Abstand Gerade-Kreis,Tangenten < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ich hoffe, dass ihr mir mit folgendem Aufgabentyp helfen könnt. Leider habe ich momentan nur geringe Kenntnisse von der Materie, so dass ich euch bitten möchte, mir nicht nur Tipps anzugeben. (Bitte nicht mit vektorieller Kreis/Geradengleichung arbeiten, außer ihr erklärt mir die Schreibweise dann auch noch.)
1. Gegeben ist eine Kreisgleichung (bspw. in der Form x*x+y*y+Ax+Bx+D=0) und eine Passante mit der Gleichung y = mx+n.
Wie berechne ich den Abstand der Gerade vom Kreis?
Möglicherweise mit der Parallelen zur Passante als Tangente und dann den Abstand der beiden Geraden, aber weder die Ermittlung der Tangenten (der Anstieg ist bekannt, aber sonst?) noch die Abstandsberechnung bekomme ich auf effiziente Weise hin. Wenn der Berührpunkt bekannt wäre, könnte man ja den Schnittpunkt der Normalen mit der Geraden ermitteln und dann den Abstand beider Punkte. Ich denke wohl zu kompliziert.
2. Es ist ein Punkt im KOS gegeben, weiterhin ein Kreis. Alle Tangenten von diesem Punkt aus sollen ermittlet werden. Was ist der schnellste Weg dafür?
3. EIne Aufgabe aus einem Lehrbuch, leider ohne Lösungen:
"Bestimmen Sie alle Mittelpunkte Mi mit i=1,2... und deren Radius ri mit i=1,2... aller Kreise ki. Bedingungen:
a) A(1;1) [mm] \in [/mm] ki
b) B(5;2) [mm] \in [/mm] ki
c) MiA = MiB = AB (eigentlich überstrichen)"
Wie geht man da vor?
Vielen Dank im Voraus.
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> Ich hoffe, dass ihr mir mit folgendem Aufgabentyp helfen
> könnt. Leider habe ich momentan nur geringe Kenntnisse von
> der Materie, so dass ich euch bitten möchte, mir nicht nur
> Tipps anzugeben. (Bitte nicht mit vektorieller
> Kreis/Geradengleichung arbeiten, außer ihr erklärt mir die
> Schreibweise dann auch noch.)
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> 1. Gegeben ist eine Kreisgleichung (bspw. in der Form
> x*x+y*y+Ax+Bx+D=0) und eine Passante mit der Gleichung y =
> mx+n.
> Wie berechne ich den Abstand der Gerade vom Kreis?
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> Möglicherweise mit der Parallelen zur Passante als Tangente
> und dann den Abstand der beiden Geraden, aber weder die
> Ermittlung der Tangenten (der Anstieg ist bekannt, aber
> sonst?) noch die Abstandsberechnung bekomme ich auf
> effiziente Weise hin. Wenn der Berührpunkt bekannt wäre,
> könnte man ja den Schnittpunkt der Normalen mit der Geraden
> ermitteln und dann den Abstand beider Punkte. Ich denke
> wohl zu kompliziert.
Zuerst würde ich an Deiner Stelle mittels quadratischem Ergänzen die Kreisgleichung auf Mittelpunktsform transformieren: daraus kannst Du dann den Mittelpunkt $M$ und den Radius $r$ des Kreises $k(M,r)$ ablesen.
Der Abstand $d(g,k)$ einer Geraden $g$ von diesem Kreis $k$ ist dann
[mm]d(g,k)=\begin{cases} d(M,g)-r &\text{falls $d(M,g)\geq r$ ist}\\
0 &\text{sonst}
\end{cases}[/mm]
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> 2. Es ist ein Punkt im KOS gegeben, weiterhin ein Kreis.
> Alle Tangenten von diesem Punkt aus sollen ermittlet
> werden. Was ist der schnellste Weg dafür?
Sei etwa [mm] $P(x_P|y_P)$ [/mm] der gegebene Punkt und $k: [mm] (x-x_M)^2+(y-y_M)^2=r^2$ [/mm] der gegebene Kreis in Mittelpunktsform.
1. Fall: Wenn $P$ innerhalb von $k$ liegt, gibt es natürlich keine Tangenten durch $P$ an $k$.
2. Fall: Wenn $P$ auf $k$ liegt, gibt es genau eine Tangente durch $P$ an $k$. Diese eine Tangente lässt sich am einfachsten durch Polarisieren der Kreisgleichung finden: deren Geradengleichung ist [mm] $t:\, (x_P-x_M)\cdot (x-x_M)+(y_P-y_M)\cdot (y-y_M)=r^2$. [/mm] Falls Du dieses Vorgehen unverständlich findest, kannst Du eine Gleichung von $t$ auch daraus bestimmen, dass $t$ auf dem Berührradius $MP$ senkrecht stehen und durch $P$ gehen muss.
3. Fall: Liegt $P$ ausserhalb von $k$, so kann man zwar die Gleichung der Geraden durch die Berührpunkte [mm] $B_{1,2}$ [/mm] der beiden Tangenten [mm] $t_{1,2}$ [/mm] von $P$ wiederum durch Polarisieren der Kreisgleichung finden, aber oft wird es als "intuitiver" empfunden, wie bei der elementargeometrischen Konstruktion der Tangenten von $P$ an $k$ vorzugehen: man schneidet $k$ mit dem Thaleskreis über der Strecke $PM$. Daraus erhält man die Berührpunkte [mm] $B_{1,2}$ [/mm] der beiden Tangenten [mm] $t_{1,2}$. [/mm] Zusammen mit $P$ ergeben sich daraus die Geradengleichungen von [mm] $t_{1,2}$.
[/mm]
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> 3. EIne Aufgabe aus einem Lehrbuch, leider ohne Lösungen:
> "Bestimmen Sie alle Mittelpunkte Mi mit i=1,2... und deren
> Radius ri mit i=1,2... aller Kreise ki. Bedingungen:
> a) A(1;1) [mm]\in[/mm] ki
> b) B(5;2) [mm]\in[/mm] ki
> c) MiA = MiB = AB (eigentlich überstrichen)"
> Wie geht man da vor?
Dass ein Kreis [mm] $k_i(M_i,r_i)$ [/mm] durch die beiden Punkte $A$ und $B$ geht bedeutet, dass sein Mittelpunkt [mm] $M_i$ [/mm] von $A$ und $B$ denselben Abstand (=Kreisradius [mm] $r_i$) [/mm] haben muss. Also liegt [mm] $M_i$ [/mm] auf der Mittelsenkrechten [mm] $m_{AB}$ [/mm] der Strecke $AB$.
Die Bedingung c) besagt, dass die drei Punkte [mm] $ABM_i$ [/mm] ein gleichseitiges Dreieck bilden. Also gibt es zwei mögliche Lösungen [mm] $k_i(M_i,r_i)$, [/mm] $i=1,2$, wobei [mm] $r_1=r_2=\overline{AB}$.
[/mm]
Du könntest, um die beiden Mittelpunkte [mm] $M_{1,2}$ [/mm] zu bestimmen, den Kreis [mm] $k(A,\overline{AB})$ [/mm] um $A$ mit Radius [mm] $\overline{AB}$ [/mm] mit der Mittelsenkrechten [mm] $m_{AB}$ [/mm] der Strecke $AB$ schneiden.
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Vielen, vielen Dank!
Eine kleine Frage habe ich noch - wie berechne ich den Abstand eines Punktes (also der Mittelpunkt) von der Geraden? (Ich stehe gerade ein wenig auf dem Schlauch, vor allem das jegliches Material, das ich dazu habe, eine mir nicht vertraute Form verwendet...)
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> Vielen, vielen Dank!
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> Eine kleine Frage habe ich noch - wie berechne ich den
> Abstand eines Punktes (also der Mittelpunkt) von der
> Geraden? (Ich stehe gerade ein wenig auf dem Schlauch, vor
> allem das jegliches Material, das ich dazu habe, eine mir
> nicht vertraute Form verwendet...)
Das hängt davon ab, was Du über Geradengleichungen weisst. Falls Du die sogenannte Hesse'sche-Normalform (kurz HNF) von Geraden im [mm] $\IR^2$ [/mm] kennst, dann kannst Du so vorgehen:
1. Weg: Sei [mm] $g:\, [/mm] ax+by+c=0$ die Geradengleichung und [mm] $P(x_P|y_P)$ [/mm] der Punkt. Dann ist der Abstand $d(P,g)$ von $P$ von der Geraden $g$ gleich
[mm]d(P,g)=\frac{|ax_P+by_P+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}[/mm]
2. Weg: Falls Du aber die Hesse'sche-Normalform und die allgemeine Geradengleichung $ax+by+c=0$ für den [mm] $\IR^2$ [/mm] (noch) nicht kennst, dann musst Du vom Punkt $P$ aus das Lot auf die Gerade [mm] $g:\,y=mx+q$ [/mm] fällen. Ist $F$ der Fusspunkt dieses Lotes, dann gilt $d(P,g)=d(P,F)$.
Bem.: Hat die Gerade $g$ Steigung $m$, so haben zu [mm] $g:\, [/mm] y=mx+q$ senkrechte Geraden die Steigung $-1/m$. Die zu $g$ senkrechte Gerade $n$ durch [mm] $P(x_P|y_P)$ [/mm] hat somit die Gleichung [mm] $n:\, y=-\frac{1}{m}(x-x_P)+y_P$ [/mm] ("Punkt-Steigungs-Form"). Diese Gerade müsstest Du also mit $g$ schneiden, um den Lotfusspunkt $F$ zu bestimmen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:54 Mo 15.09.2008 | | Autor: | kaliyanei |
Ok, danke! (Ich wüsste nicht, was ich ohne deine Hilfe getan hätte!)
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