Abschnitt 1.3, Aufgabe 4 < Kap 1: El. Gruppenth < Algebra-Kurs 2006 < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 11:59 Fr 15.09.2006 | | Autor: | statler |
| Aufgabe | Es seien $m, n [mm] \in \IN [/mm] - [mm] \{0\}$. [/mm] Man zeige, daß die Gruppen [mm] $\IZ/mn\IZ$ [/mm] und [mm] $\IZ/m\IZ \times \IZ/n\IZ$ [/mm] genau dann isomorph sind, wenn $m$ und $n$ teilerfremd sind. Insbesondere ist ein Produkt zweier zyklischer Gruppen mit teilerfremden Ordnungen wieder zyklisch.
(Das Produkt zweier Gruppen ist die Menge der geordneten Paare mit komponentenweiser Verknüpfung.) |
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Hallo Kurs!
> Es seien m, n [mm]\in \IN[/mm] - {0}. Man zeige, daß die Gruppen
> [mm]\IZ/mn\IZ[/mm] und [mm]\IZ/m\IZ \times \IZ/n\IZ[/mm] genau dann isomorph
> sind, wenn m und n teilerfremd sind.
[mm] $\IZ/mn\IZ$ [/mm] ist zyklisch mit Ordnung $m*n$, es ist [mm] $\langle 1_{\IZ/mn\IZ}\rangle=\IZ/mn\IZ$.
[/mm]
Sei [mm] $(x,y)\in\IZ/m\IZ\times\IZ/n\IZ$
[/mm]
[mm] $k:=\ggT(m,n)\ \Rightarrow\ \exists n',m'\in\IZ\ [/mm] :\ n=k*n', m=k*m'$
Es gilt [mm] $(x,y)*(n'*k*m')=(x*(n'*k*m'),y*(n'*k*m'))=((x*m)*n',(y*n)*m')=(0_{\IZ/m\IZ},0_{\IZ/n\IZ})=0_{\IZ/m\IZ\times\IZ/n\IZ}$, [/mm] d.h. [mm] $\operatorname{ord}(x,y)\le [/mm] n'*k*m'$ (*)
Nun zum Beweis:
[mm] "$\Rightarrow$"
[/mm]
Es ex. ein Isomorphismus [mm] $\phi:\ \IZ/mn\IZ\to\IZ/m\IZ\times\IZ/n\IZ$ [/mm] und [mm] $\langle u\rangle=\IZ/mn\IZ$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ \langle\phi(u)\rangle=\IZ/m\IZ\times\IZ/n\IZ$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ \operatorname{ord}(\phi(u))=n*m$
[/mm]
Mit (*) folgt:
[mm] $\Rightarrow\ n*m\le [/mm] n'*k*m'$
[mm] $\Rightarrow\ n*m\le [/mm] n*m'$
[mm] $\Rightarrow\ m\le [/mm] m'$, ebenso [mm] $n\le [/mm] n'$
[mm] $\Rightarrow\ [/mm] m=m', n=n', [mm] k=1=\ggT(m,n)$
[/mm]
[mm] "$\Leftarrow$"
[/mm]
$n,m$ teilerfremd
Es seien [mm] $x,y\in\IZ$ [/mm] mit [mm] $\langle x\rangle=\IZ/m\IZ$ [/mm] und [mm] $\langle y\rangle=\IZ/n\IZ$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ \operatorname{ord}(x)=m, \operatorname{ord}(y)=n$ [/mm] und [mm] $x\not=0, y\not=0$
[/mm]
$(x,y)*p=(0,0)$
[mm] $\Rightarrow\ [/mm] p=m*m', p=n*n'$
[mm] $\Rightarrow\ [/mm] m*m'=n*n'$
[mm] $\ggT(m,n)=1\ \Rightarrow\ \exists k\in\IZ\ [/mm] :\ m'=k*n,\ \ n'=k*m$
[mm] $\Rightarrow\ [/mm] p=m*n*k$
[mm] $\Rightarrow\ \operatorname{ord} (x,y)\ge [/mm] m*n*k$
Wegen [mm] $\operatorname{ord}(x,y)|\operatorname{ord} \IZ/m\IZ\times\IZ/n\IZ=m*n$:
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ \operatorname{ord} [/mm] (x,y)=mn$
[mm] $\Rightarrow\ \langle (x,y)\rangle=\IZ/m\IZ\times\IZ/n\IZ$
[/mm]
Ein Isomorphismus [mm] $\varphi$ [/mm] muss nun nur noch ein erzeugendes Element von [mm] $\IZ/mn\IZ$ [/mm] auf ein erzeugendes Element von [mm] $\IZ/m\IZ\time\IZ/n\IZ$ [/mm] abbilden, z.B.
[mm] $\varphi:\ \IZ/mn\IZ\to\IZ/m\IZ\times\IZ/n\IZ$
[/mm]
[mm] $\varphi(1_{\IZ/mn\IZ}):=(1_{\IZ/m\IZ},1_{\IZ/n\IZ})$
[/mm]
Die Bilder der restlichen Elemente von [mm] $\IZ/mn\IZ$ [/mm] ergeben sich so:
[mm] $\varphi(z)=\varphi(k*1_{\IZ/mn\IZ})=k*\varphi(1_{\IZ/mn\IZ})=k*(1_{\IZ/m\IZ},1_{\IZ/n\IZ})$ [/mm] mit k so gewählt, dass [mm] $z=k*1_{\IZ/mn\IZ}$
[/mm]
[mm] $\varphi$ [/mm] ist (leicht nachweisbar) injektiv (bzw. surjektiv), woraus wegen der Endlichkeit des Definitions- und Zielbereichs die Bijektivität von [mm] $\varphi$ [/mm] folgt.
[mm] $\Rightarrow\ \IZ/mn\IZ\cong\IZ/m\IZ\times\IZ/n\IZ$
[/mm]
> Insbesondere ist ein
> Produkt zweier zyklischer Gruppen mit teilerfremden
> Ordnungen wieder zyklisch.
Dies folgt nun aus dem oben gezeigtem dadurch, dass jede endliche zyklische Gruppe isomorph zu einem [mm] $\IZ/k\IZ$ [/mm] ist.
Gruß, Frusciante
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:00 Di 26.09.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Frusciante!
> > Es seien m, n [mm]\in \IN[/mm] - {0}. Man zeige, daß die Gruppen
> > [mm]\IZ/mn\IZ[/mm] und [mm]\IZ/m\IZ \times \IZ/n\IZ[/mm] genau dann isomorph
> > sind, wenn m und n teilerfremd sind.
>
> [mm]\IZ/mn\IZ[/mm] ist zyklisch mit Ordnung [mm]m*n[/mm], es ist [mm]\langle 1_{\IZ/mn\IZ}\rangle=\IZ/mn\IZ[/mm].
...wobei du mit [mm] $1_{\IZ/mn\IZ}$ [/mm] die Restklasse von $1$ in [mm] $\IZ/mn\IZ$ [/mm] meinst (und nicht etwa das neutrale Element von [mm] $\IZ/mn\IZ$).
[/mm]
> Sei [mm](x,y)\in\IZ/m\IZ\times\IZ/n\IZ[/mm]
>
> [mm]k:=\ggT(m,n)\ \Rightarrow\ \exists n',m'\in\IZ\ :\ n=k*n', m=k*m'[/mm]
>
> Es gilt
> [mm](x,y)*(n'*k*m')=(x*(n'*k*m'),y*(n'*k*m'))=((x*m)*n',(y*n)*m')=(0_{\IZ/m\IZ},0_{\IZ/n\IZ})=0_{\IZ/m\IZ\times\IZ/n\IZ}[/mm],
> d.h. [mm]\operatorname{ord}(x,y)\le n'*k*m'[/mm] (*)
>
> Nun zum Beweis:
>
> "[mm]\Rightarrow[/mm]"
>
> Es ex. ein Isomorphismus [mm]\phi:\ \IZ/mn\IZ\to\IZ/m\IZ\times\IZ/n\IZ[/mm]
> und [mm]\langle u\rangle=\IZ/mn\IZ[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow\ \langle\phi(u)\rangle=\IZ/m\IZ\times\IZ/n\IZ[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow\ \operatorname{ord}(\phi(u))=n*m[/mm]
>
> Mit (*) folgt:
>
> [mm]\Rightarrow\ n*m\le n'*k*m'[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow\ n*m\le n*m'[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow\ m\le m'[/mm], ebenso [mm]n\le n'[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow\ m=m', n=n', k=1=\ggT(m,n)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> "[mm]\Leftarrow[/mm]"
>
> [mm]n,m[/mm] teilerfremd
>
> Es seien [mm]x,y\in\IZ[/mm] mit [mm]\langle x\rangle=\IZ/m\IZ[/mm] und
> [mm]\langle y\rangle=\IZ/n\IZ[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow\ \operatorname{ord}(x)=m, \operatorname{ord}(y)=n[/mm]
> und [mm]x\not=0, y\not=0[/mm]
>
> [mm](x,y)*p=(0,0)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow\ p=m*m', p=n*n'[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow\ m*m'=n*n'[/mm]
>
> [mm]\ggT(m,n)=1\ \Rightarrow\ \exists k\in\IZ\ :\ m'=k*n,\ \ n'=k*m[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow\ p=m*n*k[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow\ \operatorname{ord} (x,y)\ge m*n*k[/mm]
>
> Wegen [mm]\operatorname{ord}(x,y)|\operatorname{ord} \IZ/m\IZ\times\IZ/n\IZ=m*n[/mm]:
>
> [mm]\Rightarrow\ \operatorname{ord} (x,y)=mn[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow\ \langle (x,y)\rangle=\IZ/m\IZ\times\IZ/n\IZ[/mm]
Genau. Im Prinzip bist du auch hier schon fertig, da je zwei zyklische Gruppen von Ordnung $n [mm] \cdot [/mm] m$ isomorph sind.
> Ein Isomorphismus [mm]\varphi[/mm] muss nun nur noch ein erzeugendes
> Element von [mm]\IZ/mn\IZ[/mm] auf ein erzeugendes Element von
> [mm]\IZ/m\IZ\time\IZ/n\IZ[/mm] abbilden, z.B.
>
> [mm]\varphi:\ \IZ/mn\IZ\to\IZ/m\IZ\times\IZ/n\IZ[/mm]
>
> [mm]\varphi(1_{\IZ/mn\IZ}):=(1_{\IZ/m\IZ},1_{\IZ/n\IZ})[/mm]
>
> Die Bilder der restlichen Elemente von [mm]\IZ/mn\IZ[/mm] ergeben
> sich so:
>
> [mm]\varphi(z)=\varphi(k*1_{\IZ/mn\IZ})=k*\varphi(1_{\IZ/mn\IZ})=k*(1_{\IZ/m\IZ},1_{\IZ/n\IZ})[/mm]
> mit k so gewählt, dass [mm]z=k*1_{\IZ/mn\IZ}[/mm]
>
> [mm]\varphi[/mm] ist (leicht nachweisbar) injektiv (bzw. surjektiv),
> woraus wegen der Endlichkeit des Definitions- und
> Zielbereichs die Bijektivität von [mm]\varphi[/mm] folgt.
>
> [mm]\Rightarrow\ \IZ/mn\IZ\cong\IZ/m\IZ\times\IZ/n\IZ[/mm]
>
> > Insbesondere ist ein
> > Produkt zweier zyklischer Gruppen mit teilerfremden
> > Ordnungen wieder zyklisch.
>
> Dies folgt nun aus dem oben gezeigtem dadurch, dass jede
> endliche zyklische Gruppe isomorph zu einem [mm]\IZ/k\IZ[/mm] ist.
LG Felix
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Hola amigos,
versuche ich auch dieses Aufgabe.
Wenn sich m und n nicht teilerfremd sind, so kann [mm] \ZI\slash m\IZ\:\times\:\IZ\slash n\IZ [/mm] nicht zyklisch von Ordnung mn sein, denn sei angenommen dass
(i,j) Erzeuger (genauer: das Restklasse von i, das restklasse von j), so muss i das Gruppe [mm] \IZ\slash m\IZ [/mm] erzeugen und damit ggt 1 mit m haben, analog hat j ggt 1 mit n. Ordnung von i ist dann m und Ordnung von j ist n. Aber dann ist [mm] \frac{mn}{ggt(m,n)}\cdot [/mm] (i,j) = (0,0) und somit Ordnung ist nicht gross genug.
Wenn m und n teilerfremd sind, so zeigen wir, dass [mm] \IZ\slash m\IZ\times \IZ\slash n\IZ [/mm] zyklisch von das Ordnung mn ist, dann ist es schon isomorph zu [mm] \IZ\slash mn\IZ.
[/mm]
Behauptung: ist (1,1) Erzeuger.
Beweis:
Reicht zu zeigen dass Ordnung von (1,1) ist mn. Angenommen [mm] a\cdot [/mm] (1,1)=(a,a)=(0,0) in das Gruppe [mm] \ZI\slash m\IZ\:\times\:\IZ\slash n\IZ [/mm] .
Können wir annehmen [mm] 1\leq a\leq [/mm] mn.
Also muss m|a und n|a gelten, also wegen ggt(m,n)=1 muss a=mn sein. Also Ordnung ist mn, somit Isomorphie ist bewiesen.
Liebes Gruss
just-math
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:54 Di 26.09.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo just-math!
> Wenn sich m und n nicht teilerfremd sind, so kann [mm]\ZI\slash m\IZ\:\times\:\IZ\slash n\IZ[/mm]
> nicht zyklisch von Ordnung mn sein, denn sei angenommen
> dass
> (i,j) Erzeuger (genauer: das Restklasse von i, das
> restklasse von j), so muss i das Gruppe [mm]\IZ\slash m\IZ[/mm]
> erzeugen und damit ggt 1 mit m haben, analog hat j ggt 1
> mit n. Ordnung von i ist dann m und Ordnung von j ist n.
> Aber dann ist [mm]\frac{mn}{ggt(m,n)}\cdot[/mm] (i,j) = (0,0) und
> somit Ordnung ist nicht gross genug.
Genau.
> Wenn m und n teilerfremd sind, so zeigen wir, dass
> [mm]\IZ\slash m\IZ\times \IZ\slash n\IZ[/mm] zyklisch von das
> Ordnung mn ist, dann ist es schon isomorph zu [mm]\IZ\slash mn\IZ.[/mm]
>
> Behauptung: ist (1,1) Erzeuger.
>
> Beweis:
>
> Reicht zu zeigen dass Ordnung von (1,1) ist mn. Angenommen
> [mm]a\cdot[/mm] (1,1)=(a,a)=(0,0) in das Gruppe [mm]\ZI\slash m\IZ\:\times\:\IZ\slash n\IZ[/mm]
> .
> Können wir annehmen [mm]1\leq a\leq[/mm] mn.
> Also muss m|a und n|a gelten, also wegen ggt(m,n)=1 muss
> a=mn sein. Also Ordnung ist mn, somit Isomorphie ist
> bewiesen.
Exakt.
LG Felix
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