Abstand: Ebene zum Ursprung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:48 Di 10.01.2006 | | Autor: | Gwin |
| Aufgabe | | Eine Ebene E ist durch die Achsenabschnitte a=15/2, b=15/2 und c=15 bestimmt. Welchen Abstand hat die Ebene E vom Ursprung? |
hallo...
Ich habe für die aufgbe eine lösung nur weiß ich überhaupt nicht ob diese richtig ist da ich nicht sicher bin ab ich das mit der achsenabschnittsform richtig verstanden habe... Vieleicht könnte sich ja mal jemand meine lösung anschauen...
meine Lösung:
a=15/2, b=15/2, c=15 | um die brüche wech zu bekommen alles mit 2* nehmen
--> a=15, b=15, c=30
E: [mm] \bruch{x}{15}+\bruch{y}{15}+\bruch{z}{30}=1 [/mm] |*30
E: 2x + 2y + z - 30 = 0
daraus kann man dann den Normalenvektor [mm] \overrightarrow{n} [/mm] = (2,2,1) ablesen. [mm] |\overrightarrow{n}| [/mm] = [mm] \wurzel{4+4+1} [/mm] = 3
jetzt habe ich die Hessische Normalenform gebildet:
[mm] \bruch{1}{3}*(2x+2y+z-30)=0 [/mm] <--> [mm] \bruch{2}{3}x+\bruch{2}{3}y+ \bruch{1}{3}z-10=0 [/mm] --> Die Ebene E hat einen Abstand von 10 LE vom Ursprung... Oder muß ich hier wieder durch 2 teilen weil ich ja am anfang mit 2 multipliziert habe?
ist meine lösung richtig?
Vielen dank schon mal im vorraus...
mfg Gwin
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Hallo,
also du gehst genau den richtigen Weg. Zunächst Ebenengleichung aufstellen und dann die Hesse'sche Normalform ausrechnen. Damit hast du ja quasi schon den Richtungsvektor für deine Gerade. Diese muss nämlich senkrecht auf E stehen und durch den Ursprung verlaufen. Dann brauchst du nur den Schnittpunkt von E und g auszurechnen und davon dann Abstand zum Ursprung.
Diese Multiplikation mit der 2 hätte ich erst gar nicht gemacht. Du kannst doch die Ebenengleichung auch so aufstellen. Wenn du sie hast, dann kannst du geeignet multiplizieren, um die Nenner wegzubekommen.
Die Ebene hat für verschiedene Punkte auch verschiedene Abstände zum Ursprung. Du kannst also nicht für irgendeinen Punkt der Ebene den Abstand ausrechnen. Also Geradengleichung bestimmen, Schnittpunkt und dann den Abstand!
Viele Grüße
Daniel
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