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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:54 Mi 26.03.2008 | | Autor: | blinktea |
| Aufgabe | | Berechnen Sie den kürzesten Abstand zwischen der Geraden y=x+4 und der Ellipse [mm] x^2+4y=4. [/mm] |
Hallo,
also es soll der kürzeste Abstand berechnet werden. Leider weiß ich nicht wie ich anfangen muss. Ein kleiner Ansatz oder Tipp wären sehr hilfreich:).
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:05 Mi 26.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie den kürzesten Abstand zwischen der Geraden
> y=x+4 und der Ellipse [mm]x^2+4y=4.[/mm]
Hier fehlt was. Das ist keine Ellipse.
> Hallo,
>
> also es soll der kürzeste Abstand berechnet werden. Leider
> weiß ich nicht wie ich anfangen muss. Ein kleiner Ansatz
> oder Tipp wären sehr hilfreich:).
>
> Danke
Hallo,
kennst du die Tangentengleichung für Ellipsen?
Du brauchst die Tangente(n) mit dem gleichen Anstieg wie die gegebene Gerade (d.h. eine zu g parallele Tangente). Im Berührungspunkt errichtest du dann die Normale. Diese steht sowohl senkrecht auf der Ellipse als auch auf der Geraden, deshalb findest du dort den kürzesten Abstand.
(Genaugenommen brauchst du die Tangente gar nicht, sonern nur die Stelle mit dem gleichen Anstieg wie die Gerade.)
Viele Grüße
Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Do 27.03.2008 | | Autor: | blinktea |
Die Ellipse lautet: [mm] x^2+4y^2=4, [/mm] da hab ich mich verschrieben.
Die Tangentengleichung für Ellipsen ist:
[mm] b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2
[/mm]
Die Steigung der Geraden ist 1, also muss ich nur gucken, bei welchem Wert die Steigung der Ellipse 1 ist??
Ich hab das einfach mal gemacht. Dann habe ich folgendes:
die Ellipsengleichung nach y aufgelöst: y= [mm] \wurzel{1-\bruch{1}{4}x^2}
[/mm]
Dann die Ableitung bilden: y'= [mm] -\bruch{1}{4}x \bruch{1}{\wurzel{1-\bruch{1}{4}x^2}} [/mm] Das hab ich dann gleich 1 gesetzt.
[mm] -\bruch{1}{4}x \bruch{1}{\wurzel{1-\bruch{1}{4}x^2}}=1
[/mm]
[mm] x_1=\bruch{4}{\wurzel{5}}
[/mm]
[mm] x_2=-\bruch{4}{\wurzel{5}}
[/mm]
Hab ich das so richtig verstanden, oder ist das falsch??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 Do 27.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Die Ellipse lautet: [mm]x^2+4y^2=4,[/mm] da hab ich mich
> verschrieben.
> Die Tangentengleichung für Ellipsen ist:
> [mm]b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2[/mm]
Das ist die Ellipsengl. nicht die der Tangente!
Wenn du die Tangentengl. kennst gehts ohne differenzieren.
sonst ist deine Rechng richtig. du hast also die x. KOO der 2 möglichen Pkte.
aber du musst noch den Abstand berechnen!
also wirklich den Abstand der Geraden von der parallelen Tangente, oder vom Berührpkt.zur Geraden.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Do 27.03.2008 | | Autor: | blinktea |
Also wenn ich die x-werte einsetze bekomme ich:
Geradengleichung:
[mm] y_1(\bruch{4}{\wurzel{5}})=2,211
[/mm]
[mm] y_2(-\bruch{4}{\wurzel{5}})= [/mm] 5,788
Ellipsengleichung:
[mm] y_1((\bruch{4}{\wurzel{5}})= [/mm] 0,45
[mm] y_2(-\bruch{4}{\wurzel{5}})= [/mm] -0,45
Dann hab ich einmal den Abstand
1. 2,211-0,45 = 1,761
2. 5,788-(-0,45)= 6,238
Also ist der kürzestet Abstand 1,761...Oder sind die Zusammenhänge nicht richtig??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 Do 27.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Also wenn ich die x-werte einsetze bekomme ich:
>
> Geradengleichung:
> [mm]y_1(\bruch{4}{\wurzel{5}})=2,211[/mm]
> [mm]y_2(-\bruch{4}{\wurzel{5}})=[/mm] 5,788
Ich versteh das nicht? hast du den x Wert des Punktes auf der Ellipse in die Gerade y=x+4 eingesetzt? wenn ja, dann versteh ich dein ergebnis nicht, wenn nein wo dann?
> Ellipsengleichung:
>
> [mm]y_1((\bruch{4}{\wurzel{5}})=[/mm] 0,45
> [mm]y_2(-\bruch{4}{\wurzel{5}})=[/mm] -0,45
auch das versteh ich nicht, zu jeem x Wert gibts doch 2 y Werte!
Abstand ist immer senkrechter Abstand! skizzier doch mal die Ellipe und die Gerade und die 2 Punkte, wo du ne parallele Tangente hast, dann zeichne den Abstand (Senkrechte vom Berührpkt. auf die Gerade ein.
Mach zu allen geometrischen Aufgaben immer erst ne Skizze, das spart viel Zeit, und sie muss ja nicht sehr genau sein!
was du ausrechnest ist die vertikale Entfernung!
> Dann hab ich einmal den Abstand
> 1. 2,211-0,45 = 1,761
> 2. 5,788-(-0,45)= 6,238
> Also ist der kürzestet Abstand 1,761...Oder sind die
> Zusammenhänge nicht richtig??
Leider ja.
Gruss leduart
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