Abstand < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 Do 23.11.2006 | | Autor: | Dr.Sinus |
| Aufgabe | Es sei die Funktion y=x².
Welcher Punkt der Kurve hat den minimalen Abstand zu P=3/1? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Könntet ihr bitte meinen Lösungsansatz korrigieren und eventuell fortführen?
Abstand : [mm] \wurzel{\pmat{ b1 - p1 \\ b2 - p2 }²}
[/mm]
Nebenbedingung: b1²=b2
P= 3/1
[mm] \wurzel{\pmat{ b1 - 3 \\ b1² - 1}²}= \wurzel{(b1-3)²+(b1-1)^{4}}
[/mm]
Stimmt dieser Ansatz? Was muss ich bei ^4 beachten (Binomische Formel)?
MfG
Dr
|
|
| |
|
Hallo.
Du stellst erstmal die allg Abstandsformel auf.
--> Dies ist deine Zielfunktion
g(x)= [mm] \wurzel{(x-3)^{2}+(y-1)^{2}}
[/mm]
Die Wurzel kannst du weglassen --> ändert nichts am Extremwertproblem
y durch [mm] x^{2} [/mm] ersetzen
[mm] g(x)=(x-3)^{2}+(x^{2}-1)^{2}
[/mm]
[mm] g(x)=x^{4}-x^{2}-6x+10
[/mm]
jetzt ableiten
[mm] g'(x)=4x^{3}-2x-6
[/mm]
[mm] g''(x)=12x^{2}-2
[/mm]
g'(x)=0
[mm] x\approx [/mm] 1,29 (genaueren Wert musst du mal selbst bestimmen)
g''(1,29)>0 [mm] \rightarrow [/mm] Minimum
[mm] g(1,29)\approx [/mm] 1,66
Also hat der Punkt die Koordinaten (1,29/1,66).
Abstand rund 1,833.
Machs gut und melde dich, wenn du noch ein Paar Fragen hast.
Tschüß sagt Röby
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Do 23.11.2006 | | Autor: | Dr.Sinus |
"Die Wurzel kannst du weglassen --> ändert nichts am Extremwertproblem"
Könntest du mir das genauer erläutern?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 Do 23.11.2006 | | Autor: | Brumm |
Du kannst anstelle von
$ g(x) = [mm] \wurzel{(x-3)^{2}+(y-1)^{2}} [/mm] $
bedenkenlos
$ [mm] (x-3)^{2}+(y-1)^{2} [/mm] $
betrachten.
Denn die Wurzelfunktion ist streng monoton, das heißt wenn du hier ein Extremum findest, ist es auch eines auf deinem ursprünglichen g(x)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Do 23.11.2006 | | Autor: | Dr.Sinus |
| Aufgabe | | Finde die Extrempunkt von [mm] y=\wurzel{x^4-x^2-6x+10} [/mm] |
Es muss ergo der Extrempunkt von [mm] y=\wurzel{x} [/mm] derjenige von y=x sein?!
Ich muss als Beweis noch die "kompliziertere Variante" beweisen, also
[mm] y=\wurzel{x^4-x^2-6x+10}
[/mm]
Das wäre dann:
[mm] f(x)=x²-x-6x^1/2+\wurzel{10}
[/mm]
f'(x)= 2x-1-3x^-1/2
Wie kann ich diesen Ausdruck auf 0 setzen??
|
|
|
| |
|
> [mm]y=\wurzel{x^4-x^2-6x+10}[/mm]
>
> Das wäre dann:
> [mm]f(x)=x²-x-6x^1/2+\wurzel{10}[/mm]
> f'(x)= 2x-1-3x^-1/2
>
DAS war sicherlich ein Scherz, oder????
Vergesse das, du kannst doch so keine Wurzel ziehen.
Dass das ja nicht dein Mathelehrer sieht 
Quadriere die Gleichung und leite ab, wie oben schon gemacht.
[mm] x_{Min}=1,29 [/mm] und [mm] y_{Min}=3,3651 [/mm]
ABER man hat quadriert --> Wurzel ziehen von [mm] y_{Min}
[/mm]
Also der Punkt (1,29/1,83).
Tschüß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Do 23.11.2006 | | Autor: | Dr.Sinus |
Schande über mein Haupt!
Aber mit meinen bescheidenen Kenntnissen der quadratischen Gleichung
( [mm] -b\pm \wurzel{b²-4AC}/ [/mm] 2A ) kann ich leider keine derartige Rechnung lösen.
Wie kann ich x³-2x-6 lösen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:10 Do 23.11.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> Schande über mein Haupt!
> Aber mit meinen bescheidenen Kenntnissen der quadratischen
> Gleichung
> ( [mm]-b\pm \wurzel{b²-4AC}/[/mm] 2A ) kann ich leider keine
> derartige Rechnung lösen.
>
> Wie kann ich x³-2x-6 lösen?
bist du sicher, dass das Polynom stimmt?
[mm] x_1=2,179981072
[/mm]
[mm] x_2=-1,08999-1,25069i
[/mm]
[mm] x_3=-1,08999+1,25069i
[/mm]
ansonsten hilft bei Polynomen dritter Ordnung die Formel nach ![[]](/images/popup.gif) Cardano <-- click it
Liebe Grüße
Herby
|
|
|
| |
|
Nutze die Formel von oben bzw. Setze es einfach in den Taschenrechner ein oder zeichne die Funktion.
Es reicht sicher ein gerundeter Wert
[mm] x\approx [/mm] 1,2896239014
Machs gut
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Do 23.11.2006 | | Autor: | Dr.Sinus |
Beim Ausrechnen ergab sich leider ein weiteres Problem:
f'(x)= 4x³+2x-6
Bei ist die einzige Extremstelle bei x=1 ( was ja auch im Kopf nachvollziehbar ist)
Woher resultiert die Diskrepanz dieser zwei Ergebnisse?
,
|
|
|
| |
|
> Beim Ausrechnen ergab sich leider ein weiteres Problem:
>
> f'(x)= 4x³+2x-6
> Bei ist die einzige Extremstelle bei x=1 ( was ja auch im
> Kopf nachvollziehbar ist)
> Woher resultiert die Diskrepanz dieser zwei Ergebnisse?
> ,
Hallo.
f'(x)= 4x³-2x-6
Denke das dürfte rechen (da steht ein "Minus" vor 2x)
Tschüß
|
|
|
| |
|
Hallo!
Du kannst auch das Extremwertproblem umgehen, wenn Du folgendes nutzt:
Kandidaten für eine minimale Entfernung erhält man, wenn die Normale an den Graphen den vorgegebenen Punkt enthält.
Normalengleichung an den Graphen in B$(u [mm] \mid [/mm] f(u) )$ aufstellen.
Punktprobe mit dem vorgegebenen Punkt => Gleichung in $u$.
Lösen.
Entfernungen vergleichen.
Kleinste Entfernung = Abstand.
Gruß
mathemak
|
|
|
|
