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Forum "Längen, Abstände, Winkel" - Abstand Punkt Gerade
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Abstand Punkt Gerade: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:22 Mi 01.09.2021
Autor: hase-hh

Aufgabe
Wie muss a gewählt werden, damit der Abstand des Punktes P [mm] \vektor{a \\ 0 \\ 1} [/mm] zur Geraden g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 0} [/mm] + [mm] r*\vektor{ - 1 \\ 0 \\ 2 } [/mm]

3 LE beträgt?



Moin Moin,

dies ist eine Aufgabe aus dem Hilfsmittelfreien Teil der Abiturprüfung. Diese Teilaufgabe bringt 2 Bewertungspunkte.


Meine Ideen sind [schon in Anbetracht der 2 Bewertungspunkte] m.E. viel zu kompliziert und zu zeitaufwändig [habe jetzt 20-30 min gebraucht (!)].

Hat jemand eine Idee, wie man hier einfacher zur Lösung kommt???



Lösungsweg über Hilfsebene


I. Hilfsebene in Normalenform aufstellen. Sie ist orthogonal zu g und enthält den Punkt P.


H: [mm] (\vec{x} [/mm] -  [mm] \vektor{a \\ 0 \\ 1})* \vektor{ -1 \\ 0 \\ 2} [/mm]   = 0


-x + 2 z = -a +2


II. g in H einsetzen, um den Lotfußpunkt zu erhalten.

II.I. r berechnen

-(1-r) +2*(0+2*r) = -a + 2

-1 +r + 4r = -a + 2

5r = -a +3

r = [mm] \bruch{-a+3}{5} [/mm]


II.II. Lotfußpunkt L berechnen

=>  [mm] \overrightarrow{OL} [/mm] =  [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 0} [/mm] + [mm] (\bruch{-a+3}{5})*\vektor{ - 1 \\ 0 \\ 2 } [/mm]

=  [mm] \vektor{1 + \bruch{a-3}{5} \\ 2 \\ \bruch{-2a+6}{5}} [/mm]


III. Abstand bzw. Betrag zwischen P und dem Lotfußpunkt

III.I. Verbindungsvektor [mm] \overrightarrow{PL} [/mm] bilden


[mm] \overrightarrow{PL} [/mm] = [mm] \overrightarrow{OL} [/mm] - [mm] \overrightarrow{OP} [/mm]

[mm] \overrightarrow{PL} [/mm] = [mm] \vektor{1 + \bruch{a-3}{5} \\ 2 \\ \bruch{-2a+6}{5}} [/mm] - [mm] \vektor{a \\ 0 \\ 1} [/mm]

[mm] \overrightarrow{PL} [/mm] = [mm] \vektor{1 + \bruch{a-3}{5} -a \\ 2 \\ \bruch{-2a+6}{5} -1} [/mm]

[mm] \overrightarrow{PL} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{5+a-3-5a}{5} \\ 2 \\ \bruch{-2a+6-5}{5}} [/mm]

[mm] \overrightarrow{PL} [/mm] =  [mm] \vektor{\bruch{-4a+2}{5} \\ 2 \\ \bruch{-2a+1}{5}} [/mm]


III.II. a berechnen, so dass der Abstand bzw. die Länge bzw. der Betrag des Verbindungsvektors [mm] \overrightarrow{PL} [/mm] 3 LE beträgt.

[mm] |\overrightarrow{PL}| [/mm] = [mm] \wurzel{(\bruch{-4a+2}{5})^2 + 2^2 + (\bruch{-2a+1}{5})^2} [/mm] = 3

= [mm] \wurzel{\bruch{16a^2-16a+4}{25} + 2^2 + \bruch{4a^2-4a+1}{25}} [/mm]

= [mm] \wurzel{\bruch{20a^2-20a+5}{25} + 4 } [/mm] =  3

=  [mm] {20a^2-20a+5}{25} [/mm] + 4  =  9

=  [mm] {20a^2-20a+5}{25} [/mm] -5  = 0

=  [mm] 20a^2 [/mm] -20a +5 -125  = 0

=  [mm] 20a^2 [/mm] -20a -120  = 0

=  [mm] a^2 [/mm] -a -6  = 0

pq-Formel

[mm] a_{1/2} [/mm] = - [mm] \bruch{-1}{2} \pm \wurzel{(\bruch{-1}{2})^2 - (-6)} [/mm]

[mm] a_1 [/mm] = 3  
[mm] a_2 [/mm] = -2.


[ [mm] P_1 [/mm] ( 3 / 0 / 1) bzw. [mm] P_2 [/mm] (-2 / 0 / 1) haben von g den Abstand 3.]







        
Bezug
Abstand Punkt Gerade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:43 Mi 01.09.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

also bei meiner Abiturprüfung sollte sowas dann mithilfe der []Hesseschen Normalform gelöst werden.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Abstand Punkt Gerade: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:14 Do 02.09.2021
Autor: hase-hh

Die Hessesche Normalenform benutze ich bei Abständen zwischen einem Punkt und einer Ebene.

Hier ist aber der Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden gesucht.

Anders gefragt: Wie soll das gehen?





Bezug
                        
Bezug
Abstand Punkt Gerade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:28 Do 02.09.2021
Autor: fred97


> Die Hessesche Normalenform benutze ich bei Abständen
> zwischen einem Punkt und einer Ebene.
>
> Hier ist aber der Abstand zwischen einem Punkt und einer
> Geraden gesucht.
>
> Anders gefragt: Wie soll das gehen?

Hallo hase,

schau mal hier:

https://studyflix.de/mathematik/abstand-punkt-gerade-2006


>
>
>
>  


Bezug
                                
Bezug
Abstand Punkt Gerade: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:15 Do 02.09.2021
Autor: hase-hh

Danke Fred! Interessante Formel. :)



d = [mm] \bruch{|(\vec{p} -\vec{q})x\vec{u}|}{|\vec{u}|} [/mm]


[mm] \vec{p} [/mm] ist der Punkt P

[mm] \vec{q} [/mm] ist der Aufpunkt bzw. Stützvektor der Geraden

[mm] \vec{u} [/mm] ist der Richtungsvektor der Geraden


3 = [mm] \bruch{|(\vektor{a \\ 0 \\ 1} -\vektor{1 \\ 2 \\ 0})x\vektor{-1 \\ 0 \\ 2}|}{|\vektor{-1 \\ 0 \\ 2}|} [/mm]

3 = [mm] \bruch{|\vektor{a -1\\ -2 \\ 1}x\vektor{-1 \\ 0 \\ 2}|}{ \wurzel{(-1)^2+0^2 +2^2}} [/mm]


Kreuzprodukt

a-1     -1  

-2       0  
                        -2*2  - 1*0
1       2
                        1*(-1) - (a-1)*2
a-1     -1
                        (a-1)*0 - (-2)*(-1)  
-2      0

1     2  


=>  [mm] \vektor{-4\\ -2a +1 \\ -2 } [/mm]


3 = [mm] \bruch{|\vektor{-4\\ -2a +1 \\ -2 }|}{ \wurzel{(-1)^2+0^2 +2^2}} [/mm]

3 = [mm] \bruch{\wurzel{(-4)^2 +(-2a +1)^2 +(-2)^2}}{ \wurzel{(-1)^2+0^2 +2^2}} [/mm]


3 = [mm] \bruch{\wurzel{20 +(-2a +1)^2}}{ \wurzel{5}} [/mm]


9 = [mm] \bruch{20 +(-2a +1)^2}{5} [/mm]

25 = (-2a [mm] +1)^2 [/mm]

[mm] \pm [/mm] 5 = -2a +1

[mm] a_1 [/mm] = -2

[mm] a_2 [/mm] = 3.

Bezug
        
Bezug
Abstand Punkt Gerade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:37 Do 02.09.2021
Autor: HJKweseleit


> Wie muss a gewählt werden, damit der Abstand des Punktes P [mm]\vektor{a \\ 0 \\ 1}[/mm] zur Geraden g: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 0}[/mm] + [mm]r*\vektor{ - 1 \\ 0 \\ 2 }[/mm]  
> 3 LE beträgt?
>  

Gehe einen beliebigen  Vektor [mm]\vec{y}[/mm] von g zu P:

[mm]\vec{y} = [/mm][mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 0}[/mm] + [mm]r*\vektor{ - 1 \\ 0 \\ 2 }[/mm] - [mm]\vektor{a \\ 0 \\ 1}[/mm]= [mm]\vektor{1-a \\ 2 \\ -1}[/mm] + [mm]r*\vektor{ - 1 \\ 0 \\ 2 }[/mm] = [mm]\vektor{1-a -r\\ 2 \\ 2r - 1}[/mm]   Mit r sind alle möglichen solche Vektoren erfasst.

Welcher steht senkrecht auf g? (Skalarprodukt bilden)  (Lösung: a=3-5r)
Welcher davon hat Länge 3?     (Länge berechnen)   (Lösung: r=0 oder r=1)

Bezug
                
Bezug
Abstand Punkt Gerade: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:16 Do 02.09.2021
Autor: hase-hh

Vielen Dank! Auch dieser Weg dürfte einfacher sein. ^^




I. Vektor von g zu P aufstellen

quasi g minus P


$ [mm] \vec{y} [/mm] = $$ [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 0} [/mm] $ + $ [mm] r\cdot{}\vektor{ - 1 \\ 0 \\ 2 } [/mm] $ - $ [mm] \vektor{a \\ 0 \\ 1} [/mm] $= $ [mm] \vektor{1-a \\ 2 \\ -1} [/mm] $ + $ [mm] r\cdot{}\vektor{ - 1 \\ 0 \\ 2 } [/mm] $ = $ [mm] \vektor{1-a -r\\ 2 \\ 2r - 1} [/mm] $  


II.  Welcher Vektor steht von diesen Vektoren senkrecht auf g?

Skalarprodukt bilden und dann a bestimmen.


[mm] \vec{y}x\vec{u} [/mm] = 0


[mm] \vec{u} [/mm] ist der Richtungsvektor der Geraden.


[mm] \vektor{1-a -r\\ 2 \\ 2r - 1}*\vektor{-1\\ 0 \\ 2} [/mm] = 0

-1 +a +r +4r -2 = 0


a = 3 -5r


III.


a in [mm] \vec{y} [/mm] einsetzen

[mm] \vektor{1-(3-5r) -r\\ 2 \\ 2r - 1} [/mm]

[mm] \vektor{-2+4r\\ 2 \\ 2r - 1} [/mm]


IV. r berechnen, so dass die Länge von [mm] \vec{y} [/mm] 3 ist.

[mm] \wurzel{(-2+4r)^2 +2^2+(2r-1)^2} [/mm] = 3

[mm] (-2+4r)^2 +2^2+(2r-1)^2 [/mm] = 9


4 -16r + [mm] 16r^2 [/mm] +4 + [mm] 4r^2 [/mm] -4r +1 = 9


[mm] 20r^2 [/mm] -20r = 0

=>  [mm] r_1 [/mm] = 0  und   [mm] r_2 [/mm] = 1


bzw. [mm] a_1 [/mm] = 3 - 5*0 =3

[mm] a_2 [/mm] = 3 -5*1 = -2.


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