Abstand P-G m. Hilfsebene < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:25 Do 09.06.2005 | | Autor: | Disap |
Moin Moin.
Eine Aufgabe macht mir zu schaffen. Und zwar kam ich partout nicht auf die Lösung, die in meinem Buch zur Linearen Algebra vom Lambacher Schweizer gegeben ist:
"Gegeben sind die Punkte
A (1 | -2| -7)
B (17 | -2| 5)
C (-8 | -2| 5).
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC."
Zunächst einmal ist die Flächeninhaltsformel für das Dreieck wichtig.
A= [mm] \bruch{g*h}{2}
[/mm]
Wenn man ungefähr vor Augen hat, wie ein Dreieck aussieht, dann kann man sich vorstellen, dass [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] die Grundseite ist.
[mm] \overrightarrow{AB}=\vektor{17-1 \\ -2+2 \\ 5+7}=\vektor{16 \\ 0 \\ 12}
[/mm]
[mm] |\overrightarrow{AB}| [/mm] = [mm] \wurzel{16^2+12^2} [/mm] = [mm] \wurzel{400} [/mm] = 20
Das heißt: g = 20 LE
A = [mm] \bruch{20*h}{2}
[/mm]
A = 10 * h
Und wie kommt man jetzt an die Höhe? (Eine rhetorische Frage). Indem man von der Geraden [mm] (g:\vec{x}=\overrightarrow{0A}+ \lambda\overrightarrow{AB} [/mm] den Abstand zum Punkt C berechnet.
Mir ist da ein Verfahren geläufig, bei dem man den Fusspunkt des Lots vom Punkt C liegt auf der Geraden G. (Das mit einer Hilfsebene erstellen, liegt mir nicht so) Der Punkt liegt auf der Geraden G und ist ein Vektor, nennen wir ihn [mm] \vec{b}. [/mm] Da der geringste Abstand immer etwas mit Orthogonalität zu tun hat, muss dieser Vektor also senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden stehen. (So viel zur ungefähren Definition).
Bestimmung der Geraden
[mm] g:\vec{x}=\vektor{1 \\ -2 \\ -7}+\lambda\vektor{16 \\ 0 \\ 12}
[/mm]
Den Vektor b bildet man durch den Punkt C subtrahiert von der Geraden g.
[mm] \vec{b}*Richtungsvektor=0
[/mm]
Rechnung
[mm] [\vektor{1 \\ -2 \\ -7}+\lambda\vektor{16 \\ 0 \\ 12}-\vektor{-8 \\ -2 \\ 5}]*\vektor{16 \\ 0 \\ 12} [/mm] = 0
[mm] [\vektor{9 \\ 0 \\ -12}+\lambda\vektor{16 \\ 0 \\ 12}]*\vektor{16 \\ 0 \\ 12} [/mm] =0
[mm] (9+16\lambda)*16+(0+0\lambda)*0+(-12+12\lambda)*12 [/mm] = 0
[mm] 144-144+256\lambda+144\lambda=0 [/mm] => [mm] \lambda=0
[/mm]
Das in die Geradengleichung eingesetzt ergibt => [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ -7} [/mm] = [mm] \vec{m}
[/mm]
Ich rechne diese Aufgabe ja nicht zum ersten Mal, aber beim Richtungsvektor hatte ich oft schon einige Minusse drin, deswegen vermute ich mal, dass ich mich irgendwo mit dem Vorzeichen vertan habe.
Ansonsten gehts weiter :
[mm] |\overrightarrow{CM}|=|\vektor{1+8 \\ -2+2 \\ -7-5}| [/mm] = [mm] |\vektor{9 \\ 0 \\ -12}| [/mm] = [mm] \wurzel{81+144} [/mm] = 15
Ursprünglich war die Frage, wo der Fehler ist, aber jetzt hats mit dem Formeleditor alles gepasst. Kann man mir evtl. sagen, wie ich den Abstand Punkt - Geraden über eine Hilfsebene lösen kann?
Oder einfach die Frage löschen, wäre eine Alternative ;)
Grüße Disap
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Habt ihr das Kreuz - oder Vektorprodukt schon gehabt? Denn damit geht das eigentlich recht schnell.
Der Betrag des Vektorproduktes gibt den Flächeninhalt eines Parallelogrammes an, das von zwei Vektoren aufgespannt wird. Dein Dreick würde dann der Hälfte davon entsprechen:
A=|( [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] x [mm] \overrightarrow{AC})|/2
[/mm]
x ist dabei das Vektorprodukt!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:57 Sa 11.06.2005 | | Autor: | Laia |
Hallo!
also, soweit ich das richtig verstanden habe, du willst wissen, wie man den abstand zwischen nem punkt und ner ebene berechnet, mithilfe einer hilfsebene.. soo, dh wir befinden uns im R³
ganz einfach, du bildest die hilfsebene so, dass der richtungsvektor der geraden der normalenvektor der ebene ist, somit hast du schon die hälfte der normalenform der ebene.
dann setzt du den punkt als aufpunkt der ebene und bekommst somit das -c:
dann hast du: ax1 + bx2 + cx3 -c =0
und mit dieser ebene kannst du weiterarbeiten...
du brauchst den abstand, und jetzt hast du eine ebene, in der der punkt drin liegt, und von der geraden geschnitten wird. aaalso berechnest du den schittpunkt gerade-ebene, indem du die parameterform der geraden in die normalenform der ebene einsetzt. und sobald du den schnittpunkt hast, hast du den abstand punkt-punkt, und das ist ja ganz einfach, ne? ;)
ich hoffe ich konnte helfen!
gruß
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