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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:09 Mi 01.08.2007 | | Autor: | JKS1988 |
| Aufgabe | Beispielaufgabe:
Gegeben ist eine Ebene E. Bestimme alle Punkte, die von der Ebene den Abstand 3 haben.
E: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 \\ -1 \\ 4 } [/mm] + [mm] \lambda \pmat{ 1 \\ 0 \\ -2 } [/mm] + [mm] \mu \pmat{ 2 \\ 1 \\ 1 } [/mm] |
Hallo zusammen!
Also, die Aufgabenstellung dürfte klar sein.
Mein Lösungsansatz:
1. Es gibt unendlich viele Punkte, die die Bedingung des Abstandes von 3 erfüllen. Das macht das ganze meiner Meinung nach recht kompliziert. Mein Ansatz wäre, die Hessesche Normalenform aufzustellen und gleich 3 zu setzen.
--> [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 \\ -5 \\ 1 } [/mm]
--> ...Hessesche Normalenform aufstellen
--> man bekommt für [mm] x_{1},x_{2},x_{3} [/mm] verschiedene Bedingungen heraus, wie z.B.: [mm] x_{1} [/mm] = 0,5 * [mm] x_{2} [/mm] und [mm] x_{3} [/mm] = 2 * [mm] x_{2}
[/mm]
Wenn man diese Bedingungen nun hat, dann hat jeder Punkt zur Ebene den Abstand 3, welcher die Bedingungen erfüllt.
Ist das so richtig? denke nicht, verbessert mich bitte.
Gruß und besten Dank
JKS1988
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Hallo JKS!
Deine Idee mit der HESSE'schen Normalform ist schon mal sehr gut.
Diese lautet dann für Deine Ebene: $E \ : \ [mm] \vec{n}_0*\vec{x} [/mm] \ = \ d$
Die gesuchten Punktmengen (welche auch wieder Ebenen sind) ermittelt man, indem man nun von dem Wert $d_$ entweder 3 addiert oder subtrahiert:
[mm] $E_{1/2} [/mm] \ : \ [mm] \vec{n}_0*\vec{x} [/mm] \ = \ [mm] d\pm [/mm] 3$
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Mi 01.08.2007 | | Autor: | JKS1988 |
kannst du mir auch erklären warum man das so macht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Mi 01.08.2007 | | Autor: | JKS1988 |
sorry, ich bins nochmal :D weiß nicht wie man editieren kann.
also dann müsste es ja so aussehen (nach meinem wissen) :
" 1 geteilt durch den Betrag von [mm] \vec{n}" [/mm] * ( [mm] \vec{n} \* \vec{x} [/mm] - d ) = 3
oder??
und dann kann man sich einen punkt errechnen , indem man 2 x werte einsetzt und den 3ten ermittelt und anschließend nimmt man die richtungsvektoren der ebene E und hat so eine parallele ebene mit dem abstand 3. dasselbe macht man dann mit
" 1 geteilt durch den Betrag von [mm] \vec{n}" [/mm] * ( [mm] \vec{n} \* \vec{x} [/mm] - d ) = -3
ist das jetzt so richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 Mi 01.08.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
> sorry, ich bins nochmal :D weiß nicht wie man editieren
> kann.
Du klickst auf deine Frage, dann auf reagieren, und dann steht dort irgendwo die Möglichkeit "Artikeltext bearbeiten".
>
> also dann müsste es ja so aussehen (nach meinem wissen) :
>
> " 1 geteilt durch den Betrag von [mm]\vec{n}"[/mm] * ( [mm]\vec{n} \* \vec{x}[/mm]
> - d ) = 3
>
> oder??
Ja, du hast ja nichts anderes gemacht, als auf das d die 3 abzuziehen.
Du bringst deine Ebene in die HNF und dann gibt dir ja die Zahl (also dein d) den Abstand Ebene Ursprung an, wenn d>0 (damit dort das Minuszeichen noch steht). Auf dieses d musst du dann einmal 3 addieren oder 3 subtrahieren.
Warum das so ist siehe meine andere Antwort.
Der Normalenvektor bleibt ja gleich, nur du musst das d, also den Abstand Ebene Ursprung verändern!
>
> und dann kann man sich einen punkt errechnen , indem man 2
> x werte einsetzt und den 3ten ermittelt und anschließend
> nimmt man die richtungsvektoren der ebene E und hat so eine
> parallele ebene mit dem abstand 3. dasselbe macht man dann
> mit
>
>
> " 1 geteilt durch den Betrag von [mm]\vec{n}"[/mm] * ( [mm]\vec{n} \* \vec{x}[/mm]
> - d ) = -3
>
> ist das jetzt so richtig?
Ja, das sollten die beiden Ebenen sein.
Warum willst du dann aber zwei Punkte noch ausrechnen etc? Du hast dein Ergebnis doch direkt dort stehen.
Du hast ja im Prinzip genau das selbe gemacht wie der Roadrunner, nämlich einmal auf das d drei addiert und einmal abgezogen.
Noch ne Anmerkung von meiner Seite: Das d, welches in der Klammer steht ist NICHT der Abstand Ebene Ursprung. d/n, also dein d geteilt durch den Betrag des Normalenvektors ist der Abstand Ebene Ursprung!
LG
Kroni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Mi 01.08.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
denk dir ne Ebene in der HNF. Dann gibt dir d den Abstand Ursprung Ebene an.
Es gibt in der Tat unendlich viele Punkte, die von der Ebene den Abstand 3 haben. Diese Punkte liegen alle auf einer Parallen Ebene zu deiner ursprünglichen Ebene.
Angenommen, deine vorgegebene Ebene hat den Abstand 1 zum Ursprung. Dann bildest du dir eine Ebene, die einmal den Abstand 4 zum Ursprung hat (dann ist der Abstand zur anderen Ebene nämlich 3) oder einmal, die den Abstand 2 zum Ursprung hat, allerdings auf der anderen Seite des Ursprungs liegt (also demnach -2). Dann ist der Abstand der beiden Ebenen auch 3.
Stell dir das vor, und so kommst du dann zum richtigen Ergebnis.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:13 Do 02.08.2007 | | Autor: | JKS1988 |
hallo!
danke, habe es soweit kapiert.nochmal zusammenfassend: man verändert die gegebene ebenengleichung (den abstand "d") quasi nur um [mm] \pm [/mm] 3 und bekommt so die 2 neuen, parallelen ebenen heraus, welche den abstand 3 zur gegebenen ebene haben.
ich hoffe das ist so richtig.
gruß und dank
JKS1988
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:34 Do 02.08.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo JKS!
Richtig verstanden! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 Do 02.08.2007 | | Autor: | JKS1988 |
Ok, dann bin ich ja beruhigt :D
die aufgabenstellungen im buch haben mich ganz schön verwundert.
"Gegeben ist E. (in Koord. gleichung). Bestimme alle Punkte des Abstandes 2 von der Ebene."
--> kann man sich schlecht vorstellen die aufgaben einfach nur abzuschreiben und auf der rechten seite um 2 und minus 2 zu erhöhen...klingt so einfach...
naja wenigstens lerne ich langsam den nutzen der koord. gleichung schätzen. gruß und vielen, vielen dank.
ach da fällt mir noch eine letzte frage ein: d ist der abstand einer Ebene zum Ursprung, ne? durch welchen rechenweg lässt sich das beweisen oder feststellen? danke
JKS1988
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Do 02.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn die Ebenengl. in Koordinatenform gegeben ist musst du sie ja erst ind die hessische Form umformen, das zu sehen ist die eigentliche Aufgabe!
Gruss leduart
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Es gibt ja immer viele Wege, die nach Rom (sprich: zur Lösung) führen.
Ich würde die Aufgabe folgendermaßen lösen:
Durch die Vektoren [mm] \vektor{1 \\ 0 \\-2 } [/mm] und [mm] \vektor{2 \\ 1 \\1 } [/mm] ist ja bereits die Ebene und auch sämtliche parallelen Ebenen festgelegt. Daran muss also gar nichts mehr gedreht werden. Du musst jetzt also nur noch jeweils einen Punkt finden, der in den beiden Lösungs-Ebenen liegt
Dazu musst du einen Vektor finden, der senkrecht auf der Ebene steht, und die Länge 3 hat. Diesen Vektor addiert bzw. subtrahiert man dann von [mm] \vektor{2 \\ -1 \\4 }.
[/mm]
Wie kriegt man den Vektor raus?
Durch das Vektorprodukt [mm] \vektor{1 \\ 0 \\-2 } [/mm] x [mm] \vektor{1 \\ 0 \\-2 } [/mm] hat man schon mal die Richtung. Dann ermittelt man die Länge dieses Vektors - in diesem Fall [mm] \wurzel{30}.
[/mm]
Da die Länge aber nur 3 sein soll, ist der gesuchte Vektor [mm] \vektor{2 \\ 5 \\1 }*\bruch{3}{\wurzel{30}}
[/mm]
Und das addiert bzw. subtrahiert man dann zu [mm] \vektor{2 \\ -1 \\4 }. [/mm] Dann hat man die beiden Punkte. Die Richtungsvektoren für die beiden Ebenen sind ja unverändert mit denen in der Aufgabe.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:53 Fr 03.08.2007 | | Autor: | JKS1988 |
Danke, Danke! Kann geschlossen werden.
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