/mm]
>
> > ii) Für jedes n [mm]\in \IN[/mm] - {0} besitzt [mm]\IQ/\IZ[/mm] genau eine
> > Untergruppe der Ordnung n, und diese ist zyklisch.
>
> "mindestens eine":
>
> [mm]U_n:=\left\langle\bruch1n+\IZ\right\rangle[/mm]
>
> [mm]U_n[/mm] ist zyklisch und und hat die n offenbar verschiedenen
> Elemente [mm]0+\IZ,\ \bruch1n+\IZ,\ \bruch2n+\IZ,\ldots,\ \bruch{n-1}{n}+\IZ[/mm],
> also [mm]\operatorname{ord} U_n=n[/mm]
>
> "höchstens eine":
>
> Sei [mm]u\in \IQ/\IZ[/mm] das erzeugende Element einer zyklischen
> Untergruppe [mm]V\subset\IQ/\IZ[/mm] der Ordnung n.
>
> In der Nebenklasse [mm]u\in\IQ/\IZ[/mm] gibt es einen Repräsentanten
> [mm]\bruch{x}{y}[/mm] mit den folgenden drei Eigenschaften:
>
> (i) [mm]\bruch{x}{y}\ge 0[/mm] (andernfalls addiere eine geeignete
> natürliche Zahl)
> (ii) sind [mm]x,y[/mm] teilerfremd (sonst kürze vollständig)
> (iii) [mm]x
> Zahl)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]u=\bruch{x}{y}+z[/mm] mit den Eigenschaften
> (i),(ii),(iii)
>
> Ich zeige: y=n
>
> "[mm]y\ge n[/mm]"
>
> Offenbar ist [mm]u*y=0[/mm], da aber n minimal mit dieser
> Eigenschaft, gilt [mm]y\ge n[/mm].
>
> "[mm]y\le n[/mm]"
>
> (Satz 6) [mm]\Rightarrow\ \left(\bruch{x}{y}+z\right)*n=0_{\IQ/\IZ}[/mm]
Satz 6 sieht ja nun rein optisch total anders aus, man hätte hier also noch ein erklärendes Wort einfügen können. Andererseits finde ich selbst die Tipperei auch manchmal lästig und fasse mich deshalb 'so kurz wie irgend geht'. Wieder andererseits nörgele ich gerne immer etwas herum (daher mein nickname), was hiermit geschehen ist.
> [mm]\Rightarrow\ \bruch{x*n}{y}+z*n\in\IZ[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow\ \bruch{x*n}{y}\in\IZ[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow\ \exists k\in\IN\ :\ n=k*y[/mm], da [mm]x,y[/mm] teilerfremd
>
> [mm]\Rightarrow\ y\le n[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow\ y=n[/mm]
>
> Es gibt aber nur n verschiedene Brüche
> [mm]\bruch{x}{y}=\bruch{x}{n}[/mm] mit den Eigenschaften (i), (ii),
> (iii):
>
> [mm]\Rightarrow\ u\in U_n[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow\ V=U_n[/mm]
>
> [mm]\Box[/mm]
Liebe Grüße aus dem Norden
Dieter
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Hallo ihr alle,
zu 1: wenn [mm] [a\slash [/mm] b] ein Element von die Gruppe [mm] \IQ\slash\IZ [/mm] mit eine Vertreter [mm] a\slash b\in\IQ [/mm] ist [mm] (a,b\ib\IZ, b\neq [/mm] 0), so ist
offenbar [mm] b\cdot \: a\slash [/mm] b [mm] \in\IZ [/mm] und damit [mm] \underbrace{[a\slash b]+\ldots [a\slash b]}_{b\: mal} [/mm] = [0] in [mm] \IQ\slash \IZ.
[/mm]
Zu 2: Nehmen wir das von die Klasse [mm] [1\slash n]\in\IQ\slash \IZ [/mm] erzeugtes Untergruppe, so ist es zyklisch von ordnung n (Argument wie in 1.),
und wenn andererseits [mm] n\cdot a\slash b\in\IZ, m\cdot a\slash b\not\in\IZ [/mm] für [mm] 1\leq m\leq [/mm] n-1 gilt, so mussen wir für Eindeutigkeit
zeigen, dass dann [mm] [1\slash [/mm] n] und [mm] [a\slash [/mm] b] selbe Gruppe erzeugen.
Nehmen wir an, dass a und b relativ prim sind.
Es muss bei solche [mm] a\slash [/mm] b also [mm] b\geq [/mm] n gelten, da wir [mm] b\cdot a\slash b\in\IZ [/mm] haben. Weiterhin muss b die Zahl [mm] n\cdot [/mm] a teilen, also wegen
ggt(a,b)=1 muss b die Zahl n teilen. Dann folgt b=n. Ist nun zu zeigen, dass [mm] [a\slash [/mm] n] mit ggt(a,n)=1 und [mm] [1\slash [/mm] n] selbe Untergruppe
erzeugen. Reicht zu zeigen, dass eine von beide in andere enthalten ist (denn haben sie beide selbes Anzahl von Elemente).
Ist [mm] [a\slash [/mm] n]= [mm] [(a\mod \: n)\slash [/mm] n] und das ist in Grupps von [mm] [1\slash [/mm] n] enthalten.
Damit ist alles gezeigt.
Liebes Gruss
just-math
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:05 So 24.09.2006 | | Autor: | statler |
Hallo just-math!
Zwei mehr formale Kritikpunkte (s. u.):
> zu 1: wenn [mm][a\slash[/mm] b] ein Element von die Gruppe
> [mm]\IQ\slash\IZ[/mm] mit eine Vertreter [mm]a\slash b\in\IQ[/mm] ist
> [mm](a,b\ib\IZ, b\neq[/mm] 0), so ist
> offenbar [mm]b\cdot \: a\slash[/mm] b [mm]\in\IZ[/mm] und damit
> [mm]\underbrace{[a\slash b]+\ldots [a\slash b]}_{b\: mal}[/mm] = [0]
> in [mm]\IQ\slash \IZ.[/mm]
>
> Zu 2: Nehmen wir das von die Klasse [mm][1\slash n]\in\IQ\slash \IZ[/mm]
> erzeugtes Untergruppe, so ist es zyklisch von ordnung n
> (Argument wie in 1.),
> und wenn andererseits [mm]n\cdot a\slash b\in\IZ, m\cdot a\slash b\not\in\IZ[/mm]
> für [mm]1\leq m\leq[/mm] n-1 gilt, so mussen wir für Eindeutigkeit
> zeigen, dass dann [mm][1\slash[/mm] n] und [mm][a\slash[/mm] b] selbe
> Gruppe erzeugen.
>
> Nehmen wir an, dass a und b relativ prim sind.
Das heißt in korrektem mathe-speak: Sei oBdA (a,b) = 1 
> Es muss bei solche [mm]a\slash[/mm] b also [mm]b\geq[/mm] n gelten, da wir
> [mm]b\cdot a\slash b\in\IZ[/mm] haben. Weiterhin muss b die Zahl
> [mm]n\cdot[/mm] a teilen, also wegen
> ggt(a,b)=1 muss b die Zahl n teilen. Dann folgt b=n. Ist
> nun zu zeigen, dass [mm][a\slash[/mm] n] mit ggt(a,n)=1 und
> [mm][1\slash[/mm] n] selbe Untergruppe
> erzeugen. Reicht zu zeigen, dass eine von beide in andere
> enthalten ist (denn haben sie beide selbes Anzahl von
> Elemente).
> Ist [mm][a\slash[/mm] n]= [mm][(a\mod \: n)\slash[/mm] n] und das ist in
> Grupps von [mm][1\slash[/mm] n] enthalten.
Kann man [mm] [(a\mod \: n)\slash [/mm] n] so schreiben? Hängt davon ab, was [mm] a\mod \: [/mm] n bei dir ist, eine Zahl zwischen 0 und n-1 (dann OK) oder eine Menge (dann [mm] \neg [/mm] OK).
> Damit ist alles gezeigt.
Allerdings!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:43 Sa 23.09.2006 | | Autor: | Riley |
hi!
Ich kämpfe immer noch mit diesen Nebenklassen, die so aufgeschrieben werden G/H bzw [mm] H\G. [/mm] Die Elemente darin sind wieder Mengen, soweit hab ich das richtig verstanden, oder?
was bedeutet dann aber Q/Z genau? Ist das die Menge der Rechtsnebenklassen? ist dann [mm] Qz=\{q z: q\in Q\} [/mm] ? hab ich ein festes z, das ich mit sämtlichen rationalen zahlen multiplizieren muss?
und bei der aufgabe müsste ich dann zeigen, dass genau diese mengen endlich viele elemente haben?
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:56 Sa 23.09.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Riley!
> Ich kämpfe immer noch mit diesen Nebenklassen, die so
> aufgeschrieben werden G/H bzw [mm]H\G.[/mm] Die Elemente darin sind
> wieder Mengen, soweit hab ich das richtig verstanden,
> oder?
Genau, und zwar sind das alle (Links- oder Rechts-)Nebenklassen von $H$. Also $G/H = [mm] \{ g H \mid g \in G \}$ [/mm] und $G [mm] \backslash [/mm] H = [mm] \{ H g \mid g \in G \}$.
[/mm]
> was bedeutet dann aber Q/Z genau?
Das ist [mm] $\{ q + \IZ \mid q \in \IQ \}$, [/mm] wobei $q + [mm] \IZ [/mm] = [mm] \{ q + z \mid z \in \IZ \}$ [/mm] ist. (Beachte, dass die Gruppenoperation hier $+$ ist.)
(korrigiert von Dieter am 24.09., q [mm] \in \IZ [/mm] durch q [mm] \in \IQ [/mm] ersetzt (Tippfehler im Original))
Ob du hier Links- oder Rechtsnebenklassen nimmst ist ganz egal, da [mm] $\IZ$ [/mm] ein Normalteiler in [mm] $\IQ$ [/mm] ist (bzgl. der Addition).
> und bei der aufgabe müsste ich dann zeigen, dass genau
> diese mengen endlich viele elemente haben?
Nein. Du nimmst ein Element aus [mm] $\IQ/\IZ$ [/mm] und schaust dir die davon erzeugte Untergruppe an. Diese muss endlich viele Elemente haben.
Sorry muss grad weg, ich hoffe das war nicht zu knapp...
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:01 So 24.09.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Felix!
danke für deine antwort! nur noch eine nachfrage, die von einem element erzeugte untergruppe von Q/Z ist dann schon von der form [mm] q+Z=\{q+z|z\in Z\} [/mm] , oder?
viele grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:22 So 24.09.2006 | | Autor: | statler |
Hi Riley!
> danke für deine antwort! nur noch eine nachfrage, die von
> einem element erzeugte untergruppe von Q/Z ist dann schon
> von der form [mm]q+Z=\{q+z|z\in Z\}[/mm] , oder?
Nee, das kann man so nicht schreiben. q+Z ist nur ein Element dieser Untergruppe, wenn q fest ist, was ich so verstehen würde, obwohl in deinem Text nix dazu gesagt ist.
Vielleicht meinst du das Richtige, aber die textuelle Formulierung gehört auch dazu. Es muß darin irgendwie zum Ausdruck kommen, daß die Untergruppe n Elemente hat, die selbst wieder Mengen sind.
Nicht entmutigen lassen!
Und Grüße aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 So 24.09.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Dieter!
hm, danke für die korrektur. Wie würdest du denn diese untegruppe mathematisch korrekt aufschreiben?
reicht es anzugeben, dass q nicht fest ist?
Viele grüße
yela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:53 So 24.09.2006 | | Autor: | statler |
Hi yela!
> hm, danke für die korrektur. Wie würdest du denn diese
> untegruppe mathematisch korrekt aufschreiben?
> reicht es anzugeben, dass q nicht fest ist?
Letztendlich sieht sie doch so aus:
[mm] U_{n} [/mm] = [mm] \{\bruch{r}{n} + \IZ | r, n \in \IN, 0 \le r \le n-1 \}
[/mm]
oder wenn man die Null nicht in [mm] \IN [/mm] hat
[mm] U_{n} [/mm] = [mm] \{\bruch{r}{n} + \IZ | r, n \in \IN, 1 \le r \le n \}
[/mm]
Letzteres ist vielleicht auch deswegen besser, weil n im Nenner steht.
Grüße
Dieter
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