Abschnittsweise definierte Fkt < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben ist eine abschnittsweise definierte Funktion:
[mm] \bruch{14x^{2}-106x+180}{x^{2}-5x} [/mm] für [mm] x\ge3
[/mm]
r(x) für 0<x<3
[mm] e^{x}+1 [/mm] für [mm] x\le0
[/mm]
r(x) ist eine Polynomfunktion unbekannten Grades
a) Bestimmen sie [mm] r_{1}(x) [/mm] von so geringem Grad wie möglich, so dass damit f stetig und an der Stelle 3 differenzierbar wird.
b) Entscheiden Sie mit Begründung, ob ihre Fuktion f differenzierbar in R, ob sie integrierbar in R ist. Welchen Grad muss r(x) mindestens haben, damit f in R diff.bar ist? Bestimmen Sie nun einen funktionsterm [mm] r_{2}(x) [/mm] so, dass damit f in R diff.bar wird! |
Hi,
also zu a) sind meine Überlegungen folgende:
Die Polynomfkt sollte dritten Grades sein, ergo brauche ich 4 bedingungen, die da wären:
r(0)=2
r(3)=2
r'(0)=1
r'(3)=4
Damit erhalte ich eine Funktion, die so aussieht:
[mm] r(x)=\bruch{5}{9}x^{3}-2x^{2}+x+2
[/mm]
Damit wäre das ganze stetig, laut Definition müssen rechts- und linksseitiger Grenzwert übereinstimmen und gleich dem Fkt.-Wert sein. Das wäre bei mir der Fall, alles gleich 2. Lass ich mir das allerdings zeichnen, seh ich eine Lücke an der Stelle 3... Hab ich was falsch gemacht ?
Diff.bar ist sie. Sie ist in der Umgebung von 3 definiert und der Differentialquotient an der Stelle 3 exisitiert, ist von beiden Seiten gleich 4.
zu b) hier ist mir die aufgabe nicht ganz klar um ehrlich zu sein.
Lg,
exeqter
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 Do 12.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Gegeben ist eine abschnittsweise definierte Funktion:
>
> [mm]\bruch{14x^{2}-106x+180}{x^{2}-5x}[/mm] für [mm]x\ge3[/mm]
>
> r(x) für 0<x<3
>
> [mm]e^{x}+1[/mm] für [mm]x\le0[/mm]
>
> r(x) ist eine Polynomfunktion unbekannten Grades
>
> a) Bestimmen sie [mm]r_{1}(x)[/mm] von so geringem Grad wie möglich,
> so dass damit f stetig und an der Stelle 3 differenzierbar
> wird.
>
> b) Entscheiden Sie mit Begründung, ob ihre Fuktion f
> differenzierbar in R, ob sie integrierbar in R ist. Welchen
> Grad muss r(x) mindestens haben, damit f in R diff.bar ist?
> Bestimmen Sie nun einen funktionsterm [mm]r_{2}(x)[/mm] so, dass
> damit f in R diff.bar wird!
> Hi,
>
> also zu a) sind meine Überlegungen folgende:
>
> Die Polynomfkt sollte dritten Grades sein, ergo brauche ich
> 4 bedingungen, die da wären:
>
> r(0)=2
> r(3)=2
> r'(0)=1
> r'(3)=4
>
> Damit erhalte ich eine Funktion, die so aussieht:
>
> [mm]r(x)=\bruch{5}{9}x^{3}-2x^{2}+x+2[/mm]
>
> Damit wäre das ganze stetig, laut Definition müssen rechts-
> und linksseitiger Grenzwert übereinstimmen und gleich dem
> Fkt.-Wert sein. Das wäre bei mir der Fall, alles gleich 2.
> Lass ich mir das allerdings zeichnen, seh ich eine Lücke an
> der Stelle 3... Hab ich was falsch gemacht ?
Da müsstest du mal nachrechnen, ob für die gegebene Funktion tatsächlich f(3)=2 gilt.
Gruß Abakus
> Diff.bar ist sie. Sie ist in der Umgebung von 3 definiert
> und der Differentialquotient an der Stelle 3 exisitiert,
> ist von beiden Seiten gleich 4.
>
> zu b) hier ist mir die aufgabe nicht ganz klar um ehrlich
> zu sein.
>
> Lg,
>
> exeqter
|
|
|
| |
|
hallo,
ja, habe die funktion auch im CAS definiert und f(3)=2 gilt.
War mein Vorgehen ansonsten richtig ?
Lg,
exeqter
|
|
|
| |
|
Hallo!
Also, die Aufgabenstellung spricht davon, daß du eine Funktion finden sollst, die zunächst die gegebene Funktion zu einer stetigen ergänzt und in x=3 differenzierbar ist. Das heißt, differenzierbarkeit in x=0 ist gar nicht gefragt. Damit fliegt die zugehörige Gleichung, und die gesuchte Funktion wird zu einer quadratischen.
Das, was du da bestimmt hast, ist überall differenzierbar und eher bei Teil b) gefragt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:23 Do 12.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo!
>
> Also, die Aufgabenstellung spricht davon, daß du eine
> Funktion finden sollst, die zunächst die gegebene Funktion
> zu einer stetigen ergänzt und in x=3 differenzierbar ist.
> Das heißt, differenzierbarkeit in x=0 ist gar nicht
> gefragt. Damit fliegt die zugehörige Gleichung, und die
> gesuchte Funktion wird zu einer quadratischen.
Wieso quadratisch? Die Kurve lässt sich knickfrei mit einer simplen Geraden fortsetzen.
Gruß Abakus
>
> Das, was du da bestimmt hast, ist überall differenzierbar
> und eher bei Teil b) gefragt.
|
|
|
| |
|
> Wieso quadratisch? Die Kurve lässt sich knickfrei mit
> einer simplen Geraden fortsetzen.
Das ist möglicherweise zufällig so (ich habe nichts
gerechnet). Grundsätzlich sind hier drei einzelne
Bedingungen zu erfüllen, und dazu sind vorerst
drei freie Parameter nötig - die hat man nur mit
einem quadratischen, nicht mit einem linearen
Ansatz. Wenn sich dann herausstellt, dass das
quadratische Glied herausfällt: à la bonheur -
aber damit konnte man nicht im Voraus rechnen.
LG
|
|
|
| |
|
> Gegeben ist eine abschnittsweise definierte Funktion:
>
> [mm]\bruch{14x^{2}-106x+180}{x^{2}-5x}[/mm] für [mm]x\ge3[/mm]
>
> r(x) für 0<x<3
>
> [mm]e^{x}+1[/mm] für [mm]x\le0[/mm]
>
> r(x) ist eine Polynomfunktion unbekannten Grades
>
> a) Bestimmen sie [mm]r_{1}(x)[/mm] von so geringem Grad wie möglich,
> so dass damit f stetig und an der Stelle 3 differenzierbar
> wird.
> also zu a) sind meine Überlegungen folgende:
>
> Die Polynomfkt sollte dritten Grades sein, ergo brauche ich
> 4 bedingungen, die da wären:
>
> r(0)=2
> r(3)=2
> r'(0)=1
> r'(3)=4
Woher nimmst du die "Erkenntnis", dass r vom
dritten Grad sein soll ?
Tatsächlich muss das nicht so sein. Beachte
genau die (minimalen) Forderungen, die erfüllt
werden müssen !
LG
|
|
|
| |
|
hallo,
und danke für die antworten!
das nahm ich aus der tatsache, dass mir diese Bedingungen als minimal vorkamen um die Bedingungen zu erfüllen.
Lg
|
|
|
| |
|
Hallo!
Na, du hast eine Bedingung zuviel eingebaut, siehe oben.
|
|
|
|
