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Hallo,
für den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene gilt folgende Formel:
[mm] d=\bruch{|\vec{n}\circ(\vec{r_{Q}}-\vec{r_{1}})|}{|\vec{n}|}
[/mm]
Gegeben seien nun alle Werte außer die Z Komponente von Vektor n ...
Kann mir einer erklären wie ich diese Formel nach [mm] n_{z} [/mm] umstellen kann?
Gruß und danke im Vorraus...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf einer anderen Internetseite gestellt.
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> Hallo,
> für den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene gilt
> folgende Formel:
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> [mm]d=\bruch{|\vec{n}\circ(\vec{r_{Q}}-\vec{r_{1}})|}{|\vec{n}|}[/mm]
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> Gegeben seien nun alle Werte außer die Z Komponente von
> Vektor n ...
>
> Kann mir einer erklären wie ich diese Formel nach [mm]n_{z}[/mm]
> umstellen kann?
>
> Gruß und danke im Vorraus...
Hallo,
setze die bekannten Zahlenwerte ein und stelle das
Skalarprodukt nach seiner algebraischen Definition
als Summe von 3 Produkten dar. Dann kommst du zu
einer linearen quadratischen Gleichung für die
gesuchte Komponente.
LG , Al-Chw.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:34 Mi 18.09.2013 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ich kann Al nicht zustimmen, denn man bekommt keine lineare Gl. für die z - Komponente, sondern eine quadratische:
Ich lasse die blöden Pfeile weg und führe folgende Bezeichnungen ein:
n=(x_0,y_0,z_0) und r_Q-r_1=(a,b,c).
Aus
$ d=\bruch{|\vec{n}\circ(\vec{r_{Q}}-\vec{r_{1}})|}{|\vec{n}|} $
folgt dann:
$ d=\bruch{|ax_0+by_0+cz_0|}{\wurzel{x_0^2+y_0^2+z_0^2} $.
Quadrieren führt auf:
d^2(x_0^2+y_0^2+z_0^2)^2=(ax_0+by_0+cz_0)^2,
Edit: da ist ein Quadrat zuviel. Richtig lautet es:
d^2(x_0^2+y_0^2+z_0^2)=(ax_0+by_0+cz_0)^2,
also auf eine quadratische Gleichung für das gesuchte z_0.
FRED
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> Ich kann Al nicht zustimmen, denn man bekommt keine lineare
> Gl. für die z - Komponente, sondern eine quadratische:
Oh, da habe ich offenbar nicht genau hingeschaut und
meinte, es ginge um eine z-Komponente eines Orts-
vektors ...
Al
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Hallo,
wenn ich für die quadratische Gleichung
[mm] d^2(x^2+y^2+z^2)^2=(ax+by+cz)^2
[/mm]
Werte eingebe haut das irgendwie nicht hin... Beispiel:
Ich habe [mm] \vec{n}=(2;4;6) [/mm] und [mm] \vec{a}=(3;5;2) [/mm] So komme ich laut Vektorberechnung des Taschenrechners auf d=5,08.
Wenn ich nun die Komponenten in die quadratische Gleichung eingebe geht sie nicht auf...
Was habe ich falsch gemacht? Wie komme ich von der Vektorgleichung auf die z Komponente? Muss ich bei der Umformung auf den Einheitsvektor achten? Kann mir einer zeigen wie die Fallunterscheidung bei Vektorbetragen funktioniert?
Gruß und besten Dank im Voraus...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:47 Do 19.09.2013 | | Autor: | sonic5000 |
O.K. Das hätte ich vielleicht noch dazu schreiben können:
Laut Buch folgt aus Gleichung:
[mm] d=\bruch{|\vec{n}\circ\vec{a}|}{|\vec{n}|}
[/mm]
die Betragsgleichung:
[mm] |n_{z}-1|=\wurzel{5+n_{z}^{2}}
[/mm]
für folgende Werte: [mm] \vec{n}=(2;1;n_{z}) [/mm] und [mm] \vec{a}=(-1;0;2) [/mm] d=2
Die zweite Gleichung nach [mm] n_{z} [/mm] umstellen habe ich verstanden...
Aber wie komme ich von der ersten auf die zweite?
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> O.K. Das hätte ich vielleicht noch dazu schreiben
> können:
>
> Laut Buch folgt aus Gleichung:
>
> [mm]d=\bruch{|\vec{n}\circ\vec{a}|}{|\vec{n}|}[/mm]
>
> die Betragsgleichung:
>
> [mm]|n_{z}-1|=\wurzel{5+n_{z}^{2}}[/mm]
>
> für folgende Werte: [mm]\vec{n}=(2;1;n_{z})[/mm] und
> [mm]\vec{a}=(-1;0;2)[/mm] d=2
>
> Die zweite Gleichung nach [mm]n_{z}[/mm] umstellen habe ich
> verstanden...
>
> Aber wie komme ich von der ersten auf die zweite?
Es ist [mm] $\vec{n}\circ\vec{a}\ [/mm] =\ [mm] -2+0+2*n_z$ [/mm] ,
also $\ [mm] |\vec{n}\circ\vec{a}|\ [/mm] =\ [mm] |-2+0+2*n_z|\ [/mm] =\ [mm] 2*|n_z-1|$
[/mm]
und $\ [mm] |\vec{n}|\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{ \vec{n}\circ\vec{n}}\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{(-2)^2+(1)^2+(n_z)^2}\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{5+n_z^{2}}$
[/mm]
Alles klar ?
Schönen Tag !
Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:38 Do 19.09.2013 | | Autor: | sonic5000 |
Manchmal hat man in der Mathematik ein großes Brett vorm Kopf Danke für Deine Ausdauer...
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> Hallo,
>
> wenn ich für die quadratische Gleichung
>
> [mm]d^2(x^2+y^2+z^2)^2=(ax+by+cz)^2[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Hast du da mit der Quadriererei nicht etwas zuviel
des Guten getan ?
> Werte eingebe haut das irgendwie nicht hin... Beispiel:
>
> Ich habe [mm]\vec{n}=(2;4;6)[/mm] und [mm]\vec{a}=(3;5;2)[/mm] So komme ich
> laut Vektorberechnung des Taschenrechners auf d=5,08.
>
> Wenn ich nun die Komponenten in die quadratische Gleichung
> eingebe geht sie nicht auf...
>
> Was habe ich falsch gemacht? Wie komme ich von der
> Vektorgleichung auf die z Komponente? Muss ich bei der
> Umformung auf den Einheitsvektor achten? Kann mir einer
> zeigen wie die Fallunterscheidung bei Vektorbetragen
> funktioniert?
>
> Gruß und besten Dank im Voraus...
Ich dachte doch, der Vektor [mm] \vec{n} [/mm] sei gar nicht vollständig
gegeben ... (?)
Eigentlich solltest du nach dem Einsetzen der bekannten
Werte eine quadratische Gleichung nur für die gesuchte
Komponente haben.
LG
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