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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Sa 28.01.2006 | | Autor: | zeusin |
| Aufgabe | | |x-2|+|x+1| [mm] \le [/mm] 4-|x| |
Hallo, ich soll die x bestimmen die die Ungleichung erfüllen, mir is klar dass man Fallunterscheidung macht auch dass ich in verschiedenen Intervallen die Fallunterscheidungen machen muss aber dann komm ich schon nichmehr weiter, wieviel Fallunterscheidungen habe ich denn insgesamt und wann muss ich mit < 0 und >0 nehmen...habe irgendwie keine Ahnung, vor allem irritiert mich auch der Betrag auf der rechten Seite, könnte man denn einfach links rüberziehn oder muss mna da auhc noch was bei beachten, is ja schließlich ne Ungleicung und keine geewöhnliche Gleichung *heul*
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:04 Sa 28.01.2006 | | Autor: | smee |
Hallo zeusin!
Du musst bei deiner Aufgabe 4 Fallunterscheidungen machen. Auf die Intervalle kommst du, indem du betrachtest, wann die Ausdrücke zwischen den Betragsstrichen negativ und wann sie positiv sind ...
D.h. 1. Fall: $x [mm] \ge [/mm] 2$
Hier sind alle Ausdrücke positiv und du erhältst:
$x-2+x+1 [mm] \le [/mm] 4 - x [mm] \gdw [/mm] x [mm] \le \frac{5}{3}$
[/mm]
Das ist aber ein Widerspruch zu der Voraussetzung, dass $x [mm] \ge [/mm] 2$ sein soll! D.h. für diesen Fall ist die Ungleichung nicht erfüllt.
2. Fall: $0 [mm] \le [/mm] x < 2$
1. Ausdruck wird nun negativ, d.h. die Vorzeichen drehen sich um, die anderen bleiben positiv:
$-x+2+x+1 [mm] \le [/mm] 4 - x [mm] \gdw [/mm] x [mm] \le [/mm] 1$
Kein Widerspruch, also erfüllen schon mal alle $x [mm] \in [/mm] [0, 1]$ die Ungleichung.
Die beiden anderen Fälle gehen ganz analog.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Sa 28.01.2006 | | Autor: | zeusin |
| Aufgabe | | |x-2|+|x+1| $ [mm] \le [/mm] $ 4-|x| |
also habe jetzt folgendes raus, wollte nur wissen, ob das richtig so is
1.Betrag wurde ja schon gemacht, kam raus [0,1]
2.Betrag: |x+1|
1.Fall: x+1 [mm] \ge [/mm] 0 |x+1| = x+1
x [mm] \ge [/mm] -1
x-2+x+1 [mm] \le [/mm] 4-x
krieg ich raus x [mm] \le [/mm] 5/3 erfüllt die Bedingung, also [-1;5/3]
2.Fall: x+1 [mm] \le [/mm] 0 |x+1|=-x-1
x [mm] \le [/mm] -1
x-2-x-1 [mm] \le [/mm] 4-x
-7 [mm] \le [/mm] -x
7 [mm] \ge [/mm] x
erfüllt nich die Bedingung, dass kleiner -1, gehört nich zur Lösungsmenge
und 3.Betrag |x|
1.Fall x [mm] \ge [/mm] 0 |x|=x
x-2+x+1 [mm] \le [/mm] 4-x
x [mm] \le [/mm] 5/3
erfüllt die Bedingung, dass größer 0, also [0;5/3]
2.Fall x [mm] \le [/mm] 0 |x|=-x
x-2+x+1 [mm] \le [/mm] 4+x
x [mm] \le [/mm] 5
erfüllt nich die Bedingung, gehört nich mit zur Lösungsmenge (oder erfüllt sie die Bed doch?)
bei dem rot geschriebenen bin ich mir ganz unsicher, ob das so stimmt
und muss ich dann meine Intervalle noch zusammen fassen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Sa 28.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo zeusin,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Du kannst nicht immer nur ein Betrag mit dem entsprechenden Intervall betrachten. Da musst Du die entsprechenden Beträge betrachten.
Insgesamt musst Du hierbei 4 Lastfälle untersuchen, die sich durch die einzelnen "Knickpunkte" der Beträge ergeben:
1. Fall $x \ < \ -1$
Damit gilt für die einzelnen Beträge:
$|x-2| \ = \ -(x-2) \ = \ -x+2$
$|x+1| \ = \ -(x+1) \ = \ -x-1$
$|x| \ = \ -x$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] zu untersuchende Ungleichung:
$-x+2 - x-1 \ [mm] \le [/mm] \ 4-(-x)$
2. Fall $-1 \ [mm] \le [/mm] \ x \ < \ 0$
$|x-2| \ = \ -(x-2) \ = \ -x+2$
$|x+1| \ = \ +(x+1) \ = \ x+1$
$|x| \ = \ -x$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] zu untersuchende Ungleichung:
$-x+2 + x+1 \ [mm] \le [/mm] \ 4-(-x)$
3. Fall $0 \ [mm] \le [/mm] \ x \ < \ 2$
$|x-2| \ = \ -(x-2) \ = \ -x+2$
$|x+1| \ = \ +(x+1) \ = \ x+1$
$|x| \ = \ +x \ = \ x$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] zu untersuchende Ungleichung:
$-x+2 + x+1 \ [mm] \le [/mm] \ 4-x$
4. Fall $2 \ [mm] \le [/mm] \ x$
$|x-2| \ = \ +(x-2) \ = \ x-2$
$|x+1| \ = \ +(x+1) \ = \ x+1$
$|x| \ = \ +x \ = \ x$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] zu untersuchende Ungleichung:
$x-2 + x+1 \ [mm] \le [/mm] \ 4-x$
Als Gesamtlösung solltest Du dann erhalten: $L \ = \ [mm] \{ \ -1 \ \le \ x \ \le \ +1 \ \}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Sa 28.01.2006 | | Autor: | zeusin |
hm..irgendwie steh ich jetzt total aufm Schlauch, also erstens woher kommen deine Grenzen, sind das die, die den Betrag 0 werden lassen und bei deinem 3 Fall versteh ich nich wenn doch -1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 0 sein soll, wie dann aus 2-x zwar -2+x wird aus x+1 jedoch +x+1 bleibt.....hm komisch
achso DANKE FÜR DIE HERZLICHE BEGRÜSSUNG!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:32 Sa 28.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo zeusin!
> sind das die, die den Betrag 0 werden lassen
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Ganz genau!
> und bei deinem 3 Fall versteh ich nich wenn doch -1 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 0 sein soll,
Du meinst jetzt den 2. Fall, oder?
> wie dann aus 2-x zwar -2+x wird aus x+1 jedoch +x+1 bleibt.....
Betrachten wir zunächst den Betrag $|x-2|_$ :
[mm] |x-2|=\begin{cases} -(x-2) \ = \ \red{-x+2}, & \mbox{für } x \ < \ +2 \mbox{} \\ +(x-2) \ = \ +x-2, & \mbox{für } x \ \ge \ +2 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Ebenso:
[mm] |x+1|=\begin{cases} -(x+1) \ = \ -x-1, & \mbox{für } x \ < \ -1 \mbox{} \\ +(x+1) \ = \ \red{+x+1}, & \mbox{für } x \ \ge \ -1 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Und beim 2. Fall mit $-1 \ [mm] \le [/mm] \ x \ < \ 0$ sind jeweils die rot markierten Terme maßgebend.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:44 Sa 28.01.2006 | | Autor: | zeusin |
ok, das gibt natürlich Sinn, wenn dus so aufschreibst!
hm..werd mir das Ganze noch mal in aller Ruhe verinnerlichen und wenn noch mal nen Problem auftauchen sollte, frag ich nochma, ansonsten is glaube für den Anfang erstma alles geklärt(denke ich)
Danke für deine schnellen Antworten
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 So 29.01.2006 | | Autor: | zeusin |
ok, hab die Aufgabe verstanden, anchgerechnet und bin sogar auf die Ergebnisse gekommen*juchuu*
nur noch mal ne Frage wenn die Aufgabe anders lauten würde, was wäre wenn im rechten Term kein Betrag sondern einfach nur x dastünde?
würde ich dann nur von
x< -1
-1< x < 2
[mm] x\ge [/mm] 2
betrachten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:14 So 29.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo zeusin!
> würde ich dann nur von
> x< -1
> -1< x < 2
> [mm]x\ge[/mm] 2
> betrachten?
Genau ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:30 So 29.01.2006 | | Autor: | zeusin |
ok, dann bin ich beruhigt, dass ich diese Thema anscheinend jetzt wirklich richtig verinnerlicht habe,dank deiner super Unterstützung  )
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